очевидность понятия "равно".

[AGu]

AGu в сообщении #228771 писал(а):

Подозреваю, что epros намекает на следующее: все аксиомы равенства доказуемы из одних лишь специальных аксиом ZF. Честно признаюсь, я не знаю, так ли это. Во всяком случае, мне с наскока не удается доказать аксиому $x\in y\land x=z\Rightarrow z\in y$. (А все остальные -- удается, причем вообще без специальных аксиом. ) Я даже собрался было применить какую-нибудь ординальную кумулятивную иерархию, но потому вдруг подумал: а откуда мне знать, не разрушится ли она без (еще не доказанных) аксиом равенства. Короче, продолжаю тупить.

Полезно бывает перечитывать классиков. (Спасибо, Виктор Викторов!) Если верить одной масенькой такой сносочке во Френкеле с Бар-Хиллелом, то А.Робинсон в 1939 г., оказывается, доказал невыводимость этой «недостающей аксиомы равенства» из специальных аксиом ZF. (На досуге попытаюсь найти его статью.)

Виктор Викторов в сообщении #230292 писал(а):

AGu в сообщении #230242 писал(а):

Кстати, у Мендельсона теория классов строится без равенства, а равенство вводится как сокращение: $(x=y)\,:=\,(\forall\,z)(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$.

Мне трудно понять, чем это отличается от аксиомы экстенсиональности (стр. 48).

Тем, что это не аксиома, а определение/сокращение. А чисто внешне -- ничем. Мендельсон определяет теорию классов (NBG) как расширение исчисления предикатов без равенства и наделяет эту теорию сигнатурой $\{\in\}$, в которой тоже нет равенства, а равенство вводится как сокращение, «очень похожее» на аксиому экстенсиональности.

Виктор Викторов писал(а):

AGu в сообщении #230242 писал(а):

Так вот, я там только что увидел дополнительную аксиому: $x=y\Rightarrow(x\in z\Leftrightarrow y\in z)$. Ничего не напоминает?

Вот одно из определений равенства у Френкеля (их у него как Вы знаете два).
«Определение IIa. $x$ называется равным $y$ $(x=y) $ тогда и только тогда, когда для всех $z$ $x\in z$ влечёт $y\in z$, и обратно, $y\in z$ влечёт $x\in z$, т. е. если каждое множество, содержащее одно из множеств $x$ и $y$, содержит также и другое.». (Страница 47).
И далее в символике строчка практически неотличимая от приведённой Вами дополнительной аксиомы.

Верно. И это определение затем дополняется аксиомой экстенсиональности Ia.

Виктор Викторов писал(а):

Теперь весьма деликатный вопрос. В другом определении Френкель вводит равенство иначе «если каждый член одного из этих множеств есть также и член другого». (Страница 47).

Верно. И это определение IIb затем дополняется аксиомой Ib (по поводу которой я раньше тупил).
Таким образом, определения IIa и IIb вводятся для разных теорий: первое -- для теории с аксиомой Ia, а второе -- с аксиомой Ib. В результате в сигнатуре $\{{\in},{=}\}$ получается одна и та же теория.

Виктор Викторов писал(а):

Пусть у нас есть два подмножества натуральных чисел. Например, множество все простых чётных чисел и множество всех корней уравнения $3x=6$. Конечно, эти множества равны. Выяснив это, мы получаем одно множество? Или два равных?

Я бы сказал «одно и то же множество», так как «два равных множества» для меня звучит диковато, да и плохо согласуется с определением термина «два». Но речь ведь идет всего лишь о словах. В данном случае фразы «$x$ и $y$ -- одно и то же множество» и «$x$ и $y$ -- два равных множества» так или иначе обозначают (т.е. символизируют, т.е. по определению представляют собой) формулу $x=y$ или, если угодно, $(\forall\,z)(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$. Так что на формальном уровне это вопрос выбора фразы для определения, а это дело вкуса. Например, для меня «два равных множества» -- безвкусица.

Виктор Викторов писал(а):

Лучше бы одно, но это влечёт кое-какие последствия.

Хмм... Не вижу последствий, кроме безвкусицы, чреватой непониманием со стороны слушателей этой безвкусицы, находящихся вне контекста.

Виктор Викторов писал(а):

(Кстати или наоборот, на странице 46 русского издания опепятка).

Тоже «хмм». Это Вы про Фенкеля? Смотрю на стр. 46 и что-то не наблюдаю связи.

[epros]

AGu в сообщении #230387 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #230292 писал(а):

AGu в сообщении #230242 писал(а):

Кстати, у Мендельсона теория классов строится без равенства, а равенство вводится как сокращение: $(x=y)\,:=\,(\forall\,z)(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$.

