очевидность понятия "равно".

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #229905 писал(а):

Пусть $V$ -- множество всех пропозициональных переменных

$V$ -- множество всех атомов (по Клини). Это элементарные не разлагаемые в данной (предметной?) теории формулы каждая из которых принимает значения 0 или 1.

AGu в сообщении #229905 писал(а):

и пусть $\Phi$ -- множество всех пропозициональных формул.

$\Phi$ -- множество всех пропозициональных формул, получаемых из пропозициональных переменных путём всевозможных конечных комбинаций этих пропозициональных переменных и пяти пропозициональных связок. В число формул, в частности, включены и все пропозициональные переменные.

AGu в сообщении #229905 писал(а):

(Пропозициональной) моделью назовем всякую функцию $M:V\to\{0,1\}$.

Очень важный момент. Тут выясняется, что такое модель! Модель это функция, задающая пропозициональным переменным конкретные значения.
Ясно, что моделей может быть много. Модель (по определению) связана с множеством всех пропозициональных формул тем, что (если так можно выразиться) у них общая область определения. Явно не сказано, но имеется в виду, что в этой модели все формулы рассматриваются только при значениях пропозициональных переменных получаемых при помощи функции $M$.

AGu в сообщении #229905 писал(а):

Будем говорить, что $\varphi\in\Phi$ истинна в модели $M$, и писать $M\vDash\varphi$,
если $|\varphi|_M=1$, где функция $|{\cdot}|_M:\Phi\to\{0,1\}$ определяется рекурсией
по сложности формул следующим образом (ниже $v\in V$, $\varphi,\psi\in\Phi$):

$|v|_M:=M(v)$;
$|\neg\varphi|_M:=\neg|\varphi|_M$, где $\neg1=0$, $\neg0=1$;
$|\varphi\lor\psi|_M:=|\varphi|_M\lor|\psi|_M$, где $0\lor0=0$, $0\lor1=1\lor0=1\lor1=1$.

А это определение функции, которая определяет, будет ли конкретная формула истинна в этой модели. В определении функции участвуют только две из пяти пропозициональных связок, т. к. остальные выражаются через эти две. Между прочим, существует взаимнооднозначное отображение между формулами истинными и ложными в данной модели.

В результате цитируемых девяти строк, я наглядно и чётко понял, что такое модель того, что «могут выражать высказывания» (Клини). (А это был мой «подпольный» вопрос). Но я так и не понял причин различий перевода с оригиналом.

[AGu]

Виктор Викторов в сообщении #229960 писал(а):

В результате цитируемых девяти строк, я наглядно и чётко понял, что такое модель того, что «могут выражать высказывания» (Клини). (А это был мой «подпольный» вопрос).

Искренне рад взаимопониманию.

Виктор Викторов писал(а):

Но я так и не понял причин различий перевода с оригиналом.

Приведя те определения, я хотел сказать, что в данном контексте фраза "так сказать, «модели», конкретные «реализации», воплощения" мне представляется вполне адекватным переводом слов "what can be considered models or concrete replicas." Действительно, сопоставление пропозициональным переменным истинностных значений (1) можно считать моделью и (2) оно является, так сказать, «моделью». По смыслу (1) и (2) в рассматриваемом случае очень близки. (К слову, лично мне оригинальная фраза кажется чуть более точной, но это уже вопрос вкуса.)

Кстати, есть, на мой взгляд, весьма веские основания считать функции $M:V\to\{0,1\}$ моделями пропозиционального исчисления, причем без кавычек. Сейчас поясню.

Для удобства введем обозначения $0:=\varnothing$ и $1:=\{0\}$.

Пусть $P$ -- теория предикатов первого порядка без равенства, не имеющая специальных аксиом и имеющая сигнатуру $V$, в которой каждый элемент $v\in V$ является символом 0-местного предиката (т.е. пропозициональной константой). Тогда пропозициональное исчисление ${\rm PC}$ эквивалентно (в некотором точном смысле) теории $P$. Более того, имеется очень тесная связь между множеством $\mathcal M_P(1)$ всех моделей теории $P$ с носителем $1$ (моделей в классическом смысле теории предикатов) и множеством $\mathcal M_{\rm PC}=\{0,1\}^V$ всех моделей исчисления ${\rm PC}$ (моделей в предложенном выше смысле).

