Займемся первым из полученных уравнений динамики системы. Но сначала подсчитаем горизонтальную составляющую импульса системы. Начнем с катушки и намотанной на неё нитки:
- горизонтальная компонента скорости точки на ободе катушки:
![$\[v_x = \dot x - \dot \phi R(1 - \cos \alpha )\]$ $\[v_x = \dot x - \dot \phi R(1 - \cos \alpha )\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/0/e10c7c0331200dd222f1b5e3a12cb03582.png)
- горизонтальная компонента импульса малого фрагмента нити на ободе:
![$\[dp_x = v_x dm = (\dot x - \dot \phi R(1 - \cos \alpha ))\frac{m}{\Phi }d\alpha \]$ $\[dp_x = v_x dm = (\dot x - \dot \phi R(1 - \cos \alpha ))\frac{m}{\Phi }d\alpha \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/5/765dfe0ed7f925323d9cb1b754a193df82.png)
- горизонтальная компонента импульса намотанной части нити:
![$\[p_{kx} = \int\limits_0^\phi {\frac{m}{\Phi }(\dot x - \dot \phi R(1 - \cos \alpha ))d\alpha = \frac{m}{\Phi }(\dot x\phi - \dot \phi R(\phi - \sin \phi ))} \]$ $\[p_{kx} = \int\limits_0^\phi {\frac{m}{\Phi }(\dot x - \dot \phi R(1 - \cos \alpha ))d\alpha = \frac{m}{\Phi }(\dot x\phi - \dot \phi R(\phi - \sin \phi ))} \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/1/c913470866f64c937962eec833d154da82.png)
- горизонтальная компонента импульса платформы и неподвижно лежащей на ней части нити:
![$\[p_{nx} = (M + m\frac{{\Phi - \phi }}{\Phi })\dot x\]$ $\[p_{nx} = (M + m\frac{{\Phi - \phi }}{\Phi })\dot x\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/7/0f71e634cfbe49116f8c9fe9f5239ee082.png)
- горизонтальная компонента полного импульса сситемы:
![$\[p_x = p_{kx} + p_{nx} = (M + m)\dot x - \frac{m}{\Phi }\dot \phi R(\phi - \sin \phi )\]$ $\[p_x = p_{kx} + p_{nx} = (M + m)\dot x - \frac{m}{\Phi }\dot \phi R(\phi - \sin \phi )\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/1/e611f25d09d43c3686383529e7dc14e882.png)
Теперь вернёмся к первому из двух уравнений, описывающих динамику системы:
![$\[\ddot x(M + m) - \frac{m}{\Phi }R(\ddot \phi (\phi - \sin \phi ) + \dot \phi ^2 (1 - \cos \phi )) = 0
\]$ $\[\ddot x(M + m) - \frac{m}{\Phi }R(\ddot \phi (\phi - \sin \phi ) + \dot \phi ^2 (1 - \cos \phi )) = 0
\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/8/228463a5580373c5df034389be0e54c682.png)
Обратим внимание, что это - полный дифференциал, переписав уравнение следующим образом:
![$\[\frac{d}{{dt}}((M + m)\dot x - \frac{m}{\Phi }\dot \phi R(\phi - \sin \phi )) = 0\]$ $\[\frac{d}{{dt}}((M + m)\dot x - \frac{m}{\Phi }\dot \phi R(\phi - \sin \phi )) = 0\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/2/a8236061319f9166d8afa9b397d4b91582.png)
Очевидно, что функция, дифференцируемая по времени в данном выражении - ни что иное, как горизонтальная составляющая импульса системы:
![$\[\frac{{dp_x }}{{dt}} = 0\]$ $\[\frac{{dp_x }}{{dt}} = 0\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/d/f4d2a40fa07c4b4bf75c2ce549bfdb0482.png)
Откуда
![$\[p_x = const\]$ $\[p_x = const\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/5/0b59715c56ffb9e9cb40b0584785804982.png)
А с учётом начальных условий:
![$\[p_x = 0\]$ $\[p_x = 0\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/b/dfb1830fc781caaad0d63d9097ece36d82.png)
Таким образом, видим, что горизонтальная составляющая импульса системы, как ей и предписано природой (и вопреки надеждам некоторых невежд) сохраняется. Перепишем полученное уравнение в следующем виде
![$\[(M + m)\dot x - \frac{m}{\Phi }\dot \phi R(\phi - \sin \phi ) = 0\]$ $\[(M + m)\dot x - \frac{m}{\Phi }\dot \phi R(\phi - \sin \phi ) = 0\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/5/d75811aebb748f64f4b62f8f0aba38f482.png)
Продолжение следует.
-- Вт июл 21, 2009 12:59:49 --Теперь несколько комментариев к высказываниям участников дискуссии:
Схема решения.
Суммарный момент импульса системы "платформа-катушка-нитка" сохраняется. Ненулевым моментом обладает лишь намотанная на катушку часть нити. Отсюда получается уравнение для угловой скорости катушки, соответственно - для линейной скорости центра масс намотанной на катушку части нити.
Это ничего не дает для решения задачи.
Суммарный импульс системы "платформа-катушка-нитка" сохраняется. Отсюда получается линейная скорость движения системы "платформа-катушка-нитка" относительно основания.
Да, разумеется, энергия и импульс этой системы сохраняются. Но нам интересно получить это как следствие уравнений динамики системы. Потому что смысл исходного "парадокса" как раз заключался в нарушении закона сохранения импульса в этом случае.
Надо аккуратно учесть изменение момента инерции намотанной на катушку части нити по мере разматывания последней, а также изменение положения центра тяжести системы "платформа-катушка-нитка" в СО, связанной с платформой.
Вот этого делать как раз и не следует - там чёрт голову сломит. Уравнения Лагранжа учли всё это автоматически - в этом их прелесть.
Наверное, подразумевается, что нить абсолютно тонкая (радиус всех витков нити равен

). Если это не так, надо учесть длину катушки и спиральность намотки нити, а также то, что размотанная часть нити не будет прямолинейной, хотя я не думаю, что эти вычислительные подробоности представляли бы интерес.
Да, конечно, в этом вы абсолютно правы. Если требовать 100% корректности формулировки задачи, то все эти вещи необходимо отметить в условии.