Мне трудно понять, чем это отличается от аксиомы экстенсиональности (стр. 48).

Тем, что это не аксиома, а определение/сокращение. А чисто внешне -- ничем.

Можно интерпретировать как аксиому, если значок $:=$ понимать как равносильность:
$(x=y)\,\Leftrightarrow \,(\forall\,z)(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$

От аксиомы экстенсиональности это отличается тем, что согласно последней одно следует из другого, но не наоборот. Это "наоборот" как раз и берётся из стандатных аксиом эквивалентности.

[AGu]

epros в сообщении #230391 писал(а):

Можно интерпретировать как аксиому, если значок $:=$ понимать как равносильность:
$(x=y)\,\Leftrightarrow \,(\forall\,z)(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$

От аксиомы экстенсиональности это отличается тем, что согласно последней одно следует из другого, но не наоборот. Это "наоборот" как раз и берётся из стандатных аксиом эквивалентности.

Верно подмечено.

P.S. epros, а почему Вы избегаете слов «аксиомы равенства»? (Так очень многие говорят, включая, насколько я знаю, конструктивистов.) Или говорить «аксиомы эквивалентности» Вам просто больше нравится?

[epros]

AGu в сообщении #230401 писал(а):

P.S. epros, а почему Вы избегаете слов «аксиомы равенства»? (Так очень многие говорят, включая, насколько я знаю, конструктивистов.) Или говорить «аксиомы эквивалентности» Вам просто больше нравится?

Не, нравится одинаково. Просто я боюсь от ewertа получить.

[AGu]

epros в сообщении #230355 писал(а):

AGu в сообщении #230242 писал(а):

epros писал(а):

Но главные вопросы: Зачем это? И почему именно такие аксиомы стали предметом всеобщего поклонения?

Зачем -- философия. Почему -- отчасти уже история. Насчет первого ничего не посоветую, а насчет второго -- ну наверняка есть исторические исследования.

Вот он и ответ: это не математика. Стало быть имеем полное право не придавать этому всеобщему поклонению никакого значения.

Как будто кто-то это Ваше право оспаривал! Но кое у кого есть также право этим правом не пользоваться.

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #230387 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #230292 писал(а):

AGu в сообщении #230242 писал(а):

Кстати, у Мендельсона теория классов строится без равенства, а равенство вводится как сокращение: $(x=y)\,:=\,(\forall\,z)(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$.

Мне трудно понять, чем это отличается от аксиомы экстенсиональности (стр. 48).

Тем, что это не аксиома, а определение/сокращение. А чисто внешне -- ничем. Мендельсон определяет теорию классов (NBG) как расширение исчисления предикатов без равенства и наделяет эту теорию сигнатурой $\{\in\}$, в которой тоже нет равенства, а равенство вводится как сокращение, «очень похожее» на аксиому экстенсиональности.

Я так и понял в части «не аксиома, а определение», а вот слово «сокращение» поясните, пожалуйста.

AGu в сообщении #230387 писал(а):

Виктор Викторов писал(а):

Теперь весьма деликатный вопрос. В другом определении Френкель вводит равенство иначе «если каждый член одного из этих множеств есть также и член другого». (Страница 47).

Верно. И это определение IIb затем дополняется аксиомой Ib (по поводу которой я раньше тупил).
Таким образом, определения IIa и IIb вводятся для разных теорий: первое -- для теории с аксиомой Ia, а второе -- с аксиомой Ib. В результате в сигнатуре $\{{\in},{=}\}$ получается одна и та же теория.

Виктор Викторов писал(а):

Пусть у нас есть два подмножества натуральных чисел. Например, множество все простых чётных чисел и множество всех корней уравнения $3x=6$. Конечно, эти множества равны. Выяснив это, мы получаем одно множество? Или два равных?

Я бы сказал «одно и то же множество», так как «два равных множества» для меня звучит диковато, да и плохо согласуется с определением термина «два». Но речь ведь идет всего лишь о словах. В данном случае фразы «$x$ и $y$ -- одно и то же множество» и «$x$ и $y$ -- два равных множества» так или иначе обозначают (т.е. символизируют, т.е. по определению представляют собой) формулу $x=y$ или, если угодно, $(\forall\,z)(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$. Так что на формальном уровне это вопрос выбора фразы для определения, а это дело вкуса. Например, для меня «два равных множества» -- безвкусица.

Вот обнаружились первые последствия. Мне-то казалось, что множество одно, а различными могут быть только имена. Грубо говоря, пока мы не установили (для этого и пример), что это одно и тоже множество.

AGu в сообщении #230387 писал(а):

Виктор Викторов писал(а):

Лучше бы одно, но это влечёт кое-какие последствия.

