Усиление примера нигде не дифференцируемой функции

[Инт]

AD в сообщении #230795 писал(а):

Инт в сообщении #230782 писал(а):

Не ясно о какой преддущей теореме говорите. В предыдущей теореме говориться. что дополнение к множеству первой категории всюду плотно.

Да-да, вот об этой. Объединение $F_m$ есть всё $X$, и они замкнуты, значит, хотя бы одно (а значит и все следующие) не может быть нигде не плотным. Только Вы так и не ответили, зачем это доказывать отдельно.

Множества $F_m$ то конечно замкнуты (хотя и тут не ясность, что они из себя представляют. что это за перечисление: $k = 1, 2, ...$?). Но поскольку, $P_{m}^{i}$ могут быть "страшно разрывны", т.е. могут быть всюду плотными, но не замкнутыми и не открытыми множествами, то неравенство $F_{m}^{i} \subseteq P_{m}^{i}$ никак не доказано. Т.е. из замкнутости $F_m$ не следует никак, что $P_m$ должны содержать внутренность, т.е. хотя бы один открытый интервал, и уж тем более отрезок. А если они и не содержат такого интервала, то нельзя утвержать, что дополнение к $P_{m}^{i}$ должно быть множеством первой категории.

AD в сообщении #230795 писал(а):

Инт в сообщении #230782 писал(а):

Нет теорема 4 не верна для всех точек.

Перечитайте теорему 4.

Дак я же почти только что написал, что первоначальная формулировка теоремы требует уточнения, т.е. теорема верна для точек, которые я назвал точками второго рода. Первоначальная формулировка, конечно такая, о которой Вы говорите, но я то утверждаю, что надо поправить её и тогда задача полностью решается.

[AD]

Инт в сообщении #230798 писал(а):

то неравенство $F_{m}^{i} \subseteq P_{m}^{i}$ никак не доказано.

Оно тривиально. Если $|x_m-x_{m+k}|\le\varepsilon$ при всех $k\in\mathbb{N}$ и $x_k\to x$, то $|x_m-x|\le\varepsilon$, потому что при предельном переходе неравенства сохраняются. Этим доказывается включение $F_m$ в $P_m$, а вместе с ним и $F_m^i$ в $P_m^i$ (или последнее тоже непонятно??)

-- Чт июл 23, 2009 18:10:31 --

Инт в сообщении #230135 писал(а):

Теорема 4. $lim_{N} \int^{x} \Phi_N dx = lim_{N} \Psi_N = \Psi$ для любого $x$

Какое из равенств по-Вашему может нарушаться?

[Инт]

Извиняюсь. Перепутал номера теорем. Мною имелась ввиду теорема 3, а не теорема 4. Т.е., что теорема 3 должна быть верна для точек нерерывности, являющихся точками второго рода. Исправил, где надо. теорема 4, конечно, верна всегда.

AD в сообщении #230799 писал(а):

Инт в сообщении #230798 писал(а):

то неравенство $F_{m}^{i} \subseteq P_{m}^{i}$ никак не доказано.

Оно тривиально. Если $|x_m-x_{m+k}|\le\varepsilon$ при всех $k\in\mathbb{N}$ и $x_k\to x$, то $|x_m-x|\le\varepsilon$, потому что при предельном переходе неравенства сохраняются. Этим доказывается включение $F_m$ в $P_m$, а вместе с ним и $F_m^i$ в $P_m^i$ (или последнее тоже непонятно??)

Вроде в правильную сторону довод. Всё равно пока не ясно, почему множество тех точек $t$, для которых $|x_m-x|\le\varepsilon$, не будет портиться при росте $k$.

[AD]

Инт в сообщении #230802 писал(а):

почему множество тех точек $t$, для которых $|x_m-x|\le\varepsilon$, не будет портиться при росте $k$.

Ну а чем плохо, что будет портиться-то?

-- Чт июл 23, 2009 18:43:16 --

Инт в сообщении #230802 писал(а):

Исправил, где надо.

Вооооот.

[epros]

А можно мне пару глупых вопросов задать?

Инт в сообщении #230135 писал(а):

Из следующих теорем доказывается, что предполагаемого ряда не существует.

Что значит "ряда не существует"? По крайней мере для некоторых $x$ ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty2^{-k}\cos8^kx$ не сходится?

Инт в сообщении #230135 писал(а):

Теорема (Бэра)1. Пусть $\forall t$ $lim_n f_n(t) = f(t)$, $\left|f(t)\right|$ - конечная величина для каждого $t$, $f_n$ непрерывна всюду. Тогда, множество точек разрыва для $f$ есть множество точек первой категории.

Является ли пустое множество множеством первой категории, удовлетворяющим данной теореме?

[Инт]

AD в сообщении #230803 писал(а):

Инт в сообщении #230802 писал(а):

почему множество тех точек $t$, для которых $|x_m-x|\le\varepsilon$, не будет портиться при росте $k$.

Ну а чем плохо, что будет портиться-то?

Вобщем так: функция $x_{m+k}$ может удаляться от функции $x_m$, так что множество точек t для которых $|x_{m}(t)-x_{m+k}(t)|\le\varepsilon$ может становиться с ростом $k$, в частности, множеством, состоящим из всё более и более мелких, не пересекающихся отрезков. Так что в итоге, множство тех точек, для которых окажется, что $|x_{m}(t)-x(t)|\le\varepsilon$ не открыто и не замкнуто. Т.е. для фиксированного $x_m$ множество испортится. Почему оно не испортится для других элементов последовательности функций? Это конечно ещё не конкретный контрпример, но от этого рассуждения уже до конкретного примера недалеко.

