Займемся первым из полученных уравнений динамики системы. Но сначала подсчитаем горизонтальную составляющую импульса системы. Начнем с катушки и намотанной на неё нитки:
- горизонтальная компонента скорости точки на ободе катушки:
![$\[v_x = \dot x - \dot \phi R(1 - \cos \alpha )\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/0/e10c7c0331200dd222f1b5e3a12cb03582.png "$\[v_x = \dot x - \dot \phi R(1 - \cos \alpha )\]$")
- горизонтальная компонента импульса малого фрагмента нити на ободе:
![$\[dp_x = v_x dm = (\dot x - \dot \phi R(1 - \cos \alpha ))\frac{m}{\Phi }d\alpha \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/5/765dfe0ed7f925323d9cb1b754a193df82.png "$\[dp_x = v_x dm = (\dot x - \dot \phi R(1 - \cos \alpha ))\frac{m}{\Phi }d\alpha \]$")
- горизонтальная компонента импульса намотанной части нити:
![$\[p_{kx} = \int\limits_0^\phi {\frac{m}{\Phi }(\dot x - \dot \phi R(1 - \cos \alpha ))d\alpha = \frac{m}{\Phi }(\dot x\phi - \dot \phi R(\phi - \sin \phi ))} \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/1/c913470866f64c937962eec833d154da82.png "$\[p_{kx} = \int\limits_0^\phi {\frac{m}{\Phi }(\dot x - \dot \phi R(1 - \cos \alpha ))d\alpha = \frac{m}{\Phi }(\dot x\phi - \dot \phi R(\phi - \sin \phi ))} \]$")
- горизонтальная компонента импульса платформы и неподвижно лежащей на ней части нити:
![$\[p_{nx} = (M + m\frac{{\Phi - \phi }}{\Phi })\dot x\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/7/0f71e634cfbe49116f8c9fe9f5239ee082.png "$\[p_{nx} = (M + m\frac{{\Phi - \phi }}{\Phi })\dot x\]$")
- горизонтальная компонента полного импульса сситемы:
![$\[p_x = p_{kx} + p_{nx} = (M + m)\dot x - \frac{m}{\Phi }\dot \phi R(\phi - \sin \phi )\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/1/e611f25d09d43c3686383529e7dc14e882.png "$\[p_x = p_{kx} + p_{nx} = (M + m)\dot x - \frac{m}{\Phi }\dot \phi R(\phi - \sin \phi )\]$")
Теперь вернёмся к первому из двух уравнений, описывающих динамику системы:
![$\[\ddot x(M + m) - \frac{m}{\Phi }R(\ddot \phi (\phi - \sin \phi ) + \dot \phi ^2 (1 - \cos \phi )) = 0
\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/8/228463a5580373c5df034389be0e54c682.png "$\[\ddot x(M + m) - \frac{m}{\Phi }R(\ddot \phi (\phi - \sin \phi ) + \dot \phi ^2 (1 - \cos \phi )) = 0
\]$")
Обратим внимание, что это - полный дифференциал, переписав уравнение следующим образом:
![$\[\frac{d}{{dt}}((M + m)\dot x - \frac{m}{\Phi }\dot \phi R(\phi - \sin \phi )) = 0\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/2/a8236061319f9166d8afa9b397d4b91582.png "$\[\frac{d}{{dt}}((M + m)\dot x - \frac{m}{\Phi }\dot \phi R(\phi - \sin \phi )) = 0\]$")
Очевидно, что функция, дифференцируемая по времени в данном выражении - ни что иное, как горизонтальная составляющая импульса системы:
![$\[\frac{{dp_x }}{{dt}} = 0\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/d/f4d2a40fa07c4b4bf75c2ce549bfdb0482.png "$\[\frac{{dp_x }}{{dt}} = 0\]$")
Откуда
![$\[p_x = const\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/5/0b59715c56ffb9e9cb40b0584785804982.png "$\[p_x = const\]$")
А с учётом начальных условий:
![$\[p_x = 0\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/b/dfb1830fc781caaad0d63d9097ece36d82.png "$\[p_x = 0\]$")
Таким образом, видим, что горизонтальная составляющая импульса системы, как ей и предписано природой (и вопреки надеждам некоторых невежд) сохраняется. Перепишем полученное уравнение в следующем виде
![$\[(M + m)\dot x - \frac{m}{\Phi }\dot \phi R(\phi - \sin \phi ) = 0\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/5/d75811aebb748f64f4b62f8f0aba38f482.png "$\[(M + m)\dot x - \frac{m}{\Phi }\dot \phi R(\phi - \sin \phi ) = 0\]$")
Продолжение следует.