Хмм... Не вижу последствий, кроме безвкусицы, чреватой непониманием со стороны слушателей этой безвкусицы, находящихся вне контекста.

Теперь, когда у нас всё-таки одно множество хочется спросить: а как понимать рефлексивность?

AGu в сообщении #230387 писал(а):

Виктор Викторов писал(а):

(Кстати или наоборот, на странице 46 русского издания опепятка).

Тоже «хмм». Это Вы про Фенкеля? Смотрю на стр. 46 и что-то не наблюдаю связи.

Вторая строчка теоремы (14-ая сверху). Включение $y$ в $z$ должно быть нестрогим.

[AGu]

Виктор Викторов в сообщении #230414 писал(а):

Я так и понял в части «не аксиома, а определение», а вот слово «сокращение» поясните, пожалуйста.

Сокращение -- это сокращающее определение.
Например, определение

$(x=y)\,:=\,(\forall\,z)(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$

является сокращающим, а определение

($x$ и $y$ представляют собой не что иное как как одно и то же множество) $:=\,(\forall\,z)(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$

является изрядно удлиняющим (но тоже вполне законным).

Виктор Викторов писал(а):

Вот обнаружились первые последствия. Мне-то казалось, что множество одно, а различными могут быть только имена. Грубо говоря, пока мы не установили (для этого и пример), что это одно и тоже множество.

Это нетривиальный момент, и его не так-то просто пояснить. (И epros наверняка со мной согласится, ведь я сейчас буду играть его роль. ) Дело в том, что со строго формальной точки зрения множество (как воображаемый объект предметной теории) не может иметь имя (как строковый объект в метатеории). В данном контексте множество и имя -- объекты очень разных миров. И у нас нет возможности сопоставлять объектам мира объекты метамира. Пытаться делать такое сопоставление -- все равно что пытаться налить воду в нарисованный чайник (и даже круче: пытаться налить реальную воду в воображаемый чайник). Мы располагаем двумя строковыми объектами метатеории: $S_1=`\{x\in\mathbb N : x\text{ --- четное простое число}\}\text'$ и $S_2=`\{x\in\mathbb N : 3x=6\}\text'$. Разумеется, это различные строки, различные объекты метатеории (или метамодели, тут уж как кому нравится мыслить). Таким образом, $S_1\ne S_2$, т.е. $S_1$ и $S_2$ -- разные объекты. С другой стороны, мы знаем, что ${\rm ZFC}\vdash(S_1=S_2)$ или, что то же самое, ${\rm ZFC}\vdash(\text{$S_1$ и $S_2$ --- один и тот же объект})$. В итоге мы имеем два следующих факта: $S_1\ne S_2$ и ${\rm ZFC}\vdash(S_1=S_2)$. Так выглядит ситуация с точки зрения метатеории, т.е. «снаружи», вне ZFC. С этой точки зрения никаких «множеств» нет, т.е. нет «объектов теории ZFC», а есть лишь два утверждения -- о различии строк $S_1$ и $S_2$ и выводимости строки $S_1=S_2$ из аксиом ZFC. Если же мы теперь прыгнем внутрь ZFC, то произойдет обратное: мы перестанем видеть строки и увидим (воображаемые) множества. Находясь внутри ZFC (как предметной теории) мы не можем сказать, что $S_1$ и $S_2$ -- «разные имена», так как мы вообще не видим этих имен. Зато мы видим одно множество. В каком-то смысле это воображаемое множество «снаружи» именовано этими строками. Но это лишь «игры разума». На самом деле никакого соответствия между множествами и именами нет -- в том смысле, что такое соответствие строго не формализуемо.

Разумеется, в эти формальные дебри ни в статьях, ни даже в учебниках не влезают и, скажем, школьникам пудрить мозги на этот счет я бы не стал. Но самому понимать, «что на самом деле происходит», бывает полезно. Это отрезвляет и предохраняет от более серьезных рисков впасть в неформализуемую ересь. В принципе, говорить, что $S_1$ и $S_2$ -- разные имена одного и того же множества вполне допустимо, и профессионалы это поймут правильно (внутренне самодовольно ухмыльнувшись: мол, я-то знаю, что имелось в виду). Беда же в том, что непрофессионал это тоже может «понять», и сделает он это неправильно: ему покажется, что в одном мире живут и множества, и какие-то их имена. Но даже в этом случае ничего страшного ему не грозит, так как в принципе это понимабельно и в каком-то смысле формализуемо.

Виктор Викторов писал(а):

Теперь, когда у нас всё-таки одно множество хочется спросить: а как понимать рефлексивность?

Не уверен, что понял вопрос. Рефлексивность равенства -- это утверждение $(\forall\,x)(x=x)$. Наверное, вопрос был в чем-то ином.

