Вопрос по линейной алгебре: оператор простой структуры

[srider0000]

Подскажите, пожалуйста, как доказать следующие утверждение:

Пусть дано линейное пространство V и заданный на нём линейный оператор простой структуры A. Доказать, что V есть прямая сумма собственных подпространств оператора A.

[ewert]

srider0000 в сообщении #229499 писал(а):

Пусть дано линейное пространство V и заданный на нём линейный оператор простой структуры A. Доказать, что V есть прямая сумма собственных подпространств оператора A.

Зависит от того, как формально определяется "оператор простой структуры". Вообще-то в лоб.

[мат-ламер]

Оператор простой структуры - это оператор, у которого жорданова нормальная форма диагональна. Но каждой клетке Жордана (в нашем случае - каждому собственному значению) соответствует инвариантное пространство (в нашем случае - собственный вектор).

[ewert]

мат-ламер в сообщении #229581 писал(а):

инвариантное пространство (в нашем случае - собственный вектор).

Ну прям-таки. За такое словосочетание вмиг вынесут.

------------------------------------------------------------------
Вообще-то раз речь об операторе, то наиболее естественным определением было бы такое: "оператор имеет простую структуру, если из его собственных векторов можно составить базис".

Тогда берём совокупность всех собственных подпространств (т.е. линейных оболочек для каждой группы собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному числу) и берём сумму этих подпространств. Не потому, что нам так захотелось, а просто мы вынуждены это сделать условиями задачи. Собственно, доказать надо две вещи:
1) что эта сумма -- прямая;
2) что эта сумма включает в себя всё пространство.
Первое -- очевидно, второе -- тем более.

Ну а возможно, что формальное определение простоты структуры было и другим. Например:
* если матрица оператора диагонализуема; или чуть иначе:
* если хоть в одном базисе матрица оператора диагональна.
Тогда надо просто доказать дополнительно эквивалентность этого определения векторному. "Эквивалентность" -- потому, что это отдельная (и стандартная) тема, не имеющая прямого отношения к поставленной задаче.

[мат-ламер]

Цитата:

Но каждой клетке Жордана (в нашем случае - каждому собственному значению) соответствует инвариантное пространство (в нашем случае - собственный вектор).

А что не так? Это не означает, что собственный вектор есть инвариантное пространство. Это означает, что "каждой клетке Жордана соответствует инвариантное (под)пространство (в нашем случае - каждому собственному значению соответствует собственный вектор). " Чувствую что криво написал.

[Профессор Снэйп]

Может оказаться так, что собственное значение всего одно, а жорданова форма тем не менее диагональна. Например, у матрицы

$$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$

это так Каждой клетке жордана соответствует единственный (с точностью до умножения на константу) собственный вектор, а каждому собственному значению --- целый континуум собственных векторов, причём из них можно образовать базис всего пространства, так что даже с точностью до умножения на константу никакой единственности тут и в помине нет. И получается, что фраза

Цитата:

каждой клетке Жордана (в нашем случае - каждому собственному значению) соответствует инвариантное пространство (в нашем случае - собственный вектор).

действительно непонятно что выражает. Выглядит она донельзя коряво. По крайней мере, если б мне такое сказали на экзамене, я бы точно придрался

-- Вт июл 21, 2009 10:01:05 --

srider0000 в сообщении #229499 писал(а):

Доказать, что V есть прямая сумма собственных подпространств оператора A.

Это может вообще оказаться неверным. Например, если пространство имеет размерность $1$

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #230307 писал(а):

действительно непонятно что выражает.

Нет, с точностью до корявости вполне понятно. Каждой клетке действительно отвечает инвариантное подпространство. Только вопрос-то был про не просто инвариантные подпространства, а конкретно про собственные. А они уже вполне однозначны.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #230308 писал(а):

Каждой клетке действительно отвечает инвариантное подпространство.

Каждой клетке --- согласен. Но не каждому собственному значению! А у афтара написано

Цитата:

каждой клетке Жордана (в нашем случае - каждому собственному значению) соответствует...

[ewert]

Это просто жаргон, к тому же правильный.

[мат-ламер]

Правильней конечно было написать "каждому собственному значению (с учётом кратности)". Причём надо было пояснить, что такое геометрическая и что такое алгебраическая кратность, и пояснить, что в нашем случае они совпадают. Ещё правильней было ничего этого не писать, а воспользоваться правильным определением оператора простой структуры. Но я в книгах этого не нашёл. Может кто даст ссылку? Правда, у Кострикина определяется понятие диагонализируемого оператора.

[vvvv]

Посмотрите И.М.Глазман, Ю.И.Любич. Конечномерный линейный анализ.

[Профессор Снэйп]

А нельзя ли здесь воспроизвести точное определение оператора простой структуры? А также определение собственного подпространства (я грешным делам подумал, что собственное подпространство --- это подпространство, не совпадающее со всем пространством, но боюсь, что в контексте данной темы это не так).

[vvvv]

У вышеприведенных авторов есть определение простой оператор

[мат-ламер]

То, что вышеприведённые авторы понимают под простым оператором, не совсем то, что имелось в виду у ewerta. Они понимают под простым оператом такой оператор, у которого характеристический многочлен совпадает с минимальным. Подозреваю, что это оператор, у которого нет одинаковых жордановых клеток. Но у этих авторов есть оператор скалярного типа.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #230528 писал(а):

я грешным делам подумал, что собственное подпространство --- это подпространство, не совпадающее со всем пространством,

нет, конечно. Это "собственное подмножество" -- крайне неудачный термин, на мой взгляд, и именно потому, что собственное подпространство -- это подпространство, составленное из всех собственных векторов, отвечающих данному собственному числу (плюс ноль).

-- Ср июл 22, 2009 13:55:36 --

мат-ламер в сообщении #230542 писал(а):

Они понимают под простым оператом такой оператор, у которого характеристический многочлен совпадает с минимальным. Подозреваю, что это оператор, у которого нет одинаковых жордановых клеток.

У которого вообще каждому собственному числу отвечает только одна жорданова клетка. В частности, если матрица диагонализуема, то все собственные числа должны быть (алгебраически) однократными.

В задаче имелось в виду, конечно, не это.