-- Вт июл 21, 2009 12:59:49 --Теперь несколько комментариев к высказываниям участников дискуссии:
Схема решения.
Суммарный момент импульса системы "платформа-катушка-нитка" сохраняется. Ненулевым моментом обладает лишь намотанная на катушку часть нити. Отсюда получается уравнение для угловой скорости катушки, соответственно - для линейной скорости центра масс намотанной на катушку части нити.
Это ничего не дает для решения задачи.
Суммарный импульс системы "платформа-катушка-нитка" сохраняется. Отсюда получается линейная скорость движения системы "платформа-катушка-нитка" относительно основания.
Да, разумеется, энергия и импульс этой системы сохраняются. Но нам интересно получить это как следствие уравнений динамики системы. Потому что смысл исходного "парадокса" как раз заключался в нарушении закона сохранения импульса в этом случае.
Надо аккуратно учесть изменение момента инерции намотанной на катушку части нити по мере разматывания последней, а также изменение положения центра тяжести системы "платформа-катушка-нитка" в СО, связанной с платформой.
Вот этого делать как раз и не следует - там чёрт голову сломит. Уравнения Лагранжа учли всё это автоматически - в этом их прелесть.
Наверное, подразумевается, что нить абсолютно тонкая (радиус всех витков нити равен
). Если это не так, надо учесть длину катушки и спиральность намотки нити, а также то, что размотанная часть нити не будет прямолинейной, хотя я не думаю, что эти вычислительные подробоности представляли бы интерес.
Да, конечно, в этом вы абсолютно правы. Если требовать 100% корректности формулировки задачи, то все эти вещи необходимо отметить в условии.
. Для энергии:
.
-скорость платформы, 
- текущий угол обмотки нити,
- масса одного радиана нити.
![$\[\phi \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/0/380cf34290c3fd3b043e15c8446aca2382.png "$\[\phi \]$")
- угол намотки нити на катушке в текущий момент и ![$\[\phi (0) = \Phi \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/1/2816b43428d1de03c26de6058d074ff482.png "$\[\phi (0) = \Phi \]$")
, ![$\[x(0) = 0\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/6/946ea79bf25a61ced63a0fe2cf1e040682.png "$\[x(0) = 0\]$")
(в этом смысле на рисунке изображена не вполне корректная ситуация - нить уже частично размоталась, но платформа еще не сдвинулась).![$\[v\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/4/804aa4b2a2c14b2e5a8ede7c5024b7bd82.png "$\[v\]$")
относительно платформы, при этом вращаясь с угловой скоростью ![$\[\omega=v/R=-{\dot \phi} \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/5/b853dbe3b9da5bbd6ce16511a87060b882.png "$\[\omega=v/R=-{\dot \phi} \]$")
![$\[d\alpha \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/e/34e6699da53bdd5681ca0f70366c947782.png "$\[d\alpha \]$")
и отстоящий от вертикали на угол ![$\[\alpha \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/b/a0b2054e7bad2f2818e3ff801fa7a41882.png "$\[\alpha \]$")
. Вектор скорости этого фрагмента в его относительном движении относительно центра катушки обозначим ![$\[{\vec v_c}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/0/f20e1e9f252e6c0b6c0bab3c202bb1af82.png "$\[{\vec v_c}\]$")
, - очевидно, ![$\[v_c=v=\omega R\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/f/30f17b1d1208bd46206baaf719d3479d82.png "$\[v_c=v=\omega R\]$")
![$\[\begin{array}{l}
v_x = \dot x - \dot \phi R(1 - \cos \alpha ) \\
v_y = \dot \phi R\sin \alpha \\
v^2 = v_y ^2 + v_x ^2 = \dot x^2 + 2(\dot \phi ^2 R^2 - \dot \phi R\dot x)(1 - \cos \alpha ) \\