Виктор Викторов писал(а):

AGu в сообщении #230387 писал(а):

Виктор Викторов писал(а):

(Кстати или наоборот, на странице 46 русского издания опепятка).

Тоже «хмм». Это Вы про Фенкеля? Смотрю на стр. 46 и что-то не наблюдаю связи.

Вторая строчка теоремы (14-ая сверху). Включение $y$ в $z$ должно быть нестрогим.

Да, это стопроцентная опечатка. Я это так уверенно говорю потому, что заглянул в английский оригинал: там в этом месте стоит нестрогое включение.

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #230429 писал(а):

Дело в том, что со строго формальной точки зрения множество (как воображаемый объект предметной теории) не может иметь имя (как строковый объект в метатеории). В данном контексте множество и имя -- объекты очень разных миров. И у нас нет возможности сопоставлять объектам мира объекты метамира. Пытаться делать такое сопоставление -- все равно что пытаться налить воду в нарисованный чайник (и даже круче: пытаться налить реальную воду в воображаемый чайник). Мы располагаем двумя строковыми объектами метатеории: $S_1=`\{x\in\mathbb N : x\text{ --- четное простое число}\}\text'$ и $S_2=`\{x\in\mathbb N : 3x=6\}\text'$. Разумеется, это различные строки, различные объекты метатеории (или метамодели, тут уж как кому нравится мыслить). Таким образом, $S_1\ne S_2$, т.е. $S_1$ и $S_2$ -- разные объекты. С другой стороны, мы знаем, что ${\rm ZFC}\vdash(S_1=S_2)$ или, что то же самое, ${\rm ZFC}\vdash(\text{$S_1$ и $S_2$ --- один и тот же объект})$. В итоге мы имеем два следующих факта: $S_1\ne S_2$ и ${\rm ZFC}\vdash(S_1=S_2)$. Так выглядит ситуация с точки зрения метатеории, т.е. «снаружи», вне ZFC. С этой точки зрения никаких «множеств» нет, т.е. нет «объектов теории ZFC», а есть лишь два утверждения -- о различии строк $S_1$ и $S_2$ и выводимости строки $S_1=S_2$ из аксиом ZFC. Если же мы теперь прыгнем внутрь ZFC, то произойдет обратное: мы перестанем видеть строки и увидим (воображаемые) множества. Находясь внутри ZFC (как предметной теории) мы не можем сказать, что $S_1$ и $S_2$ -- «разные имена», так как мы вообще не видим этих имен. Зато мы видим одно множество. В каком-то смысле это воображаемое множество «снаружи» именовано этими строками. Но это лишь «игры разума». На самом деле никакого соответствия между множествами и именами нет -- в том смысле, что такое соответствие строго не формализуемо.

Всё понял. Спасибо!

AGu в сообщении #230429 писал(а):

Это отрезвляет и не предохраняет от более серьезных рисков впасть в неформализуемую ересь.

Варианты: 1. Это отрезвляет и предохраняет от более серьезных рисков впасть в неформализуемую ересь.
2. Это отрезвляет, но не предохраняет от более серьезных рисков впасть в неформализуемую ересь.

AGu в сообщении #230429 писал(а):

Виктор Викторов писал(а):

Теперь, когда у нас всё-таки одно множество хочется спросить: а как понимать рефлексивность?

Не уверен, что понял вопрос. Рефлексивность равенства -- это утверждение $(\forall\,x)(x=x)$. Наверное, вопрос был в чем-то ином.

На самом деле всё одно. Но в другой аранжировке. Пусть есть непустое множество содержащее, по крайней мере, два члена. Утверждаем по их поводу: $a\ne b$. А что может быть иначе? Ведь все члены множества различны. Но сколько раз я видел эту запись. Например, при определении линейной упорядоченности.

AGu в сообщении #230429 писал(а):

Да, это стопроцентная опечатка. Я это так уверенно говорю потому, что заглянул в английский оригинал: там в этом месте стоит нестрогое включение.

Я прошёл тот же путь. Сначала усомнился, а потом проверил по английскому оригиналу. Иначе не посмел бы писать столь уверенно.

[AGu]

Виктор Викторов в сообщении #230489 писал(а):

AGu в сообщении #230429 писал(а):

Это отрезвляет и не предохраняет от более серьезных рисков впасть в неформализуемую ересь.

Варианты: 1. Это отрезвляет и предохраняет от более серьезных рисков впасть в неформализуемую ересь.
2. Это отрезвляет, но не предохраняет от более серьезных рисков впасть в неформализуемую ересь.

Я выбираю вариант 1. (Пардон за очепятку. Исправил. Спасибо.)

Виктор Викторов писал(а):

AGu в сообщении #230429 писал(а):

Виктор Викторов писал(а):

Теперь, когда у нас всё-таки одно множество хочется спросить: а как понимать рефлексивность?