Действительно, согласно классическому определению модель всякой теории является парой $(X,M)$, где $X$ -- непустое множество (носитель модели), а $M$ -- интерпретация на $X$ сигнатуры теории, причем интерпретациями $M(v)$ пропозициональных констант $v$ (коль скоро таковые входят в сигнатуру теории) служат подмножества $X$, т.е. элементы $\mathcal P(X)$. Поскольку $\mathcal P(1)=\{0,1\}$, всякая модель $\overline M\in\mathcal M_P(1)$ является парой $\overline M=(1,M)$, где $M:V\to\{0,1\}$, т.е. $M\in\mathcal M_{\rm PC}$. Сопоставляя каждой функции $M\in\mathcal M_{\rm PC}$ пару $(1,M)\in\mathcal M_P(1)$, мы получаем биекцию между $\mathcal M_{\rm PC}$ и $\mathcal M_P(1)$, прекрасно согласующуюся (опять-таки, в некотором точном смысле) с эквивалентностью между исчислением ${\rm PC}$ и теорией $P$.

[Виктор Викторов]

Спасибо!

[epros]

AGu в сообщении #229736 писал(а):

Уверяю Вас, в профессиональной математической среде то, о чем Вы говорите, практически невозможно. И в серьезных математических статьях, и в книгах, и в докладах на конференциях и даже в неформальном общении между собой профессиональные математики всегда предельно (т.е. насколько это возможно) четко фиксируют круг используемых ими доказательных средств (методов, аксиом, гипотез и т.п.). Во многих математических текстах такой фиксации нет, но это просто означает, что по умолчанию используются «общематематические» средства (в большинстве случаев, к Вашему сожалению, это оказывается ZF или даже ZFC).

AGu, я ведь не сказал, что математики совершенно не понимают друг друга. С ними всё-таки всё не так плохо, как с философами. Я сказал, что они понимают друг друга "лишь до некоторой степени". Как правило, это уровень полагается всеми участниками соответствующего междусобойчика достаточным, поэтому никто (как и Вы сейчас) не видит проблем.

Но должны понимать не только участники междусобойчиков, но и пользователи теорий, которые далеко не всегда являются специалистами по матлогике и основаниям математике. А это всё-таки не так, и это подтверждают Ваши же собственные слова: когда Вы, рассуждая о «общематематических» умолчаниях вынуждены употреблять союз «или».

В качестве примера, давайте вспомним, присутствуют ли аксиомы эквивалентности в "стандартной" аксиоматике ZFC или всё-таки подразумевается, что при выводе они должны быть добавлены. Сам факт, что такие вопросы возникают, говорит о том, что не везде и не во всём в математике есть абсолютная ясность.

ewert в сообщении #229762 писал(а):

AGu в сообщении #229736 писал(а):

«Безнадежно» -- может быть, излишне радикальный вердикт,

Теоремы Гёделя в силу своей относительности утверждают, что этот вердикт -- абсолютен.

Не понял. Теоремы Гёделя, насколько я знаю, говорят о неполноте, а также о невозможности теории доказать собственную непротиворечивость. Каким образом это препятствует однозначной понятности? Я понимаю, что доказать, что некоторые базовые понятия "однозначно понимаемы всеми" вряд ли возможно. Однако, почему мы не можем принять это за аксиому?

[AGu]

epros в сообщении #230067 писал(а):

AGu, я ведь не сказал, что математики совершенно не понимают друг друга. С ними всё-таки всё не так плохо, как с философами. Я сказал, что они понимают друг друга "лишь до некоторой степени". Как правило, это уровень полагается всеми участниками соответствующего междусобойчика достаточным, поэтому никто (как и Вы сейчас) не видит проблем.

Как правило, уровнем понимания является ZFC. Если ZFC -- это «до некоторой степени», то -- да, до некоторой степени.

epros писал(а):

Но должны понимать не только участники междусобойчиков, но и пользователи теорий, которые далеко не всегда являются специалистами по матлогике и основаниям математике. А это всё-таки не так, и это подтверждают Ваши же собственные слова: когда Вы, рассуждая о «общематематических» умолчаниях вынуждены употреблять союз «или».