dT = \frac{1}{2}v^2 dm = \frac{m}{\Phi }(\frac{{\dot x^2 }}{2} + (\dot \phi ^2 R^2 - \dot \phi R\dot x)(1 - \cos \alpha ))d\alpha \\
\end{array}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/c/d4c2c86cba122293c2387b9c2e59786b82.png "$\[\begin{array}{l}
v_x = \dot x - \dot \phi R(1 - \cos \alpha ) \\
v_y = \dot \phi R\sin \alpha \\
v^2 = v_y ^2 + v_x ^2 = \dot x^2 + 2(\dot \phi ^2 R^2 - \dot \phi R\dot x)(1 - \cos \alpha ) \\
dT = \frac{1}{2}v^2 dm = \frac{m}{\Phi }(\frac{{\dot x^2 }}{2} + (\dot \phi ^2 R^2 - \dot \phi R\dot x)(1 - \cos \alpha ))d\alpha \\
\end{array}\]$")
![$\[T_k = \int\limits_0^\phi {\frac{m}{\Phi }(\frac{{\dot x^2 }}{2} + (\dot \phi ^2 R^2 - \dot \phi R\dot x)(1 - \cos \alpha ))d\alpha = \frac{m}{\Phi }(\frac{{\dot x^2 \phi }}{2} + (\dot \phi ^2 R^2 - \dot \phi R\dot x)(\phi - \sin \phi ))} \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/b/4cb35b64f6ff58ae2dc97fabc0baece182.png "$\[T_k = \int\limits_0^\phi {\frac{m}{\Phi }(\frac{{\dot x^2 }}{2} + (\dot \phi ^2 R^2 - \dot \phi R\dot x)(1 - \cos \alpha ))d\alpha = \frac{m}{\Phi }(\frac{{\dot x^2 \phi }}{2} + (\dot \phi ^2 R^2 - \dot \phi R\dot x)(\phi - \sin \phi ))} \]$")
![$\[T_n = \frac{{\dot x^2 }}{2}(M + m\frac{{\Phi - \phi }}{\Phi })\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/8/0f847b5f4b35be0c95812cb7e16ca6d782.png "$\[T_n = \frac{{\dot x^2 }}{2}(M + m\frac{{\Phi - \phi }}{\Phi })\]$")
![$\[T = T_k + T_n = \frac{{\dot x^2 }}{2}(M + m) + \frac{m}{\Phi }(\dot \phi ^2 R^2 - \dot \phi R\dot x)(\phi - \sin \phi )\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/e/e9efb1925231639b9a7df83958848d9582.png "$\[T = T_k + T_n = \frac{{\dot x^2 }}{2}(M + m) + \frac{m}{\Phi }(\dot \phi ^2 R^2 - \dot \phi R\dot x)(\phi - \sin \phi )\]$")
![$\[d\Pi = gydm = gR(1 - \cos \alpha )\frac{m}{\Phi }d\alpha \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/7/227619e97c992b576b88a673516ecfb382.png "$\[d\Pi = gydm = gR(1 - \cos \alpha )\frac{m}{\Phi }d\alpha \]$")
![$\[\Pi = \Pi_k = \int\limits_o^\phi {\frac{{mgR}}{\Phi }(1 - \cos \alpha )d\alpha = } \frac{{mgR}}{\Phi }(\phi - \sin \phi )\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/8/5e8c05dbfa536455a23b45e43779a9c082.png "$\[\Pi = \Pi_k = \int\limits_o^\phi {\frac{{mgR}}{\Phi }(1 - \cos \alpha )d\alpha = } \frac{{mgR}}{\Phi }(\phi - \sin \phi )\]$")
![$\[L = T - \Pi = \frac{{\dot x^2 }}{2}(M + m) + \frac{m}{\Phi }(\dot \phi ^2 R^2 - \dot \phi R\dot x)(\phi - \sin \phi ) - \frac{{mgR}}{\Phi }(\phi - \sin \phi )\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/4/e24bbb9690fce74f58f2b5df09d6aadb82.png "$\[L = T - \Pi = \frac{{\dot x^2 }}{2}(M + m) + \frac{m}{\Phi }(\dot \phi ^2 R^2 - \dot \phi R\dot x)(\phi - \sin \phi ) - \frac{{mgR}}{\Phi }(\phi - \sin \phi )\]$")
![$\[
\begin{array}{l}
\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}} = \dot x(M + m) - \frac{m}{\Phi }\dot \phi R(\phi - \sin \phi ) \\
\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}} = \ddot x(M + m) - \frac{m}{\Phi }R(\ddot \phi (\phi - \sin \phi ) + \dot \phi ^2 (1 - \cos \phi )) \\
\frac{{\partial L}}{{\partial x}} = 0 \\
\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}} - \frac{{\partial L}}{{\partial x}} = \ddot x(M + m) - \frac{m}{\Phi }R(\ddot \phi (\phi - \sin \phi ) + \dot \phi ^2 (1 - \cos \phi )) = 0 \\
\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \phi }} = \frac{m}{\Phi }(2\dot \phi R^2 - R\dot x)(\phi - \sin \phi ) \\
\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \phi }} = \frac{m}{\Phi }((2\ddot \phi R^2 - R\ddot x)(\phi - \sin \phi ) + (2\dot \phi ^2 R^2 - R\dot x\dot \phi )(1 - \cos \phi )) \\
