Разбиение топологического пространства

[inf76]

Каждое множество в топологическом пространстве разбивает топологическое пространство на три множества:
1. Множество предельных точек, множество изолированных точек и множество внешних точек.
2. Множество внутренних точек, множество граничных точек и множество внешних точек.

Как и почему возникли два варианта разбиения при одних и тех же условиях.

[Brukvalub]

inf76 в сообщении #215662 писал(а):

Как и почему возникли два варианта разбиения при одних и тех же условиях.

Потому, что это разные разбиения.

[inf76]

То, что это разные разбиения понятно. Но в чём именно различие? Вот, например, в замыкании множества.
Замыкание множества содержит все свои предельные точки.
Замыкание множества содержит все свои граничные точки.

[Brukvalub]

inf76 в сообщении #215814 писал(а):

То, что это разные разбиения понятно. Но в чём именно различие?

Вы сами себе противоречите.
Либо Вы понимаете, что это различные разбиения, и тогда просто обязаны понимать, в чем их различие.
Либо Вы не понимаете, в чем различие этих разбиений, и тогда не имеете права сообщать, что признаете их различными, поскольку это получается - ложь, а мама учила, что врать - нехорошо.
А вот как Вы ухитряетесь одновременно признавать различие этих разбиений и тут же сообщать, что не понимаете, в чем их различие - мне не понять.

[inf76]

Вы из прокуратуры? Или Вы математик? Конечно, я понимаю, в чём различие между этими разбиениями. Да, я могу взять точку множества и сказать к какому типу, относительно какого из разбиений она относится. Но, мне непонятно, что высвечивает один способ разбиения, а что высвечивает другой? Я и пример привел, потому, что смотрится-то тоже самое, но я в этом очень сомневаюсь.

[Brukvalub]

Ну, например, один из критериев измеримости ограниченного множества по Жордану удобно формулировать в терминах меры его границы - здесь важно понятие граничных точек. Границы областей являются линиями, которые участвуют в формулировках многих теорем анализа : Теормы Грина, теоремы Остроградского -Гаусса, теоремы Коши и т.п.
А критерий замкнутости множества в метрическом пространстве- как Вы уже знаете, удобно формулировать в терминах множества его предельных точек. Изолированные точки множества, в которых теряется голомофность функции комплексного переменного, служат инструментом теории вычетов, которая помогает, например, вычислять довольно сложные интегралы....
И таких примеров - масса.
Если, эти примеры убедили Вас в необходимости обоих подходов, то я свое дело сделал.

[Виктор Викторов]

Общая топология начинала развиваться под знаком сходимости. Поэтому начинали с предельных и изолированных точек. Но быстро появились сложности со сходимость в общих топологических пространствах. (Предел не единственен). В некоторых случаях конструкции, сделанные с помощью предела, были определены без оного. (Например, непрерывность). Внутренние и граничные точки – суть топологические понятия. (Непустое множество открыто, тогда и только тогда, когда оно содержит только внутренние точки). А, о множестве предельных или изолированных точек так сказать нельзя. Позже проблема предела была полностью решена Картаном с помощью понятия фильтра (есть ещё теория направленностей). Поэтому каждый раз, когда мы пользуемся предельными и изолированными точками хочется спросить, а нельзя ли обойтись без них.

[мат-ламер]

В топологических пространствах говорят чаще не о предельных точках, а точках прикосновения. Если пространство удовлетворяет первой аксиоме счётности (например, явл. метрическим), то можно использовать оба понятия.

[Виктор Викторов]

мат-ламер в сообщении #215887 писал(а):

В топологических пространствах говорят чаще не о предельных точках, а точках прикосновения.

Совокупность всех точек прикосновения – замыкание множества. Но оно-то как раз и разбивается с одной стороны на множество предельных и изолированных точек данного множества, а с другой стороны на множество внутренних и граничных точек данного множества. А дальше, второе разбиение даёт нам понятие открытого ядра (все внутренние точки) и понятие границы (все граничные точки), а первое разбиение применимо только при дополнительных ограничениях. Так может быть там, где оно применимо можно обойтись без него? В теории сходимости наверняка можно.