Свое «или» я употребил из занудства -- просто чтобы подчеркнуть принципиальную допустимость иных доказательных средств. В подавляющем большинстве случаев «общематематическим» набором доказательных средств является ZFC (реже -- ZF), и тут наблюдается вполне достаточное (если не сказать полное) взаимопонимание «содержательных математиков». Если же какой-то «содержательный математик» вдруг выпрыгнет за рамки ZFC, т.е. рискнет провести рассуждение, не поддающееся адекватной формализации в ZFC, то в профессиональной математической среде это рано или поздно будет замечено (обычно рано -- на то и существуют рецензенты). Что же касается самой ZFC, то ее очень трудно «понять по-разному», так как она четко определена и преподается на первых курсах университетов. На уровень же метатеории общематематические тексты не выходят, и все выкладки являются не более чем доказательствами (или их фрагментами) из аксиом ZFC.

epros писал(а):

В качестве примера, давайте вспомним, присутствуют ли аксиомы эквивалентности в "стандартной" аксиоматике ZFC или всё-таки подразумевается, что при выводе они должны быть добавлены. Сам факт, что такие вопросы возникают, говорит о том, что не везде и не во всём в математике есть абсолютная ясность.

Это Вы об аксиомах равенства? Тогда тут нет никакой неясности: аксиомы равенства включаются в «стандартную ZFC» всеми и безоговорочно, ведь ZFC -- всего лишь теория первого порядка с равенством и она, разумеется, расширяет классическое исчисление предикатов (а наш с Инт шутливый спор по этому поводу был не более чем шутливым спором, мы прекрасно друг друга понимаем).

[epros]

AGu в сообщении #230128 писал(а):

Свое «или» я употребил из занудства -- просто чтобы подчеркнуть принципиальную допустимость иных доказательных средств.

Ещё бы Вы попробовали не допустить иные доказательные средства! Есть масса математиков, которым плевать на ZF или ZFC, и которые отнюдь не страдают от бедности своих доказательных средств.

AGu в сообщении #230128 писал(а):

В подавляющем большинстве случаев «общематематическим» набором доказательных средств является ZFC (реже -- ZF), и тут наблюдается вполне достаточное (если не сказать полное) взаимопонимание «содержательных математиков».

Я не могу принять претензий ZFC на то, чтобы выступать единственными "основаниями математики". Единственный видимый довод в пользу этого - мощная сложившаяся традиция. А я имею наглость это математическим доводом не считать.

AGu в сообщении #230128 писал(а):

Что же касается самой ZFC, то ее очень трудно «понять по-разному», так как она четко определена и преподается на первых курсах университетов.

Не уверен, что однозначно понимаю, что Вы имеете в виду под "пониманием самой ZFC". С моей точки зрения ZFC - это просто набор строк, формальных высказываний на языке исчисления предикатов первого уровня. И выводы из этого - такие же строки. Большинство нормальных людей (даже достаточно образованных) это никак не понимают. "Понимать" они начинают, когда это им переводят на человеческий язык. Например, когда им говорят, что множество действительных чисел нельзя пронумеровать, они начинают "понимать" (или им начинает так казаться).

При этом в ZFC есть такие выводы, которые с моей точки зрения никак невозможно "понять". Например, есть вывод о существовании аддитивной нелинейной функции $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Как это вообще можно "понять"? Нормальный человек, когда ему говорят, что некая функция "существует", хочет видеть конкретный пример. И где же он?

AGu в сообщении #230128 писал(а):

epros писал(а):

В качестве примера, давайте вспомним, присутствуют ли аксиомы эквивалентности в "стандартной" аксиоматике ZFC или всё-таки подразумевается, что при выводе они должны быть добавлены. Сам факт, что такие вопросы возникают, говорит о том, что не везде и не во всём в математике есть абсолютная ясность.

Это Вы об аксиомах равенства? Тогда тут нет никакой неясности: аксиомы равенства включаются в «стандартную ZFC» всеми и безоговорочно, ведь ZFC -- всего лишь теория первого порядка с равенством и она, разумеется, расширяет классическое исчисление предикатов (а наш с Инт шутливый спор по этому поводу был не более чем шутливым спором, мы прекрасно друг друга понимаем).

Интересно Вы заявили об "отсутствии неясности": так, что у меня, например, никакой ясности не появилось. Стандартное исчисление предикатов не определяет отношения равенства. И в стандартный набор аксиом ZFC соответствующая аксиоматика явным образом не входит. Так что же, всё-таки есть "неявное соглашение" о том, что раз использован значок "=", то соответствующие аксиомы должны быть включены?

Кстати, с Интом Вы не сможете "понять друг друга" даже в вопросе о том, можно ли вполне упорядочить множество действительных чисел (в рамках стандартной ZFC).

[Инт]

epros в сообщении #230138 писал(а):

Кстати, с Интом Вы не сможете "понять друг друга" даже в вопросе о том, можно ли вполне упорядочить множество действительных чисел (в рамках стандартной ZFC).

