Полное решение континуум-проблемы

[AD]

Инт в сообщении #227750 писал(а):

существует заведомое предубеждение

Процентов на 60 это предубеждение основано на том, что предложнное рассуждение не является математическим текстом. Если бы это всё было по-нормальному записано, я бы даже прочитал.

[Инт]

AD в сообщении #227756 писал(а):

Инт в сообщении #227750 писал(а):

существует заведомое предубеждение

Процентов на 60 это предубеждение основано на том, что предложнное рассуждение не является математическим текстом. Если бы это всё было по-нормальному записано, я бы даже прочитал.

Опять двадцать пять. Зачем же Вы высказываетесь, если упёрлись в своём?

Процентов на 100 это предубеждение основано на незнании. Текст мой читали квалифицированные математики и вполне одобрили как хороший математический текст. Не применяйте нечестных приёмов AD.

[мат-ламер]

epros. Смотрите книгу Кановея. Там на стр. 4 указывается, что при предположении аксиомы детерминированности (вместо аксиомы выбора) континуум-гипотеза доказуема.

[epros]

мат-ламер в сообщении #227760 писал(а):

epros. Смотрите книгу Кановея. Там на стр. 4 указывается, что при предположении аксиомы детерминированности (вместо аксиомы выбора) континуум-гипотеза доказуема.

Ох, может быть в течение следующей недели доберусь... А нельзя как-нибудь, э-эээ, вкратце? Вот, скажем, что это за "аксиома детерминированности"? Понятно, что если заменить одну аксиому на другую (в чем-то может быть и более сильную), то что-то новое и можно будет доказать.

[Инт]

мат-ламер в сообщении #227587 писал(а):

доказательство просмотрел только вкратце

Меня вот что интересует. Если бы Вы посмотрели хотя бы параграф 1 ссылки и задали вопросы по нему, для начала. Это же относится и к другим участникам обсуждения.

[мат-ламер]

epros. К сожалению, аксиома детерминированности не очень простая и Кановей (кстати, есть в сети) несколько страниц подводит к её формулировке. Там же рассматривается и другие более слабые (чем аксиома выбора) аксиомы. Например, аксиома счётного выбора. Она формулируется совсем легко. Инт писал, что он признаёт аксиому выбора до уровня континуума. Типа выбор существует для множеств с мощностью меньше и равно континуума. Кстати, тут интересный результат, что более слабая аксиома позволяет доказывать более сильные утверждения. Но так получается. Хотя это и неожиданно.

[Инт]

мат-ламер в сообщении #227767 писал(а):

Инт писал, что он признаёт аксиому выбора до уровня континуума. Типа выбор существует для множеств с мощностью меньше и равно континуума. Кстати, тут интересный результат, что более слабая аксиома позволяет доказывать более сильные утверждения. Но так получается. Хотя это и неожиданно.

Ну слово "признаёт" не совсем верно. Можно описать мой метод рассуждения в некоторой его части так: берём какую-то форму ограниченной аксиомы выбора, скажем ограниченную мощностью $\aleph_{1}$ и предполагаем так же, что мощность континуума равна $\aleph_{1}$. Выводим, затем, из аксиом ZF и указанных предположений противоречие, тем, что предъявляется некоторое конкретное действительное число, построенное по предположенным числам и отличное от них. Таким образом, предположение о том, что мощность континуума равна $\aleph_{1}$ приводится к противоречию. Этого, кстати, вообще достаточно для разрешения континуум-проблемы. Но рассуждения можно продолжить и дальше, предполагая, наприимер, что мощность континуума равна $\aleph_{n}$, $n > 1$, и т.д. В итоге, рассуждением от противного, можно установить каждое из утверждений $2^{\aleph_0} > \aleph_\nu$, где $\nu$ - ординал.

[epros]

мат-ламер в сообщении #227767 писал(а):

Кстати, тут интересный результат, что более слабая аксиома позволяет доказывать более сильные утверждения. Но так получается. Хотя это и неожиданно.

Что-то не верю я, что "более слабая" аксиома поможет доказать более сильные утверждения. Например, аксиома счётного выбора (или аксиома континуального выбора) слабее общей аксиомы выбора, ибо её можно вывести из последней, но не наоборот. Полагаю, что ничего нового из такой аксиомы доказать нельзя.

[мат-ламер]

epros. Позвольте с Вами не согласиться. Дело в том, что аксиома выбора - это аксиома существования, а континуум-гипотеза - это аксиома (или теорема в некоторых теориях) несуществования.

[epros]

мат-ламер в сообщении #228217 писал(а):

epros. Позвольте с Вами не согласиться. Дело в том, что аксиома выбора - это аксиома существования, а континуум-гипотеза - это аксиома (или теорема в некоторых теориях) несуществования.

Какая разница? Насколько я понимаю, утверждение о том, что из более слабой аксиомы можно вывести что-то новое (сравнительно с более сильной аксиомой) тривиально опровержимо.

[мат-ламер]

Из более слабой аксиомы выбора мы с большей уверенностью можем утверждать, что не выведем существование множества с промежуточностью мощностью между счётным и континуумом. Т.е. для аксомы детерминированности точно не выведем. А для полной аксиомы выбора (не урезанной), тут уже возникают вопросы. По крайней мере доказать, что не выведем - не получается.

[epros]

мат-ламер в сообщении #228246 писал(а):

А для полной аксиомы выбора (не урезанной), тут уже возникают вопросы. По крайней мере доказать, что не выведем - не получается.

Кажется это Коэн доказал?

К тому же, вопросы к топикстартеру начинаются гораздо раньше континуум-гипотезы. В частности, его утверждение о невозможности вполне упорядочить континуум явно противоречит известному выводу ZFC.

[Инт]

epros в сообщении #228257 писал(а):

К тому же, вопросы к топикстартеру начинаются гораздо раньше континуум-гипотезы. В частности, его утверждение о невозможности вполне упорядочить континуум явно противоречит известному выводу ZFC.

Но никто никогда не указывал конкретного вполнеупорядочения континуума. Тем более, что это было бы равносильно разрешению континуум-проблемы. Вывод Цермело, о котором Вы говорите, очень неконструктивный, т.е. из общих соображений, в лучшем случае формально, выводится, что любое множество можно вполнеупорядочить. В моём же решении указан конкретный и достаточно простой способ извлечения элементов континуума так, что в конечном итоге из континуума извлекается любая вполнеупорядоченная мощность.

[epros]

Инт в сообщении #228490 писал(а):

Но никто никогда не указывал конкретного вполнеупорядочения континуума.

И не надо. Есть доказательство, что отношение полного порядка существует. Как его построить никто сказать не обещал. В ZFC полно таких доказательств.

Инт в сообщении #228490 писал(а):

Вывод Цермело, о котором Вы говорите, очень неконструктивный, т.е. из общих соображений, в лучшем случае формально, выводится, что любое множество можно вполнеупорядочить.

Формально - значит математически корректно. И не из "общих" соображений, а из аксиом ZFC. Конструктивность здесь не пришивайте, ZFC - насквозь неконструктивная теория.

[Инт]

epros в сообщении #228495 писал(а):

Инт в сообщении #228490 писал(а):

Но никто никогда не указывал конкретного вполнеупорядочения континуума.

И не надо. Есть доказательство, что отношение полного порядка существует. Как его построить никто сказать не обещал. В ZFC полно таких доказательств.

Конкретный способ вполнеупорядочения континуума разрешает континуум-проблему. Поэтому, если кому-то не надо знать этот способ, то это означает, что ему же не интересна сама континуум-проблема. Тогда зачем сыр-бор? Формальность отнюдь не означает математическую корректность.