Не уверен, что понял вопрос. Рефлексивность равенства -- это утверждение $(\forall\,x)(x=x)$. Наверное, вопрос был в чем-то ином.

На самом деле всё одно. Но в другой аранжировке. Пусть есть непустое множество содержащее, по крайней мере, два члена. Утверждаем по их поводу: $a\ne b$. А что может быть иначе? Ведь все члены множества различны. Но сколько раз я видел эту запись. Например, при определении линейной упорядоченности.

Виноват, все еще не могу сообразить, о чем идет речь. (Впрочем, если это уже не актуально, на разъяснении не настаиваю. )

[epros]

AGu в сообщении #230429 писал(а):

(И epros наверняка со мной согласится, ведь я сейчас буду играть его роль. ) Дело в том, что со строго формальной точки зрения множество (как воображаемый объект предметной теории) не может иметь имя (как строковый объект в метатеории). В данном контексте множество и имя -- объекты очень разных миров.

Наверное, мне нужно пояснить как я понимаю свою роль.
С моей точки зрения математика вообще оперирует исключительно "именами" объектов, а не "ими самими". Например, строки "2", "10" и "||" - это ни что иное, как различные "имена" для объекта "двойка" (в разных представлениях натуральных чисел). Кстати, строка "двойка" - это тоже имя этого объекта. Что есть "сам этот объект" и в каком мире его можно наблюдать, этого я, увы, не знаю.

Просто есть "имена собственные" (константы, однозначно идентифицирующие данный объект) и "имена нарицательные" (переменные, обозначающие все объекты соответствующего типа скопом). Теория множеств, поскольку она не содержит констант, не имеет возможности называть множества по их "собственным именам". Она способна говорить только скопом обо всех объектах типа "множество". Но это не фатально, поскольку можно говорить об объектах, обладающих некоторым идентифицирующим свойством. "Идентифицирующим" является такое свойство, которым обладает строго один объект (и это доказуемо). Например, такими свойствами являются "не содержит элементов" (это пустое множество) и "является минимальным индуктивным множеством" (это первый бесконечный ординал). Когда мы обозначаем первое как $\O$, а второе как $\omega_0$, т.е. присваиваем им имена собственные, мы, к сожалению, выходим за пределы синтаксиса теории множеств.

Кстати, моя претензия (как конструктивиста) к теории множеств заключается в том, что мы не располагаем способом присваивания имён собственных всем объектам теории.

[AGu]

epros в сообщении #230579 писал(а):

AGu в сообщении #230429 писал(а):

(И epros наверняка со мной согласится, ведь я сейчас буду играть его роль. ) Дело в том, что со строго формальной точки зрения множество (как воображаемый объект предметной теории) не может иметь имя (как строковый объект в метатеории). В данном контексте множество и имя -- объекты очень разных миров.

Вы неправильно выделили цитату. Вот как надо было:

AGu в сообщении #230429 писал(а):

Это нетривиальный момент, и его не так-то просто пояснить. (И epros наверняка со мной согласится, ведь я сейчас буду играть его роль. )

Теперь Вы, надеюсь, согласитесь?

epros писал(а):

Наверное, мне нужно пояснить как я понимаю свою роль.

Если мне -- то нет такой необходимости. Я Вашу позицию уже заценил.

epros писал(а):

С моей точки зрения математика вообще оперирует исключительно "именами" объектов, а не "ими самими". Например, строки "2", "10" и "||" - это ни что иное, как различные "имена" для объекта "двойка" (в разных представлениях натуральных чисел). Кстати, строка "двойка" - это тоже имя этого объекта. Что есть "сам этот объект" и в каком мире его можно наблюдать, этого я, увы, не знаю.

Тут я все понял, кроме одного слова -- «увы». Уж не хотите ли Вы сказать, что пытались это узнать, но у Вас не получилось? Извините, не верю. Попытались бы -- наверняка бы получилось.

epros писал(а):

можно говорить об объектах, обладающих некоторым идентифицирующим свойством. "Идентифицирующим" является такое свойство, которым обладает строго один объект (и это доказуемо). Например, такими свойствами являются "не содержит элементов" (это пустое множество) и "является минимальным индуктивным множеством" (это первый бесконечный ординал). Когда мы обозначаем первое как $\O$, а второе как $\omega_0$, т.е. присваиваем им имена собственные, мы, к сожалению, выходим за пределы синтаксиса теории множеств.

И опять я не понимаю Вашего «к сожалению». Уж не хотите ли Вы сказать, что пытались строго формализовать выход за пределы синтаксиса теории множеств, но у Вас это не получилось? Извините, не верю. Попытались бы -- наверняка бы получилось.

epros писал(а):

Кстати, моя претензия (как конструктивиста) к теории множеств заключается в том, что мы не располагаем способом присваивания имён собственных всем объектам теории.

