взаимно однозначное отображение

[terminator-II]

$B\subset\mathbb{R}^m$ -- открытый шар
непрерывное отображение $f:B\to \mathbb{R}^m$ взаимнооднозначно со своим образом $f(B)$.
Доказать, что множество $f(B)$ открыто в $\mathbb{R}^m$

[Профессор Снэйп]

А здесь что, неправильное решение? Или нужно решить более элементраными методами?

[terminator-II]

а я думал это ни кто не читал

[Vanuan]

В этом разделе публикуют задачи, зная решение?

[Профессор Снэйп]

Vanuan в сообщении #229720 писал(а):

В этом разделе публикуют задачи, зная решение?

По разному. Бывает, что да, а бывает, что нет. Главное, чтоб задача была нестандартной. Ну и чтоб носила олимпиадный характер, то есть чтобы её сложность заключалась в неожиданности и оригинальности решения, а не в большом объёме стандартных выкладок.

-- Пт июл 17, 2009 19:43:39 --

То есть вообще что получается? Пусть $f$ есть непрерывная биекция $B$ на $B$. Тогда $f$ --- гомеоморфизм, так что ли?

[terminator-II]

Профессор Снэйп в сообщении #229729 писал(а):

То есть вообще что получается? Пусть $f$ есть непрерывная биекция $B$ на $B$. Тогда $f$ --- гомеоморфизм, так что ли?

почему на $B$ ?-- на $f(B)$
Вот это очень интересная тонкость. то, что $f$ гомеоморфизм между $B$ и $f(B)$, доказать легко. Отображение $f$ замкнуто, непрерывное замкнутое взаимнооднозначное отображение есть гомеоморфизм. Это грубый общетопологический факт. А вот то, что этот гомеоморфный образ оказывается вложенным в $\mathbb{R}^m$ как открытое множество это уже тонкая вещь, которая очень глубоко использует свойства $\mathbb{R}^m$.
И из общетопологических соображений как там показали Виктор Викторов и AGu эта вещь не следует.

[neo66]

А как насчет такого рассуждения? Вроде бы вполне элементарно.

1)общая Лемма: Взаимно однозначное непрерывное отображение компакта в хаусдорфово пространство - есть гомеоморфизм на образ. (несложное упражнение)

2)В $\mathbb{R}^n$, если два подмножества гомеоморфны и одно открыто(замкнуто), то другое тоже открыто(замкнуто).

3) Взаимно однозначное непрерывное отображение открытого шара $B\in \mathbb{R}^n$ есть гомеоморфизм на образ.
- в самом деле, достаточно доказать, что образ открытого подмножества шара открыт. Или, что тоже самое, образ любого замкнутого подмножества шара замкнут. Но это следует из пункта 1).

Из пунктов 2) и 3) следует, что образ открытого шара при взаимно однозначном непрерывном отображении открыт.

[terminator-II]

neo66 в сообщении #229817 писал(а):

А как насчет такого рассуждения? Вроде бы вполне элементарно.

1)общая Лемма: Взаимно однозначное непрерывное отображение компакта в хаусдорфово пространство - есть гомеоморфизм на образ. (несложное упражнение)

2)В $\mathbb{R}^n$, если два подмножества гомеоморфны и одно открыто(замкнуто), то другое тоже открыто(замкнуто).

3) Взаимно однозначное непрерывное отображение открытого шара $B\in \mathbb{R}^n$ есть гомеоморфизм на образ.
- в самом деле, достаточно доказать, что образ открытого подмножества шара открыт. Или, что тоже самое, образ любого замкнутого подмножества шара замкнут. Но это следует из пункта 1).

Из пунктов 2) и 3) следует, что образ открытого шара при взаимно однозначном непрерывном отображении открыт.

нет это не решение, читайте комментарии в обеих ветках

[neo66]

terminator-II в сообщении #229997 писал(а):

нет это не решение, читайте комментарии в обеих ветках

Я читал.
Если нетрудно, укажите в каком месте ошибка?

[Профессор Снэйп]

Второй пункт отнюдь не очевиден. Собственно, он и является ключевым для доказательства.

[terminator-II]

непонятно также о каком компакте и дет речь в первом пункте

[Профессор Снэйп]

terminator-II в сообщении #230016 писал(а):

непонятно также о каком компакте и дет речь в первом пункте

Думаю, что о произвольном. С первым пунктом-то как раз всё в порядке, лемма достаточно очевидна.

[terminator-II]

я не с порю с самим пунктом 1) просто непонятно какое отношение это имеет к вопросу, а -а- а почитал пункт 3) понял. тогда ,да, остается пункт 2) доказатиь, который и есть исходная задача