Не согласен. Утверждаю, что либо у меня будет найдена ошибка (и это будет полным пониманием), либо будет проверено, что мои доказательства правильны (и это полное понимание). Утверждаю также, что ошибки у меня нет.

[AGu]

epros в сообщении #230138 писал(а):

AGu в сообщении #230128 писал(а):

Свое «или» я употребил из занудства -- просто чтобы подчеркнуть принципиальную допустимость иных доказательных средств.

Ещё бы Вы попробовали не допустить иные доказательные средства! Есть масса математиков, которым плевать на ZF или ZFC, и которые отнюдь не страдают от бедности своих доказательных средств.

Есть, конечно же, есть! (Ох и тонки же струны Вашей конструктивной души. )

epros писал(а):

Я не могу принять претензий ZFC на то, чтобы выступать единственными "основаниями математики". Единственный видимый довод в пользу этого - мощная сложившаяся традиция. А я имею наглость это математическим доводом не считать.

Тут нечего принимать, ибо упомянутых Вами «претензий» нет. Если Вам кто-то высказывал такие претензии, то либо это был непрофессионал, либо возникло какое-то непонимание на уровне русского языка. И Вы, конечно же, совершенно правы, что имеет место лишь сложившаяся традиция (и что она действительно мощная).

epros писал(а):

С моей точки зрения ZFC - это просто набор строк, формальных высказываний на языке исчисления предикатов первого уровня. И выводы из этого - такие же строки.

Верно. И я придерживаюсь этой точки зрения. И все современные профессиональные математики -- тоже! («Чудаки», конечно, всюду найдутся, но мы не о них сейчас говорим.)

epros писал(а):

Большинство нормальных людей (даже достаточно образованных) это никак не понимают. "Понимать" они начинают, когда это им переводят на человеческий язык. Например, когда им говорят, что множество действительных чисел нельзя пронумеровать, они начинают "понимать" (или им начинает так казаться).

Это Ваше заявление фактически доказывает, что круг Вашего общения состоит из непрофессионалов.

epros писал(а):

При этом в ZFC есть такие выводы, которые с моей точки зрения никак невозможно "понять". Например, есть вывод о существовании аддитивной нелинейной функции $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Как это вообще можно "понять"? Нормальный человек, когда ему говорят, что некая функция "существует", хочет видеть конкретный пример. И где же он?

Вы сами себе противоречите, называя «нормальными людьми» то непрофессионалов, непонимающих, что такое ZFC, то самого себя, якобы непонимающего элементарного вывода из аксиом ZFC. Все Вы прекрасно понимаете, я в этом ничуть не сомневаюсь. Есть аксиомы ZFC (набор формул, строк) и из них можно вывести формулу (всего лишь формулу, строку), на формальном языке записывающую существование какой-то там функции. Что тут может быть непонятного? Это же элементарно. Рядовой профессиональный математик просто не отвлекается на разговоры о строках и формальных выводах и предпочитает рассуждать «содержательно». Но это отнюдь не означает, что он несет чушь. Он просто неформально описывает некий формальный вывод из аксиом ZFC и прекрасно отдает себе отчет в том, что это именно неформальное описание и что оно может быть формализовано при должном старании (которое он не намерен проявлять в силу элементарного уважения к потенциальным читателям). Если же профессиональному «содержательному» математику укажут на принципиальное затруднение с формализацией его рассуждений, он крепко задумается, а потом либо опишет свои высказывания более четко, либо признает ошибку. Иначе он просто не может считаться профессионалом.

epros писал(а):

Стандартное исчисление предикатов не определяет отношения равенства. И в стандартный набор аксиом ZFC соответствующая аксиоматика явным образом не входит. Так что же, всё-таки есть "неявное соглашение" о том, что раз использован значок "=", то соответствующие аксиомы должны быть включены?

Реагирую на все три момента в порядке упоминания: (1) да, не определяет (по Вашему определению ); (2) нет, входит; (3) никакого неявного соглашения нет, аксиомы равенства включены в ZFC изначально.

epros писал(а):

Кстати, с Интом Вы не сможете "понять друг друга" даже в вопросе о том, можно ли вполне упорядочить множество действительных чисел (в рамках стандартной ZFC).