Эту претензию Вам следовало бы переадресовать Вашему определению понятия «объект». По Вашему определению ZFC объектов не имеет. Я, конечно, далек от мысли, будто Вы так любите ZFC, что готовы ради нее исправить свое определение, но ведь есть же масса других теорий без констант и функциональных символов. Чем Вам, к примеру, теория упорядоченных множеств не угодила? А теория булевых алгебр? (Ее ведь тоже можно записать на реляционном языке -- без констант и операций!) А теория категорий? (Какая, казалось бы, красивая и мощная теория и, черт возьми, ни одной константы!) ...

[epros]

AGu в сообщении #230593 писал(а):

Вы неправильно выделили цитату.

Ок, принято.

AGu в сообщении #230593 писал(а):

epros писал(а):

Что есть "сам этот объект" и в каком мире его можно наблюдать, этого я, увы, не знаю.

Тут я все понял, кроме одного слова -- «увы». Уж не хотите ли Вы сказать, что пытались это узнать, но у Вас не получилось? Извините, не верю. Попытались бы -- наверняка бы получилось.

Не знаю, может плохо пытался, но не получается. Объект, именуемый строкой из четырёх сиволов: "стул", я знаю в каком мире можно наблюдать (и наблюдаю сейчас под собой). А объект, именуемый "2", я не знаю где можно наблюдать "в живую". Наверное, это потому, что первый объект - "реальный", "предельно конкретный", а второй - "идеализация", "абстракция".

AGu в сообщении #230593 писал(а):

И опять я не понимаю Вашего «к сожалению». Уж не хотите ли Вы сказать, что пытались строго формализовать выход за пределы синтаксиса теории множеств, но у Вас это не получилось? Извините, не верю. Попытались бы -- наверняка бы получилось.

Выход за пределы синтаксиса теории множеств у нас конечно же получится. Сожаление заключается в том, что это будет уже совсем другая теория. Например, с помощью выхода за пределы синтаксиса теорию можно научить доказывать много чего такого, чего она в изначальном варианте доказывать не умеет.

AGu в сообщении #230593 писал(а):

epros писал(а):

Кстати, моя претензия (как конструктивиста) к теории множеств заключается в том, что мы не располагаем способом присваивания имён собственных всем объектам теории.

Эту претензию Вам следовало бы переадресовать Вашему определению понятия «объект». По Вашему определению ZFC объектов не имеет.

Не совсем так. Я сказал, что в ZFC у объектов нет имён собственных. Если же Вы имеете в виду моё определение понятия "определённости в теории", то я в принципе готов его подправить. Но боюсь, что проблема присваивания всем объектам ZFC имён собственных всё равно не будет решена.

[AGu]

epros в сообщении #230602 писал(а):

Объект, именуемый строкой из четырёх сиволов: "стул", я знаю в каком мире можно наблюдать (и наблюдаю сейчас под собой). А объект, именуемый "2", я не знаю где можно наблюдать "в живую". Наверное, это потому, что первый объект - "реальный", "предельно конкретный", а второй - "идеализация", "абстракция".

А попробуйте-ка тогда опровергнуть следующий тезис: «все объекты на самом деле воображаемые, и в реальном мире тоже нет объектов». А пока Вы над этим размышляете, я попробую опровергнуть Ваше утверждение о том, что строка «стул» является именем реального объекта.

Едва ли Вы будете отрицать, что я сейчас тоже сижу на стуле. И едва ли Ваш стул и мой стул не равноправны в отношении именования. Следовательно, строка «стул» не является именем Вашего стула (ведь по Вашим же словам имя -- это имя собственное, константа, однозначно идентифицирующая объект). На этом можно было бы закончить, ибо опровержение уже получено, но, пожалуй, еще чуток поиздеваемся. Вспомнив, что в реальном мире есть чертова туча других стульев, можно было бы предположить, что строка «стул» является именем класса эквивалентности объектов, похожих на стулья. Но едва ли Вы согласитесь с тем, что этот класс эквивалентности является реальным объектом, а не воображаемым множеством всех стульев. Возможно, Вы пойдете на попятную и вместо строки «стул» предложите строку «вот этот вот конкретный стул» или «стул, на котором в данный момент сидит epros», то и тут найдется свое опровержение -- хотя бы потому, что «вот этих вот конкретных стульев», опять-таки, много, а «стула, на котором в данный момент сидит epros» в этом мире нет, ибо epros сейчас приподнялся, чтобы получше разглядеть эту писанину. И т.д. и т.п.

