открытые множества

[terminator-II]

Рассмотрим топологическое пространство $X$ и непустые множества $D,E\subset X$.
Множество $D$ открыто в $X$. Известно, что множества $D$ и $E$ гомеоморфны как топологические пространства с индуцированной из $X$ топологией.
Верно ли, что множество $E$ открыто в $X$?

[Виктор Викторов]

{a, b} – топологическое пространство. {a, b}, {a} и пустое множество – открытая топология. {a} и {b} гомеоморфны как подпространства с индуцированной топологией. {a} открыто в {a, b} и {b} неоткрыто в {a, b}.

[AGu]

Виктор Викторов предложил самый простой из возможных контрпримеров.
Я могу, разве что, обратить внимание на чуть более «жизненный» случай:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]$.

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #228616 писал(а):

Виктор Викторов предложил самый простой из возможных контрпримеров.
Я могу, разве что, обратить внимание на чуть более «жизненный» случай:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]$.

Ваш пример не годится. У него включение строгое: $D,E \subset X$, а не $D,E \subseteq X$.

[terminator-II]

всем спасибо.

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #228624 писал(а):

AGu в сообщении #228616 писал(а):

Виктор Викторов предложил самый простой из возможных контрпримеров.
Я могу, разве что, обратить внимание на чуть более «жизненный» случай:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]$.

Ваш пример не годится. У него включение строгое: $D,E \subset X$, а не $D,E \subseteq X$.

Ах вона, как? Ну тогда «жизненность» слегка понижается:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]\cup[2,3]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]\cup[2,3]$.

[terminator-II]

на самом деле я сильно загрубил ситуацию. мне нужно было $X=\mathbb{R}^m$. в этом случае я уже разобрался, тут образ открытого множества при непрерывном взаимно однозначном отображении открыт.

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #228634 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #228624 писал(а):

AGu в сообщении #228616 писал(а):

Виктор Викторов предложил самый простой из возможных контрпримеров.
Я могу, разве что, обратить внимание на чуть более «жизненный» случай:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]$.

Ваш пример не годится. У него включение строгое: $D,E \subset X$, а не $D,E \subseteq X$.

Ах вона, как? Ну тогда «жизненность» слегка понижается:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]\cup[2,3]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]\cup[2,3]$.

Уважаемый AGu!
Ваш контрпример, конечно, более «жизненный». Во-первых, мощность пространства континуум, а во-вторых, топология индуцирована из множества вещественных чисел. Всегда с интересом читаю Ваши комментарии. Спасибо.

[id]

terminator-II

Цитата:

нужно было $X=\mathbb{R}^m$. в этом случае я уже разобрался, тут образ открытого множества при непрерывном взаимно однозначном отображении открыт.

Хм, интересно. А как оно примерно доказывается? Т.е. $X, Y \subset \mathbb{R}^n$, $X$ - открыто, $f: X \to Y$ - непрерывная биекция $\Rightarrow$ $Y$ открыто.
Что-то не приходит в голову быстрое обще-топологическое доказательство.

[terminator-II]

Теорема.

id в сообщении #229207 писал(а):

$X, Y \subset \mathbb{R}^n$, $X$ - открыто, $f: X \to Y$ - непрерывная биекция $\Rightarrow$ $Y$ открыто.

Что такое топологическая степень см. Ниренберг Лекции по нелинейному функциональному анализу.

Лемма. Пусть $D\subset\mathbb{R}^n$ -- ограниченное открытое множество. $g:\overline D\to\mathbb{R}^n$ -- непрерывное отображение взаимно однозначное со своим образом. Тогда $g(D)$ открыто.

Док-во. Предположим противное: найдется точка $y\in g(D)$ и последовательность $\{y_k\},\quad\{y_k\}\cap g(D)=\emptyset$ такие, что $y_k\to y$.

При больших $k$ будет выполнено еще и такое условие: $\{y_k\}\cap g(\partial D)=\emptyset$. Это следует из того, что $y\notin g(\partial D)$ и $g(\partial D)$ -- компактно.
В силу взаимной однозначности $\deg(g,D,y)=\pm 1$. По построению $\deg(g,D,y_k)=0$ при больших $k$. В силу стандартной теоремы при достаточно больших $k$ будет $\deg(g,D,y)=\deg(g,D,y_k)$. Противоречие.

Док-во теоремы. Представим множество $X$ в виде $X=\cup_{k=1}^\infty D_k$, где $\{D_k\}$ - последовательность открытых ограниченных множеств, $\overline D_k\subset X$. (Мне показалось очевидным, что такие множества существуют. Ну или во всяком случае теорема доказана для тех множеств $X$, которые представимы в таком виде)

По лемме множества $f(D_k)$ открыты. Остается заметить, что $Y=\cup_{k=1}^\infty f(D_k)$.

[id]

terminator-II

Цитата:

Мне показалось очевидным, что такие множества существуют. Ну или во всяком случае теорема доказана для тех множеств $X$, которые представимы в таком виде

А если взять $D_n = \{x \in X : \|x\| < n, d(x,\partial X) > \frac 1 n\}$?

Примерно ясно, спасибо.

[artem005]

А нельзя ли более по подробнее расписать, что-то не могу понять доказательство.
Во-первых, что такое deg(g,F,y), раз
Во-вторых почему yk пересечение с g(Граница(D)) пусто?
И вообще просто более детально.
Please

[AKM]

artem005,

прошу обратить внимание на наши правила.
Вы без нужды поднимаете старые темы, пишете формулы не по правилам.
Часть (или все? --- пока не знаю) Ваших сообщений будет удалена.