Это заявление я, с Вашего позволения, игнорирую, так как, к сожалению, так и не смог пока найти достаточно времени на изучение работы Инт. Тем не менее, искренне надеюсь, что вскоре найду время и что взаимопонимание рано или поздно будет достигнуто. (Кстати, призываю Вас к корректности в высказываниях. Пожалуйста, будьте терпимее, гибче и, в конце концов, будьте профессиональнее! )

[epros]

AGu в сообщении #230167 писал(а):

epros писал(а):

Большинство нормальных людей (даже достаточно образованных) это никак не понимают. "Понимать" они начинают, когда это им переводят на человеческий язык. Например, когда им говорят, что множество действительных чисел нельзя пронумеровать, они начинают "понимать" (или им начинает так казаться).

Это Ваше заявление фактически доказывает, что круг Вашего общения состоит из непрофессионалов.

Нет, это неверная интерпретация. Здесь речь не о круге общения, а о том, что математика - не закрытый эзотерический клуб, что она имеет пользователей - нормальных людей, которые её тоже должны как-то понимать.

AGu в сообщении #230167 писал(а):

Есть аксиомы ZFC (набор формул, строк) и из них можно вывести формулу (всего лишь формулу, строку), на формальном языке записывающую существование какой-то там функции. Что тут может быть непонятного? Это же элементарно.

Это я не оспариваю. Я всего лишь говорю, что бессмысленные аксиомы, из которых следуют бессмысленные утверждения, мне не нужны. Мы обсуждали с Вами "понимание", а понимание с момей точки зрения заключается в умении применить утверждение теории. Как можно применить утверждение о существовании объекта, если способ его нахождения (или построения) никому не известен?

AGu в сообщении #230167 писал(а):

epros писал(а):

Стандартное исчисление предикатов не определяет отношения равенства. И в стандартный набор аксиом ZFC соответствующая аксиоматика явным образом не входит. Так что же, всё-таки есть "неявное соглашение" о том, что раз использован значок "=", то соответствующие аксиомы должны быть включены?

Реагирую на все три момента в порядке упоминания: (1) да, не определяет (по Вашему определению ); (2) нет, входит; (3) никакого неявного соглашения нет, аксиомы равенства включены в ZFC изначально.

Мне это непонятно. Теория (ZFC) в моём понимании строится так: К стандартному исчислению предикатов добавляются символы отношений $\in$ и $=$ и стандартный набор предметных аксиом. Каким образом туда попали аксиомы равенства?

AGu в сообщении #230167 писал(а):

epros писал(а):

Кстати, с Интом Вы не сможете "понять друг друга" даже в вопросе о том, можно ли вполне упорядочить множество действительных чисел (в рамках стандартной ZFC).

Это заявление я, с Вашего позволения, игнорирую, так как, к сожалению, так и не смог пока найти достаточно времени на изучение работы Инт. Тем не менее, искренне надеюсь, что вскоре найду время и что взаимопонимание рано или поздно будет достигнуто. (Кстати, призываю Вас к корректности в высказываниях. Пожалуйста, будьте терпимее, гибче и, в конце концов, будьте профессиональнее! )

Мы обсуждали "понимание" и я всего лишь высказал своё мнение по этому вопросу. Вроде бы никого никак не обозвал.

[AGu]

epros в сообщении #230185 писал(а):

Здесь речь не о круге общения, а о том, что математика - не закрытый эзотерический клуб, что она имеет пользователей - нормальных людей, которые её тоже должны как-то понимать.

Кажется, начинаю просекать фишку. Общаясь с непрофессиональными «пользователями» и «нормальными людьми», Вы тем самым фактически занимаетесь просветительской, преподавательской деятельностью. Это, безусловно, работка не из легких. Только, во-первых, пожалуйста, не экстраполируйте Ваш опыт общения на профессиональную математическую среду. Там ситуация в корне иная. И во-вторых (что, кажется, почти совпадает с «во-первых»), пожалуйста, не пытайтесь «наставлять на путь истинный» Ваших оппонентов -- особенно если Вы не уверены, что они непрофессионалы. Терпеливо объяснять, «как оно все на самом деле устроено», -- это одно, а пытаться (даже с искренними и добрыми намерениями) «обратить в свою веру» -- совсем другое. Впрочем, я уже повторяюсь. Будьте гибче, короче говоря. И извините меня за морализаторство. Мне самому оно уже не нравится. Пожалуй, больше не буду.

epros писал(а):

Я всего лишь говорю, что бессмысленные аксиомы, из которых следуют бессмысленные утверждения, мне не нужны.

