Вопросы по функану

[ShMaxG]

По матану нас учили, что множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Точка $\[ a \in \mathbb{R}^n \]$ называлась предельной точкой множества $\[ E \subset \mathbb{R}^n \]$, если $\[ E \cap \mathop U\limits^ \circ _\varepsilon \left( a \right) \ne 0 \] $ $\[ \forall \varepsilon > 0 \] $.

У Колмогорова, множество называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения.
Не могу никак понять, это одно и то же, или нет? Какая связь между точками прикосновения и предельными точками?

[ewert]

Точка прикосновения -- это или предельная, или изолированная точка множества. Смысл определения от этого не меняется.

[jetyb]

У нас было 4 эквивалентных определения замкнутого множества:
1)$\mathbb{R}^n$/$E$ открыто.
2)$E$ содержит все свои граничные точки.
3)$E$ содержит все свои точки прикосновения.
4)$E$ содержит все свои предельные точки.
На всякий случай напишу определения:
точка x граничная если $\forall\varepsilon\begin{cases}U_{\varepsilon}(x)\bigcap E\neq\oslash\\U_{\varepsilon}(x)\bigcap \mathbb{R}\E\neq\oslash\end{cases}$
x - точка прикосновения если $\forall\varepsilon\quad U_{\varepsilon}(x)\bigcap E\neq\oslash$
определение предельной точки такое же

[id]

ShMaxG
Предельная точка $x$ - если в каждой окрестности есть точка множества, отличная от самой исходной $x$. Значит, в случае хаусдорфовых пространств в любой окрестности будет бесконечного много этих самых точек множества.

Прикосновения - то же самое, но без требования отличности от $x$. Т.е. изолированная точка множества $M$ будет точкой прикосновения, но не будет предельной.

Замыкание можно определить как множество точек прикосновения, это будет то же самое, что $M \bigcup \{M\}$, т.е. само множество и его точки предельные.

У Хаусдорфа в "Теории множеств" и Александрова "Введение в теорию множеств и общую топологию" полнее написано.

[ShMaxG]

Спасибо, разобрался.

[Виктор Викторов]

Вот две ссылки по данной теме:

post215832.html#p215832

topic21315.html

[ShMaxG]

В лекциях по функану заметил одну фишку.

Замыкание множества $S$ (в топологическом пространстве) вводится как пересечение всех замкнутых множеств, содержащих $S$.
Затем доказывается теорема, что замыкание множества совпадает с множеством всех точек прикосновения.

Далее, секвенциальное замыкание множества вводится как множество всех секвенциальных точек прикосновения.

Просто стало любопытно, а можно ввести секвенциальное замыкание множества $S$ как пересечение всех секвенциально замкнутых множеств, содержащих $S$, а затем доказать теорему, что "секвенциальное замыкание множества - множество всех секвенциальных точек прикосновения"?

[Виктор Викторов]

ShMaxG в сообщении #228080 писал(а):

множество всех секвенциальных точек прикосновения

Приведите, пожалуйста, определение секвенциальной точки прикосновения множества.

[ShMaxG]

Пусть $\[ \left( {X,\tau } \right) \] $ - топологическое пространство. Точка $\[ x \in X \] $ называется секвенциальной точкой прикосновения множества $\[ S \subset X \]$, если существует последовательность $\[ \left\{ {x_n } \right\}_{n = 1}^\infty \subset S:x_n \mathop \to \limits^\tau x \]$ при $\[ n \to \infty \]$.

[AGu]

ShMaxG в сообщении #228080 писал(а):

Просто стало любопытно, а можно ввести секвенциальное замыкание множества $S$ как пересечение всех секвенциально замкнутых множеств, содержащих $S$, а затем доказать теорему, что "секвенциальное замыкание множества - множество всех секвенциальных точек прикосновения"?

Низзя. (Тут есть подсказка.)

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #228086 писал(а):

ShMaxG в сообщении #228080 писал(а):

Просто стало любопытно, а можно ввести секвенциальное замыкание множества $S$ как пересечение всех секвенциально замкнутых множеств, содержащих $S$, а затем доказать теорему, что "секвенциальное замыкание множества - множество всех секвенциальных точек прикосновения"?

Низзя. (Тут есть подсказка.)

Уважаемый AGu! Вы, конечно, правы. Но, я нигде не видел ни определения секвенциальной точки прикосновения множества, ни, соответственно, определения секвенциального замыкания множества. Где это можно посмотреть в печатном виде? Я знаю только о секвенциальном пространстве из Энгелькинга и думал, что возиться с понятиями типа «секвенциальное замыкание» не стоит именно из-за этого Вашего «Низзя».

[ShMaxG]

AGu
Подсказку не нашел... Хотя обратил внимание на
$\[ \left[ {\left[ A \right]_{seq} } \right]_{seq} \ne \left[ A \right]_{seq} \]$.
Правильное направление мыслей?

[AGu]

Виктор Викторов в сообщении #228098 писал(а):

Но, я нигде не видел ни определения секвенциальной точки прикосновения множества, ни, соответственно, определения секвенциального замыкания множества. Где это можно посмотреть в печатном виде? Я знаю только о секвенциальном пространстве из Энгелькинга и думал, что возиться с понятиями типа «секвенциальное замыкание» не стоит именно из-за этого Вашего «Низзя».

К сожалению, я не знаю книг или статей, содержащих детальное исследование секвенциальных пространств. В Энгелькинге об этом сказано действительно совсем чуток. (Кстати, там есть пример, дающий ответ на вопрос ShMaxG. )

ShMaxG в сообщении #228120 писал(а):

обратил внимание на
$\[ \left[ {\left[ A \right]_{seq} } \right]_{seq} \ne \left[ A \right]_{seq} \]$.
Правильное направление мыслей?

Ага.

[ShMaxG]

Т.е. мне достаточно доказать, что из моего определения будет следовать $\[ \left[ {\left[ A \right]_{seq} } \right]_{seq} = \left[ A \right]_{seq} \] $ для любого множества $A$.

$\[ \begin{gathered} \left[ A \right]_{seq} = \bigcap\limits_\alpha {F_\alpha \left( A \right)} \hfill \\ \left[ {\left[ A \right]_{seq} } \right]_{seq} = \bigcap\limits_{\alpha '} {G_{\alpha '} \left( {\bigcap\limits_\alpha {F_\alpha \left( A \right)} } \right)} \hfill \\ \end{gathered} \]$

Здесь $\[ {F_\alpha \left( A \right)} \]$ означает $\[ F_\alpha \supset A \] $. Аналогично, $\[ G_{\alpha '} \supset \bigcap\limits_\alpha {F_\alpha \left( A \right)} \]$

Сами множества $\[ F_\alpha ,G_{\alpha '} \] $ являются секвенциально замкнутыми (т.е. содержат все свои секвенциальные точки прикосновения).
Если $x$ принадлежит правой части, то она принадлежит и левой - это понятно. А вот как наоборот - не очень. Какие точки могут присоединиться к множеству при его секвенциальном замыкании в смысле моего определения?

[мат-ламер]

ShMaxG. Каким условиям у Вас удовлетворяет пространство $X$? Если оно с первой аксиомой счётности, то Ваше неравенство превращается в равенство. Контрпример надо искать среди пространств без первой аксиомы счётности. В Колмогорове-Фомине есть пример пространства, для которого замыкание не совпадает с секвенциональным замыканием. Может он Вам поможет.