Почему радианы?

[ewert]

MGM в сообщении #228713 писал(а):

Принципиально неверно утверждать, что существует абсолютное определение функции синус, и что только оно верно для всех случаев жизни.

Никто этого и не утверждал.

MGM в сообщении #228713 писал(а):

Для 3 вычисления 0 градусов вполне достаточно определения, данного до РХ.Так сказать, "минимальный инструмент".

Так и оставайтесь до Р.Х., обходясь "минимальными инструментами". Никто Вас не неволит.

[MGM]

ewert в сообщении #228714 писал(а):

MGM в сообщении #228713 писал(а):

Принципиально неверно утверждать, что существует абсолютное определение функции синус, и что только оно верно для всех случаев жизни.

Никто этого и не утверждал.

MGM в сообщении #228713 писал(а):

Для 3 вычисления 0 градусов вполне достаточно определения, данного до РХ.Так сказать, "минимальный инструмент".

Так и оставайтесь до Р.Х., обходясь "минимальными инструментами". Никто Вас не неволит.

Вы слишком серьёзно восприняли эту дискуссию.

Вопрос-то был о нормировке области определения некоторых функций.


Для удобства рассуждений и доказательств некоторого класса задач.

Многие любят всё представить геометрически, для активации интуиции.
И им приятней работать с градусами.
Другие же, даже самые простые геометрические задачи формализуют алгебраическими выражениями.
И тогда$ \[ {\text{sin}}\left( {\pi {\text{/3}}} \right) \] $ вроде бы более наглядно, чем $\[ {\text{sin}}\left( {{\text{30}}^{\text{0}} } \right) \]$


Каждому своё. Поэтому градусы и используют повсеместно именно в "жизни".

[ewert]

MGM в сообщении #228721 писал(а):

Поэтому градусы и используют повсеместно именно в "жизни".

Градусы используют "в жизни" только потому, что их удобнее произносить. В математике же удобство произношения малосущественно и на первый план выходит естественность определения. Потому и используются исключительно радианы.

[vvvv]

Евгеша! Все ясно ?

[Евгеша]

VAL в сообщении #228597 писал(а):

А представьте себе синусоиду, которая при изменении аргумента от 0 до 90 меняет свое значение от 0 до 1. Да мы бы ее от прямой не отличили!

А я и не утверждаю, что градусы удобнее , но можно было взять в качестве единицы, например, прямой угол. Тогда бы формулы стали проще и красивее. Что-то типа:

$\sin 1 = 1$
$\tg 2 = 0$

Цитата:

А при радианной мере аргумент и значение тригонометрических функций выражены в одних и тех же единицах.

А вот эта мысль мне непонятна. Каких еще единицах?

Lyoha в сообщении #228602 писал(а):

Для начала стоит записать с использованием различных единиц простейшие выражения: зависимость длины дуги от угла, скорость и ускорение точки, движущейся по окружности.

Об этом я и не подумал!

AKM в сообщении #228648 писал(а):

А почему не длину хорды взять, спросите Вы, --- тогда линейкой мерять можно было бы, а не ниткой? А попробуйте сами ответить.

Складывать неудобно?

Цитата:

Кстати, от того, что мера естественная, и формулы красивые получаются вроде

$$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\dfrac{x^9}{9!}-\dfrac{x^{11}}{11!}+\ldots$$

А для других единиц эта формула будет неверна?


В книге Куранта "Что такое математика?" пишется, что радианная мера выгодна для теоретических применений(правда для практических - с точностью до наоборот) . Вот только этой выгоды я почему-то нигде не заметил

[ewert]

Евгеша в сообщении #228730 писал(а):

В книге Куранта "Что такое математика?" пишется, что радианная мера выгодна для теоретических применений(правда для практических - с точностью до наоборот) . Вот только этой выгоды я почему-то нигде не заметил

Было же предложено -- посчитайте производную от косинуса.

В точности аналогичный вопрос: почему именно натуральный логирифм называется натуральным?

[Евгеша]

ewert в сообщении #228739 писал(а):

Было же предложено -- посчитайте производную от косинуса.

минус синус

Цитата:

В точности аналогичный вопрос: почему именно натуральный логирифм называется натуральным?

Кстати, интересный вопрос...

[MGM]

ewert в сообщении #228723 писал(а):

MGM в сообщении #228721 писал(а):

Поэтому градусы и используют повсеместно именно в "жизни".

Градусы используют "в жизни" только потому, что их удобнее произносить. В математике же удобство произношения малосущественно и на первый план выходит естественность определения. Потому и используются исключительно радианы.

Естественность, это что за зверь? Радианы не настолько естествены, как кажется.