Это я уже давно понял. И не спорю. (О вкусах, как известно, спорить глупо.) И, кстати, Вам тоже не советую, если что.

epros писал(а):

Мы обсуждали с Вами "понимание", а понимание с момей точки зрения заключается в умении применить утверждение теории. Как можно применить утверждение о существовании объекта, если способ его нахождения (или построения) никому не известен?

Как знать, как знать. В конце концов, если кто-то получает удовольствие от осознания самого факта существования чего-либо, то это тоже в каком-то смысле применение. Есть ведь и такая радикальная точка зрения: математика -- это элитарное интеллектуальное искусство. Нам ли лишать людей права заниматься искусством и наслаждаться эфемерными результатами своего труда? Кроме того, эти результаты порой (пусть и «очень порой» и пусть через кучу лет) нет-нет, да и оказываются полезными не только для мозгов, но и для тела.

epros писал(а):

Теория (ZFC) в моём понимании строится так: К стандартному исчислению предикатов добавляются символы отношений $\in$ и $=$ и стандартный набор предметных аксиом. Каким образом туда попали аксиомы равенства?

С готовностью вношу поправку: не «к стандартному исчислению предикатов добавляются символы отношений $\in$ и $=$», а «к стандартному исчислению предикатов с равенством добавляется символ отношения $\in$».

epros писал(а):

AGu в сообщении #230167 писал(а):

Кстати, призываю Вас к корректности в высказываниях.

Мы обсуждали "понимание" и я всего лишь высказал своё мнение по этому вопросу. Вроде бы никого никак не обозвал.

Ладно, проехали.

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #230128 писал(а):

Что же касается самой ZFC, то ее очень трудно «понять по-разному», так как она четко определена и преподается на первых курсах университетов.

По каким книжкам ZFC преподаётся? Я знаю только Френкеля «Основания теории множеств». Книга классическая, но основательная. У Френкеля есть хороший курс по теории множеств. Но этот курс не переведён на русский язык.

[epros]

AGu в сообщении #230196 писал(а):

Это, безусловно, работка не из легких. Только, во-первых, пожалуйста, не экстраполируйте Ваш опыт общения на профессиональную математическую среду. Там ситуация в корне иная.

Я не то чтобы "экстраполирую", но в некотором роде полагаю, что "разрыва" не должно быть. Кто-то из великих (правда, физиков) сказал, что настоящий учёный должен уметь объяснить суть вопроса, над которым он работает, даже уборщице. Например, суть первой теоремы Гёделя о неполноте, как я полагаю, уборщице объяснить в принципе можно, хотя этот вопрос совсем не простой. А вот как объяснить суть выводов типа вывода о существовании аддитивной нелинейной функции - даже не представляю себе...

AGu в сообщении #230196 писал(а):

а пытаться (даже с искренними и добрыми намерениями) «обратить в свою веру» -- совсем другое.

Я не пытаюсь обратить никого в свою веру. Наоборот, интересуюсь догматами той веры, которая столь распространена, но основания которой я не могу понять. Я ведь тоже могу сконструировать какие-нибудь "такие-эдакие" аксиомы, из которых потом можно много чего выводить, вариантов - море. Но главные вопросы: Зачем это? И почему именно такие аксиомы стали предметом всеобщего поклонения?

AGu в сообщении #230196 писал(а):

В конце концов, если кто-то получает удовольствие от осознания самого факта существования чего-либо, то это тоже в каком-то смысле применение. Есть ведь и такая радикальная точка зрения: математика -- это элитарное интеллектуальное искусство. Нам ли лишать людей права заниматься искусством и наслаждаться эфемерными результатами своего труда?

Применение примерно в том же смысле, в котором Священное Писание находит применение в богослужебном процессе?
Я-то имел в виду применение в реальности, а не для "внутренних нужд" математиков.

AGu в сообщении #230196 писал(а):

не «к стандартному исчислению предикатов добавляются символы отношений $\in$ и $=$», а «к стандартному исчислению предикатов с равенством добавляется символ отношения $\in$»

Понял. Хотя мне равенство представляется для стандартного исчисления предикатов не родным понятием.

[AGu]

Виктор Викторов в сообщении #230198 писал(а):

AGu в сообщении #230128 писал(а):

Что же касается самой ZFC, то ее очень трудно «понять по-разному», так как она четко определена и преподается на первых курсах университетов.

По каким книжкам ZFC преподаётся? Я знаю только Френкеля «Основания теории множеств». Книга классическая, но основательная. У Френкеля есть хороший курс по теории множеств. Но этот курс не переведён на русский язык.