\frac{{\partial L}}{{\partial \phi }} = \frac{m}{\Phi }(\dot \phi ^2 R^2 - \dot \phi R\dot x - gR)(1 - \cos \phi ) \\
\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \phi }} - \frac{{\partial L}}{{\partial \phi }} = \frac{m}{\Phi }((2\ddot \phi R^2 - R\ddot x)(\phi - \sin \phi ) + (\dot \phi ^2 R^2 - gR)(1 - \cos \phi )) = 0 \\
\end{array}
\]
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/3/d4380837199b22d0bbebbfa7af8ade9a82.png "$\[
\begin{array}{l}
\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}} = \dot x(M + m) - \frac{m}{\Phi }\dot \phi R(\phi - \sin \phi ) \\
\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}} = \ddot x(M + m) - \frac{m}{\Phi }R(\ddot \phi (\phi - \sin \phi ) + \dot \phi ^2 (1 - \cos \phi )) \\
\frac{{\partial L}}{{\partial x}} = 0 \\
\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}} - \frac{{\partial L}}{{\partial x}} = \ddot x(M + m) - \frac{m}{\Phi }R(\ddot \phi (\phi - \sin \phi ) + \dot \phi ^2 (1 - \cos \phi )) = 0 \\
\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \phi }} = \frac{m}{\Phi }(2\dot \phi R^2 - R\dot x)(\phi - \sin \phi ) \\
\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \phi }} = \frac{m}{\Phi }((2\ddot \phi R^2 - R\ddot x)(\phi - \sin \phi ) + (2\dot \phi ^2 R^2 - R\dot x\dot \phi )(1 - \cos \phi )) \\
\frac{{\partial L}}{{\partial \phi }} = \frac{m}{\Phi }(\dot \phi ^2 R^2 - \dot \phi R\dot x - gR)(1 - \cos \phi ) \\
\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \phi }} - \frac{{\partial L}}{{\partial \phi }} = \frac{m}{\Phi }((2\ddot \phi R^2 - R\ddot x)(\phi - \sin \phi ) + (\dot \phi ^2 R^2 - gR)(1 - \cos \phi )) = 0 \\
\end{array}
\]
$")
![$\[
\left\{ \begin{array}{l}
\ddot x(M + m) - \frac{m}{\Phi }R(\ddot \phi (\phi - \sin \phi ) + \dot \phi ^2 (1 - \cos \phi )) = 0 \\
\frac{m}{\Phi }((2\ddot \phi R^2 - R\ddot x)(\phi - \sin \phi ) + (\dot \phi ^2 R^2 - gR)(1 - \cos \phi )) = 0 \\
\end{array} \right.
\]
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/b/3ab908ee443ea8e7dd4281b7d3e9d9c082.png "$\[
\left\{ \begin{array}{l}
\ddot x(M + m) - \frac{m}{\Phi }R(\ddot \phi (\phi - \sin \phi ) + \dot \phi ^2 (1 - \cos \phi )) = 0 \\
\frac{m}{\Phi }((2\ddot \phi R^2 - R\ddot x)(\phi - \sin \phi ) + (\dot \phi ^2 R^2 - gR)(1 - \cos \phi )) = 0 \\
\end{array} \right.
\]
$")
![$\[{\dot x}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/5/e956f4d0136a0ea6b0fc84c4e8c39c8a82.png "$\[{\dot x}\]$")
от ![$\[{\dot \phi }\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/3/b13ecd4189129abe087af4c1141e3c3282.png "$\[{\dot \phi }\]$")
;![$\[{\phi }\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/4/9e488f11e4c588e8439c04418f419c5482.png "$\[{\phi }\]$")
![$\[\dot \phi = \frac{1}{R}\sqrt {\frac{{\frac{{E_0 }}{{\phi - \sin \phi }} \cdot \frac{\Phi }{m} - gR}}{{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{{M + m}} \cdot \frac{{\phi - \sin \phi }}{\Phi }}}} \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/7/6f70a09484a831a8a4e9010cfc4913b882.png "$\[\dot \phi = \frac{1}{R}\sqrt {\frac{{\frac{{E_0 }}{{\phi - \sin \phi }} \cdot \frac{\Phi }{m} - gR}}{{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{{M + m}} \cdot \frac{{\phi - \sin \phi }}{\Phi }}}} \]$")
![$\[M \to \infty \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/6/b36106174df4fcaf41c08f97d7e177a382.png "$\[M \to \infty \]$")
(случай неподвижной платформы) получаем хорошо нам известное по теме про "парадокс" решение.