Просто потому, что математики, настоящие, могут и не знать, что говорят "прозой радиан".
Вы же никак не называете единицы аргумена функции-экспоненты.

Что радианы, что градусы, это из области измерительной геометрии.
А если последовать Вашему совету,
и забыть, что первоначально синус определялся как отношение катета к гипотенузе, то и вообще об этих понятиях можно преспокойно забыть навсегда.
Формулы тригонометрии объявить определениями и всё.

[EtCetera]

Евгеша

Евгеша в сообщении #228802 писал(а):

минус синус

Исключительно только в радианной мере. При использовании любых других единиц перед синусом (в дополнение к минусу) должен появляться коэффициент.
Кстати, Вы никогда не пробовали подставлять в ряд Маклорена для синуса (который здесь уже приводился) значения к-н угла в градусах?

Евгеша в сообщении #228802 писал(а):

Кстати, интересный вопрос...

Вопрос - абсолютно того же поля ягода: $(\log_a x)'=\frac{1}{x \ln a}$. Здесь также вылезают очень неприятные коэффициенты, которые тянутся и тянутся в выкладках... Такая ситуация никак не может считаться естественной, "натуральной".

[MGM]

EtCetera в сообщении #228810 писал(а):

Евгеша

Евгеша в сообщении #228802 писал(а):

минус синус

Исключительно только в радианной мере. При использовании любых других единиц перед синусом (в дополнение к минусу) должен появляться коэффициент.

То есть значение синуса от градусов может быть больше единицы? (задумчиво)

[EtCetera]

MGM в сообщении #228811 писал(а):

То есть значение синуса от градусов может быть больше единицы?

Нет, синусы и косинусы своей области значений не изменяют. А вот их производные - разумеется (для этого достаточно представить себе график синусоиды с разными масштабами по осям).

[ewert]

MGM в сообщении #228807 писал(а):

Естественность, это что за зверь?

Естественностью принято называть не условность. Градусы же, безусловно, условны. Если же Вы до сих пор в этом сомневаетесь, призадумайтесь над вопросом: а чем, собственно, 90 градусов лучше или хуже 89-ти?...

EtCetera в сообщении #228810 писал(а):

Вопрос - абсолютно того же поля ягода: $(\log_a x)'=\frac{1}{x \ln a}$. Здесь также вылезают очень неприятные коэффициенты, которые тянутся и тянутся в выкладках...

Фактически тут дело не в логарифмах, а в показательных функциях (просто от логарифмов короче путь до слова "натуральный", только поэтому я на них и сослался). А если по существу, то из общих свойств показательной функции следует, что её производная пропорциональна ей самой. И "основание натуральных логарифмов" -- это ровно то основание, для которого коэффициент пропорциональности равен единице, не более и не менее.

[Евгеша]

EtCetera в сообщении #228810 писал(а):

Исключительно только в радианной мере. При использовании любых других единиц перед синусом (в дополнение к минусу) должен появляться коэффициент.

Какой коэффициент? Почему он должен появиться?

[venco]

ewert в сообщении #228814 писал(а):

А если по существу, то из общих свойств показательной функции следует, что её производная пропорциональна ей самой. И "основание натуральных логарифмов" -- это ровно то основание, для которого коэффициент пропорциональности равен единице, не более и не менее.

Аналогично, у тригонометрических функций вторая производная пропорциональна им самим, и в радианах коэффициент пропорциональности равен минус единице.

[EtCetera]

Евгеша в сообщении #228829 писал(а):

Какой коэффициент? Почему он должен появиться?

М-да, по-моему мы ходим по кругу. Выше приведено уже столько намеков и аналогий! Раскрываю карты:
$(\cos x)'=-\sin x$ - эта формула выведена для $x$, выраженных в радианной мере.
Так как $x^o =\frac{\pi}{180}x\,$рад, то
$(\cos x^o)'=(\cos(\frac{\pi}{180}x\,$рад$))'=-\frac{\pi}{180}\sin(\frac{\pi}{180}x\,$рад$)=-\frac{\pi}{180}\sin x^o$

-- Вт июл 14, 2009 21:45:25 --

ewert в сообщении #228814 писал(а):

Фактически тут дело не в логарифмах, а в показательных функциях (просто от логарифмов короче путь до слова "натуральный", только поэтому я на них и сослался). А если по существу, то из общих свойств показательной функции следует, что её производная пропорциональна ей самой. И "основание натуральных логарифмов" -- это ровно то основание, для которого коэффициент пропорциональности равен единице, не более и не менее.

Полностью согласен, однако уходить еще дальше в сторону от Вашей аналогии и (следовательно) от синусов с косинусами мне показалось несколько неэтично. Поэтому я ограничился "выкладочной" естественностью натуральных логарифмов.