Ох, давно это было. (Мне ZFC втюхали чуть ли не в первом семестре первого курса.) Сам-то я на готовенькое прихожу -- развлекаюсь со студентами и аспирантами, уже знакомыми со всей логической подноготной. Думаю, университетские курсы построены на целой куче разнообразных источников. Наверняка есть новые «осовремененные» учебники и монографии, но если выбирать среди махровой классики, то навскидку помимо Френкеля с Бар-Хиллелом вспоминается следующее:

Справочная книга по математической логике. Часть 2. Теория множеств
Куратовский, Мостовский. Теория множеств
Йех. Теория множеств и метод форсинга

А если брать еще и книги просто по логике (без которой полностью ZFC не просечь), то

Справочная книга по математической логике. Часть 1. Теория моделей
Ершов, Палютин. Математическая логика
Гильберт, Бернайс. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики
Гильберт, Бернайс. Основания математики. Теория доказательств
Мендельсон. Введение в математическую логику

Кстати, у Мендельсона теория классов строится без равенства, а равенство вводится как сокращение: $(x=y)\,:=\,(\forall\,z)(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$. Так вот, я там только что увидел дополнительную аксиому: $x=y\Rightarrow(x\in z\Leftrightarrow y\in z)$. Ничего не напоминает? А вот:

AGu в сообщении #228771 писал(а):

Подозреваю, что epros намекает на следующее: все аксиомы равенства доказуемы из одних лишь специальных аксиом ZF. Честно признаюсь, я не знаю, так ли это. Во всяком случае, мне с наскока не удается доказать аксиому $x\in y\land x=z\Rightarrow z\in y$. (А все остальные -- удается, причем вообще без специальных аксиом. ) Я даже собрался было применить какую-нибудь ординальную кумулятивную иерархию, но потому вдруг подумал: а откуда мне знать, не разрушится ли она без (еще не доказанных) аксиом равенства. Короче, продолжаю тупить.

Похоже, я тупил не на пустом месте, и эта аксиома таки не выводится из специальных аксиом. (Ну или мы с Мендельсоном вместе затупили. Мелочь, а приятно. )

-- 2009.07.20 21:59 --

epros в сообщении #230236 писал(а):

AGu в сообщении #230196 писал(а):

Это, безусловно, работка не из легких. Только, во-первых, пожалуйста, не экстраполируйте Ваш опыт общения на профессиональную математическую среду. Там ситуация в корне иная.

Я не то чтобы "экстраполирую", но в некотором роде полагаю, что "разрыва" не должно быть. Кто-то из великих (правда, физиков) сказал, что настоящий учёный должен уметь объяснить суть вопроса, над которым он работает, даже уборщице. Например, суть первой теоремы Гёделя о неполноте, как я полагаю, уборщице объяснить в принципе можно, хотя этот вопрос совсем не простой.

Говорите, разрыва не должно быть? Может быть, может быть. Но он есть, факт. Нужно ли тратить усилия на его устранение или хотя бы уменьшение? Ох, не знаю. Да и разрешима ли эта задача? Тоже не знаю. Все это для меня слишком тонко, психологично и даже физиологично. Короче, молчу, нет у меня сформировавшегося мнения на этот счет.

epros писал(а):

А вот как объяснить суть выводов типа вывода о существовании аддитивной нелинейной функции - даже не представляю себе...

Суть выводов или суть существования? Суть выводов -- думаю, понятна. Логика, мать наша. А вот суть существования -- это уже философия, наша теща. Тут я, опять-таки, пасую.

epros писал(а):

Но главные вопросы: Зачем это? И почему именно такие аксиомы стали предметом всеобщего поклонения?

Зачем -- философия. Почему -- отчасти уже история. Насчет первого ничего не посоветую, а насчет второго -- ну наверняка есть исторические исследования. Можно погуглить.

epros писал(а):

AGu в сообщении #230196 писал(а):

В конце концов, если кто-то получает удовольствие от осознания самого факта существования чего-либо, то это тоже в каком-то смысле применение. Есть ведь и такая радикальная точка зрения: математика -- это элитарное интеллектуальное искусство. Нам ли лишать людей права заниматься искусством и наслаждаться эфемерными результатами своего труда?

Применение примерно в том же смысле, в котором Священное Писание находит применение в богослужебном процессе?
Я-то имел в виду применение в реальности, а не для "внутренних нужд" математиков.

Это-то понятно. Но и я не только на эфемерность намекал. (Неча цитаты обрезать! )

epros писал(а):

Хотя мне равенство представляется для стандартного исчисления предикатов не родным понятием.