Мораль: все объекты -- воображаемые, и воображаемые объекты теории множеств в этом отношении ничем не хуже любых других объектов.

epros писал(а):

Выход за пределы синтаксиса теории множеств у нас конечно же получится. Сожаление заключается в том, что это будет уже совсем другая теория.

Другая, да не совсем. Эта теория будет консервативным расширением исходной теории, причем консервативным в очень сильном -- конструктивном -- смысле.

epros писал(а):

Например, с помощью выхода за пределы синтаксиса теорию можно научить доказывать много чего такого, чего она в изначальном варианте доказывать не умеет.

Да, но расширенная теория не сумеет доказать ни одну формулу языка исходной теории, не доказуемую самой исходной теорией. Более того, все, что может доказать расширенная теория, поддается четкому и однозначному конструктивному переводу на язык исходной теории. Так что не велико расширение. Косметика, да и только. «Syntactic sugar», как говорят компьютерщики.

epros писал(а):

AGu в сообщении #230593 писал(а):

По Вашему определению ZFC объектов не имеет.

Не совсем так. Я сказал, что в ZFC у объектов нет имён собственных. [...] боюсь, что проблема присваивания всем объектам ZFC имён собственных всё равно не будет решена.

О каких таких «всех объектах» Вы говорите, epros? Их же нет, они же все воображаемые! И, как Вы сами заметили, объекты нашей любимой арифметики Пеано -- тоже воображаемые. (Мы ведь сейчас говорим не о тех синтаксических объектах в смысле Вашего старого определения.) Есть только имена, и никаких объектов. (Это я Вас цитирую.) Если же Вы вдруг скажете, что $0,S(0),S(S(0)),\dots$ -- полный список имен всех объектов арифметики Пеано, то я тут же возмущусь попранием моего права воображать иные объекты, не попавшие в этот крохотный списочек. И это не моих воображаемых объектов много, а Ваших объектов мало -- Вам просто слабо переименовать все воображаемые мной объекты арифметики Пеано.

epros писал(а):

AGu в сообщении #230593 писал(а):

Если же Вы имеете в виду моё определение понятия "определённости в теории", то я в принципе готов его подправить.

Давно пора.

[epros]

AGu в сообщении #230616 писал(а):

А попробуйте-ка тогда опровергнуть следующий тезис: «все объекты на самом деле воображаемые, и в реальном мире тоже нет объектов».

Почему-то я думаю, что этот тезис неопровержим и недоказуем (по крайней мере в теории с разумной аксиоматикой). Так что предпочту не тратить время.

Но я знаю одно: Есть масса объектов, в реальности которых я почему-то уверен (хотя я могу и ошибаться). Но двойка к ним явно не относится (а вот объект "пара стульев", которые находятся неподалёку от меня, - относится).

AGu в сообщении #230616 писал(а):

Следовательно, строка «стул» не является именем Вашего стула (ведь по Вашим же словам имя -- это имя собственное, константа, однозначно идентифицирующая объект).

Э-ээ, нет, я не сказал, что "стул" - это имя собственное. Как раз очень даже нарицательное. С именами собственными действительно есть проблема: как правило бывает очень трудно определить имя разумной сложности, которое было бы "собственным" в полном смысле, т.е. действительно обозначало бы единственный реальный объект. Поэтому имена нарицательные в речи используются чаще (при этом конкретный объект, соответствующий имени, определяется с привлечением контекста). Но бывают и исключения.

AGu в сообщении #230616 писал(а):

Но едва ли Вы согласитесь с тем, что этот класс эквивалентности является реальным объектом, а не воображаемым множеством всех стульев.

Конечно же не буду. Я сказал совсем не это. Я сказал, что слово "стул" может именовать реальный объект, но не сказал, что это именование без привлечения контекста будет однозначным.

AGu в сообщении #230616 писал(а):

Мораль: все объекты -- воображаемые, и воображаемые объекты теории множеств в этом отношении ничем не хуже любых других объектов.

Нет уж, это неправильная мораль. Подобными рассуждениями Вы можете доказать, что определением любой степени сложности невозможно приписать имя реальному объекту таким образом, чтобы никто не мог интерпретировать определение неправильно (т.е. всегда найдутся фрики, которые смогут так интерпретировать определение, что термину будут сопоставлены совершенно разные объекты). Но они не доказывают, что реальных объектов "не существует".

Ладно, это всё уже сильно за рамками математики.

AGu в сообщении #230616 писал(а):

epros писал(а):

Выход за пределы синтаксиса теории множеств у нас конечно же получится. Сожаление заключается в том, что это будет уже совсем другая теория.

