выпуклость функции двух переменных

[g-a-m-m-a]

Может ли функция двух переменных быть выпуклой по каждой переменной, но не выпуклой по совокупности переменных?

[ИСН]

$x^2-y^2$

[g-a-m-m-a]

по $x$ она вогнута

[venco]

$6xy-x^2-y^2 = 8x^2-(y-3x)^2 = 8y^2-(x-3y)^2$
А если $x=y$, то $6xy-x^2-y^2 = 4x^2$

[ewert]

Короче: просто седло, вытянутое вдоль биссектрисы.

[ИСН]

Тьфу!
(Пока выводил пример, всё кончилось. Да, такое седло.)

[мат-ламер]

ewert в сообщении #229235 писал(а):

Короче: просто седло, вытянутое вдоль биссектрисы.

Т.е. $f(x,y)=xy$.

[ewert]

Вытяньте чуток -- скажем, $f(x,y)=4xy-x^2-y^2.$ Вообще, $f(x,y)=xy-\varepsilon(x^2+y^2)$
с достаточно малым $\varepsilon.$

[мат-ламер]

С достаточно малым отрицательным $\epsilon$.

[ewert]

Да пусть и положительным -- всё равно по каждой переменной будет выпуклость в одну и ту же сторону, а вот по совокупности -- нет, седло-с.