-- Чт июл 23, 2009 23:24:13 --

epros в сообщении #230822 писал(а):

Инт в сообщении #230135 писал(а):

Теорема (Бэра)1. Пусть $\forall t$ $lim_n f_n(t) = f(t)$, $\left|f(t)\right|$ - конечная величина для каждого $t$, $f_n$ непрерывна всюду. Тогда, множество точек разрыва для $f$ есть множество точек первой категории.

Является ли пустое множество множеством первой категории, удовлетворяющим данной теореме?

На первый вопрос не отвечаю. Сами разберётесь. Что касается цитированного вопроса, то да, пустое множество - множество первой категории.

[AD]

Инт в сообщении #230850 писал(а):

Это конечно ещё не конкретный контрпример, но от этого рассуждения уже до конкретного примера недалеко.

Для начала укажите ошибку в доказательстве.

epros в сообщении #230822 писал(а):

Что значит "ряда не существует"?

Ну не существует ряда, который хотел найти я. Усиления то бишь.

[Инт]

AD в сообщении #230863 писал(а):

Инт в сообщении #230850 писал(а):

Это конечно ещё не конкретный контрпример, но от этого рассуждения уже до конкретного примера недалеко.

Для начала укажите ошибку в доказательстве.

Я и указываю. В доказательстве Иосиды, для того, чтобы говорить о внутренности множества $P_{m}^{i}$, должен быть исключён тот пример, т.е. та возможность о которой я твержу.

[epros]

Инт в сообщении #230850 писал(а):

На первый вопрос не отвечаю. Сами разберётесь.

Я не могу разобраться в том, что Вы имеете в виду, если Вы не объясняете.

Инт в сообщении #230850 писал(а):

Что касается цитированного вопроса, то да, пустое множество - множество первой категории.

Тогда объясните пожалуйста как отсюда вытекает теорема 2. По моим представлениям $\Phi(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty(2^{-k}\cos8^kx)'$ расходится в каждом $x$, так что действительное число $P$ такое, что функция $\Phi(x)$ непрерывна в точке $P$, не существует.

[AD]

epros в сообщении #230881 писал(а):

Я не могу разобраться в том, что Вы имеете в виду, если Вы не объясняете.

Так я же только что ответил.

epros в сообщении #230881 писал(а):

По моим представлениям $\Phi(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty(2^{-k}\cos8^kx)'$ расходится в каждом $x$

Ну и в этом случае теорема вообще ничего про $\Phi$ не утверждает, потому что занимается только всюду сходящимися последовательностями.

-- Пт июл 24, 2009 10:34:01 --

epros, сосредоточтесь. Я тоже люблю отвечать, ничего не читая, вот теперь хоть знаю, как это смотрится.

-- Пт июл 24, 2009 10:38:12 --

Инт в сообщении #230864 писал(а):

Я и указываю. В доказательстве Иосиды, для того, чтобы говорить о внутренности множества $P_{m}^{i}$, должен быть исключён тот пример, т.е. та возможность о которой я твержу.

Я не телепат, ни о какой возможности Вы не твердите, а на все ваши реплики вида "не доказано, что А" я ответил тривиальными доказательствами. Вы так и не объяснили, чему противоречит "порченье" множеств, их "не открытость и не замкнутость"?

[epros]

AD в сообщении #230887 писал(а):

Так я же только что ответил.

А, извиняюсь, не заметил.

AD в сообщении #230887 писал(а):

epros, сосредоточтесь. Я тоже люблю отвечать, ничего не читая, вот теперь хоть знаю, как это смотрится.

Да, теперь вижу, что Вы хотели, чтобы "почленно продифференцированный ряд сходился бы всюду", и всё дальнейшее обсуждение идёт в контексте этого. Каюсь, не дочитал.

[Виктор Викторов]

Инт в сообщении #230135 писал(а):

Теорема (Бэра)1. Пусть $\forall t$ $lim_n f_n(t) = f(t)$, $\left|f(t)\right|$ - конечная величина для каждого $t$, $f_n$ непрерывна всюду. Тогда, множество точек разрыва для $f$ есть множество точек первой категории.
См. К.Иосида. Функциональный анализ, М. 1967, стр.25.

AD в сообщении #230498 писал(а):

Инт в сообщении #230497 писал(а):

Доказательство Иосиды в упомянутой книге неправильно. Т.е. теорема Бэра верна, а доказательство содержит ошибку. Дело в том, что Иосида опирается на то, что точечное множество, на котором предельная функция $\Phi$ отличается от функции последовательности $\Phi_N$ на малый эпсилон, может быть составлено из открытых интервалов. А это ниоткуда не следует. Вернее, это можно доказать, но у Иосиды не доказано.

Это было что? Там вообще никаких интервалов нету, там всё на абстрактном топологическом пространстве доказывается. Уточняйте, где ошибка.

AD в сообщении #230716 писал(а):

Инт в сообщении #230504 писал(а):

Иными словами, множества $P_{m}^{i}$ почему не пусты?

Определяя множества $P_{m}^{i}$ Иосида не утверждает, что они не пусты. Но, когда он рассматривает точку, где $f(t)$ непрерывно, $P_{m}^{i}$, конечно, не пусто как пересечение двух непустых открытых полных прообразов.