Сумма инъекции и сюръекции

[AGu]

Говорят, что функция $i:\mathbb R\to\mathbb R$ инъективна, если $(\forall\,x,y\in\mathbb R)\bigl(\,x\ne y\,\Rightarrow\,i(x)\ne i(y)\,\bigr)$.
Говорят, что функция $s:\mathbb R\to\mathbb R$ сюръективна, если $(\forall\,y\in\mathbb R)(\exists\,x\in\mathbb R)\bigl(\,s(x)=y\,\bigr)$.

Проверьте следующую гипотезу.

Для любой функции $f:\mathbb R\to\mathbb R$ существуют
инъективная функция $i:\mathbb R\to\mathbb R$ и сюръективная функция $s:\mathbb R\to\mathbb R$
такие, что $f(x)=i(x)+s(x)$ для всех $x\in\mathbb R$.

[Профессор Снэйп]

Если вместо $\mathbb{R}$ взять что-нибудь счётное, например $\mathbb{Q}$, или $\mathbb{Z}$, то любую функцию можно представить в виде суммы двух биекций.

А с $\mathbb{R}$ не знаю...

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #228608 писал(а):

Если вместо $\mathbb{R}$ взять что-нибудь счётное, например $\mathbb{Q}$, или $\mathbb{Z}$, то любую функцию можно представить в виде суммы двух биекций.

Я бы не отказался ознакомиться с доказательством или хотя бы его идеей.
(Чтобы не обломить кайф потенциальным решателям, можно, например, в личку.)

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #228610 писал(а):

Я бы не отказался ознакомиться с доказательством или хотя бы его идеей.

Главная идея в том, что оно счётное

Если нужно что-то более детальное, то, наверное, в личку, да... Попозже тока, сейчас лень.

[Sonic86]

Для непрерывных функций существуют. Если для $f(x)$ функция $M(x)$ непрерывна и растет быстрее, чем $f(x)$ при $x \to \infty$, то из $M(x)$ можно сконструировать $g(x)$ такую, что $g(x)$ и $g(x)-f(x)$ будут биекциями. Насчет функций с не более чем счетным числом точек разрыва - не знаю.
(а еще мне кажется, что сейчас придут люди, склонные к рассуждению о конструктивизме, любящие оперировать с аксиомой выбора и докажут полностью, однако, неконструктивно)

[AGu]

Sonic86 в сообщении #228760 писал(а):

Для непрерывных функций существуют. Если для $f(x)$ функция $M(x)$ непрерывна и растет быстрее, чем $f(x)$ при $x \to \infty$, то из $M(x)$ можно сконструировать $g(x)$ такую, что $g(x)$ и $g(x)-f(x)$ будут биекциями.

Хмм... Что-то в этом есть, но я не уверен, что эта непрерывная мысль поможет решить задачу для произвольных функций.

[Хорхе]

Sonic86 в сообщении #228760 писал(а):

Для непрерывных функций существуют. Если для $f(x)$ функция $M(x)$ непрерывна и растет быстрее, чем $f(x)$ при $x \to \infty$, то из $M(x)$ можно сконструировать $g(x)$ такую, что $g(x)$ и $g(x)-f(x)$ будут биекциями.

А, часом, $f$ не должна быть локально ограниченной вариации?

[ewert]

Хорхе в сообщении #228913 писал(а):

А, часом, $f$ не должна быть локально ограниченной вариации?

Нет, непрерывности достаточно. Считаем $f(0)=0,$ берём $M_0(x)=\sup\limits_{t\in[0;x]}f(t)$ при $x\geqslant0$ и $M_0(x)=\inf\limits_{t\in[x;0]}f(t)$ при $x\leqslant0,$ а затем $M(x)=M_0(x)+x.$ Тогда $M(x)$ непрерывна и биективна, а $f(x)-M(x)$ сюръективна.

[Sonic86]

AGu писал(а):

Хмм... Что-то в этом есть, но я не уверен, что эта непрерывная мысль поможет решить задачу для произвольных функций.

По-моему тоже для разрывных не подходит

Хорхе писал(а):

А, часом, $f$ не должна быть локально ограниченной вариации?

Я предполагал брать $M(x) = A + e^{f(|x|)}$

ewert писал(а):

Нет, непрерывности достаточно. Считаем $f(0)=0,$ берём $M_0(x)=\sup\limits_{t\in[0;x]}f(t)$ при $x\geqslant0$ и $M_0(x)=\inf\limits_{t\in[x;0]}f(t)$ при $x\leqslant0,$ а затем $M(x)=M_0(x)+x.$ Тогда $M(x)$ непрерывна и биективна, а $f(x)-M(x)$ сюръективна.

А, ну вот.

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #228610 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #228608 писал(а):

Если вместо $\mathbb{R}$ взять что-нибудь счётное, например $\mathbb{Q}$, или $\mathbb{Z}$, то любую функцию можно представить в виде суммы двух биекций.

Я бы не отказался ознакомиться с доказательством или хотя бы его идеей.
(Чтобы не обломить кайф потенциальным решателям, можно, например, в личку.)

Ну, я может, чуть поспешил... К примеру, если $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(0)=1$, $f(z)=0$ при $z \neq 0$. Тогда $f$ нельзя представить суммой двух биекций. Действительно, если $g$ и $h$ --- биекции, $f(z) = g(z) + h(z)$, то $h(0) = 1 - g(0)$, $h(z) = -g(0)$ при некотором $z \neq 0$ и при этом $z$ имеем $g(z) = g(0)$. Но!.. Довольно просто доказывается следующее утверждение:

Утверждение. Пусть $A$ --- счётное множество, $B$ --- счётная абелева группа и $f : A \to B$ такая функция, что множество $f(A)$ бесконечно. Тогда существуют две биекции $g,h : A \to B$, такие что $f(a) = g(a) + h(a)$ для любого $a \in A$.

А пример с $f(x) = 1 - |\mathrm{sgn}(x)|$ является контрпримером и для $\mathbb{R}$, не только для $\mathbb{Z}$. Такая $f$ не может являться суммой инъекции и сюрьекции по тем же самым соображениям

[AGu]

Профессор Снэйп, мои поздравления!

[ewert]

А я вот, не вчитываясь, не понял: при чём тут сумма двух биекций?...

[AGu]

ewert в сообщении #229372 писал(а):

А я вот, не вчитываясь, не понял: при чём тут сумма двух биекций?...

Я верю в Ваши силы: вчитавшись не только в этот, но и в предыдущие посты, Вы все поймете!

[maxal]

Вот тут была задача про сумму трех биекций: topic18992.html

[Профессор Снэйп]

Интересно, какие ещё функции, кроме функций вида

$$ f(x) = \begin{cases} a, & x =x_0 \\ b, & x \neq x_0 \end{cases} $$

при $a \neq b$ нельзя представить в виде суммы инъекции и сюрьекции?