Во, он-топик пошел! Могу сказать, что Вы не одиноки в этом представлении. Думаю, не сильно ошибусь, предположив, что примерно половина монографий сразу всовывает равенство в теорию предикатов, а другая половина подсовывает его позже. Но все же подсовывает! Причем вне предметных теорий. Это о чем-то все же говорит. А говорит это, скорее всего, о том, что в математике очень много предметных теорий с равенством, и дублировать соответствующие аксиомы в каждой теории -- неоптимально. Гораздо экономнее вынести их в специализированную версию теории предикатов. Так что, скорее всего, тут нет никакой философии, и наблюдается чистой воды прагматизм.

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #230242 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #230198 писал(а):

AGu в сообщении #230128 писал(а):

Что же касается самой ZFC, то ее очень трудно «понять по-разному», так как она четко определена и преподается на первых курсах университетов.

По каким книжкам ZFC преподаётся? Я знаю только Френкеля «Основания теории множеств». Книга классическая, но основательная. У Френкеля есть хороший курс по теории множеств. Но этот курс не переведён на русский язык.

Ох, давно это было. (Мне ZFC втюхали чуть ли не в первом семестре первого курса.) Сам-то я на готовенькое прихожу -- развлекаюсь со студентами и аспирантами, уже знакомыми со всей логической подноготной. Думаю, университетские курсы построены на целой куче разнообразных источников. Наверняка есть новые «осовремененные» учебники и монографии, но если выбирать среди махровой классики, то навскидку помимо Френкеля с Бар-Хиллелом вспоминается следующее:

Справочная книга по математической логике. Часть 2. Теория множеств
Куратовский, Мостовский. Теория множеств
Йех. Теория множеств и метод форсинга

А если брать еще и книги просто по логике (без которой полностью ZFC не просечь), то

Справочная книга по математической логике. Часть 1. Теория моделей
Ершов, Палютин. Математическая логика
Гильберт, Бернайс. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики
Гильберт, Бернайс. Основания математики. Теория доказательств
Мендельсон. Введение в математическую логику

Да хорошие книги. Но, когда я смотрю на второе издание Abraham A. Fraenkel “Abstract Set Theory” жалость к горлу клонит, что книга не была переведена и не издана в России вместе с «Основаниями теории множеств».

AGu в сообщении #230242 писал(а):

А если брать еще и книги просто по логике (без которой полностью ZFC не просечь),

Это точно!

AGu в сообщении #230242 писал(а):

Кстати, у Мендельсона теория классов строится без равенства, а равенство вводится как сокращение: $(x=y)\,:=\,(\forall\,z)(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$.

Мне трудно понять, чем это отличается от аксиомы экстенсиональности (стр. 48).

AGu в сообщении #230242 писал(а):

Так вот, я там только что увидел дополнительную аксиому: $x=y\Rightarrow(x\in z\Leftrightarrow y\in z)$. Ничего не напоминает?

Вот одно из определений равенства у Френкеля (их у него как Вы знаете два).
«Определение IIa. $x$ называется равным $y$ $(x=y) $ тогда и только тогда, когда для всех $z$ $x\in z$ влечёт $y\in z$, и обратно, $y\in z$ влечёт $x\in z$, т. е. если каждое множество, содержащее одно из множеств $x$ и $y$, содержит также и другое.». (Страница 47).
И далее в символике строчка практически неотличимая от приведённой Вами дополнительной аксиомы.

Теперь весьма деликатный вопрос. В другом определении Френкель вводит равенство иначе «если каждый член одного из этих множеств есть также и член другого». (Страница 47). Пусть у нас есть два подмножества натуральных чисел. Например, множество все простых чётных чисел и множество всех корней уравнения $3x=6$. Конечно, эти множества равны. Выяснив это, мы получаем одно множество? Или два равных? Лучше бы одно, но это влечёт кое-какие последствия.
(Кстати или наоборот, на странице 46 русского издания опепятка).

[epros]

AGu в сообщении #230242 писал(а):

epros писал(а):

Но главные вопросы: Зачем это? И почему именно такие аксиомы стали предметом всеобщего поклонения?

Зачем -- философия. Почему -- отчасти уже история. Насчет первого ничего не посоветую, а насчет второго -- ну наверняка есть исторические исследования.

Вот он и ответ: это не математика. Стало быть имеем полное право не придавать этому всеобщему поклонению никакого значения.