Другая, да не совсем. Эта теория будет консервативным расширением исходной теории, причем консервативным в очень сильном -- конструктивном -- смысле.

epros писал(а):

Например, с помощью выхода за пределы синтаксиса теорию можно научить доказывать много чего такого, чего она в изначальном варианте доказывать не умеет.

Да, но расширенная теория не сумеет доказать ни одну формулу языка исходной теории, не доказуемую самой исходной теорией. Более того, все, что может доказать расширенная теория, поддается четкому и однозначному конструктивному переводу на язык исходной теории.

Мы сейчас с Вами говорим о разных расширениях синтаксиса. Вы - только об узком классе возможных расширений (очевидно, в смысле упоминавшейся Вами ранее "определимости в языке теории"). Я же говорю о расширении синтаксиса в общем смысле.

Могут быть такие расширения языка, что некоторые расширенные формулы не переводятся в формулы исходного языка. При этом с использованием исходной аксиоматики оказывается возможным доказать некоторые высказывания исходного языка, которые были недоказуемы в исходном варианте теории.

Это совсем не косметика.

AGu в сообщении #230616 писал(а):

О каких таких «всех объектах» Вы говорите, epros? Их же нет, они же все воображаемые! И, как Вы сами заметили, объекты нашей любимой арифметики Пеано -- тоже воображаемые.

Я говорю об абстрактных объектах. Слово "воображаемые" предпочитаю не употреблять. Я вовсе не возражаю против манипуляций с абстрактными объектами в математических теориях (точнее - с именами абстрактных объектов). Вопрос о существовании таковых объектов в некоем "воображаемом мире" (как и вопрос существования самих этих "воображаемых миров") полагаю сугубо метафизическим, бессмысленным и к тому же выходящим за рамки математики. Хотя математическая теория может утверждать существование неких объектов, но это всего лишь теория, а не абсолютная истина.

AGu в сообщении #230616 писал(а):

Если же Вы вдруг скажете, что $0,S(0),S(S(0)),\dots$ -- полный список имен всех объектов арифметики Пеано, то я тут же возмущусь попранием моего права воображать иные объекты, не попавшие в этот крохотный списочек.

Уж не о "нестандартных" ли натуральных числах Вы говорите?

Я не буду утверждать, что этот список - полный. Но если Вы будете утверждать, что он неполный, т.е. есть что-то ещё, то я попрошу привести примеры, причём теоретико-множественную аксиоматику (которой я не доверяю) для доказательства существования таковых объектов я попрошу не употреблять.

AGu в сообщении #230593 писал(а):

epros писал(а):

Если же Вы имеете в виду моё определение понятия "определённости в теории", то я в принципе готов его подправить.

Давно пора.

Наконец-то началась математика.

Объект $a$ "определён в теории $T$" тогда и только тогда, когда $\exists \varphi_a \in L_T ~ (T \vdash \exists! x ~ \varphi_a(x))$.

Объекты $a$ и $b$, определённые в теории $T$, равны тогда и только тогда, когда $T \vdash \forall x ~ \varphi_a(x) \leftrightarrow \varphi_b(x)$.

Теперь, для примера, про бинарную операцию:
Бинарная операция $?$ определена в теории $T$ тогда и только тогда, когда для любых определённых теорией $T$ объектов $a$ и $b$ существует единственный определённый теорией $T$ объект $c$ такой, что $T \vdash \forall x,y ~ (\varphi_a(x) \wedge \varphi_b(y) \rightarrow (\forall z ~ x?y=z \leftrightarrow \varphi_c(z)))$.

Надеюсь, что это определение Вы не обзовёте "синтаксическим". К тому же оно ни слова не говорит про "модель".

[conviso]

Цитата:

AGu в сообщении #230616 писал(а):
А попробуйте-ка тогда опровергнуть следующий тезис: «все объекты на самом деле воображаемые, и в реальном мире тоже нет объектов».

Почему-то я думаю, что этот тезис неопровержим и недоказуем (по крайней мере в теории с разумной аксиоматикой). Так что предпочту не тратить время.

Но я знаю одно: Есть масса объектов, в реальности которых я почему-то уверен (хотя я могу и ошибаться). Но двойка к ним явно не относится (а вот объект "пара стульев", которые находятся неподалёку от меня, - относится).

.

Если вернуться к исходному вопросу проста, то напрашивается "ответ":"пара стульев (равна, может быть) паре стульев", а вот "пара ....(неизвестно, что делать) пара ".
Почему "отношение стульев типа: пара" не может рассматриваться как "реальный объект". Возможно, нет согласия в том, что такое "реальный объект", да заодно и что такое "объект"?

Уважаемый PAV, таки не могу справиться с капризами тегов! Обнаруживаю невоспроизводимость моих действий!

Ура, получилось! Великая вещь - воспроизводимость, подтвержденная контекстом сообщества Форум!