2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Вопрос по поводу открытости и замкнутости.
Сообщение03.04.2009, 17:10 


02/02/09
17
Беларусь\Гомель-Минск
Доброго времени суток. Изучая курс анализа Львовского, я понял что не понимаю смысла открытости и замкнутости множеств. Мне хотелось бы узнать, что же эти понятия вообще означают и как определяются.
Ибо скажем, в этом крусе, топология вводится сначало с помощью открытых множеств, потом с помощью замкнутых... это всё как-то сбивает с толку, начинает казаться, что нет никакой разницы и множество открыто или замкнуто только лишь потому, что мы его таковым определили. Заранее благодарен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12872
Москва
Phoen1x в сообщении #201624 писал(а):
Ибо скажем, в этом крусе, топология вводится сначало с помощью открытых множеств, потом с помощью замкнутых
Замкнутые множества есть дополнения открытых во всем топ. пр-ве, и, наоборот, открытые мн-ва есть дополнения замкнутых, поэтому два этих подхода эквивалентны.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 18:10 
Аватара пользователя


23/02/09
259
Топология $T$ -это семейство подмножеств (называемых еще открытыми) основного множества $X$ -такая ($T$) что удовлетворяються следующие аксиомы
1 -пустое множество и основное множество $X$ -открытые множества (т.е. принадлежат $T$)
2 пересечение конечного количества открытых множеств -множество открытое
3 Обьеденение сколь угодно большого количества открытых множеств -есть открытое множетство

-закрытым множеством называеться как прально сказал Brukvalub дополения открытых множеств до основного множества

при этом множества могут быть и открытыми и закрытыми одновременно -например таким являеться пустое множество, как и вовсе быть не открытыми и не закрытыми одновременно :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 18:15 
Заслуженный участник


11/05/08
31188
Лиля в сообщении #201649 писал(а):
фамилия подмножеств

Только всё-таки не фамилия и даже не отчество, а семейство.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 18:17 
Аватара пользователя


23/02/09
259
ewert в сообщении #201654 писал(а):
Только всё-таки не фамилия и даже не отчество, а семейство

спасиб:)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 18:56 


02/02/09
17
Беларусь\Гомель-Минск
Да, так-то оно так. Но все эти определения мне известны. Вопрос про топологии был для примера. Суть моего вопроса в том, чтобы мне объяснили, что такое открытое множество и чем оно отличается от замкнутого в общем случае... как-то так)
И вот с открытозамкнутыми множествами тоже хотелось бы прояснить ситуацыю =)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 19:03 
Заслуженный участник


11/05/08
31188
Phoen1x в сообщении #201676 писал(а):
, что такое открытое множество и чем оно отличается от замкнутого в общем случае... как-то так

В общей ситуации -- как-то так по определению, и никак иначе. В конкретных же приложениях -- замкнутое множество включает свою границу, открытое же -- нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12832
А вот если взять $\mathbb R$ с обычной топологией открытых интервалов?

Всё множество можно представить в виде счётного объединения открытых. И оно же содержит все свои предельные точки...Но его нельзя же считать замкнутым, так как его дополнение не является открытым.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
Есть еще определение на основе оператора замыкания.
Оператор $Cl$ - топологический оператор замыкания, если
$X\subseteq Cl(X)$
$Cl(Cl(X)) = Cl(X)$
$Cl(X\cup Y) = Cl(X)\cup Cl(Y)$
$Cl(\varnothing) = \varnothing$

Тогда замкнутым называется множество, равное собственному замыканию.
Скажем, в $\mathbb{R}$ со стандартной топологией $Cl$ - это обычное замыкание, добавление всех предельных точек.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12872
Москва
gris в сообщении #201696 писал(а):
Но его нельзя же считать замкнутым, так как его дополнение не является открытым.
Вас обманули! Его дополнение - пустое множество, оно содержит все свои предельные точки. Поэтому дополнение - открыто!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 19:42 


30/01/09
194
gris писал(а):
в виде чётного объединения

:lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 19:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12832
Пустое открыто, конечно, потому что является пересечением непересекающихся интервалов.
Но тогда и получается, что $\mathbb R$ и $\varnothing$ открытые и замкнутые одновременно?
И ещё - я не понял насчёт того, кто содержит свои предельные точки и поэтому открыто?

Ой... счётного, конечно. Хотя счётность и не нужна

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 19:50 
Заслуженный участник


11/05/08
31188
Brukvalub в сообщении #201699 писал(а):
Поэтому дополнение - открыто!

И, кстати сказать, замкнуто.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 20:10 


02/02/09
17
Беларусь\Гомель-Минск
ewert
Вы говорите, что в общем случае нужно пользоваться определением. К несчастью, я не встречал конкретного определения для открытого множества. Поэтому может вы мне его сообщите?

Я вообще так понял, что именно заданная на множестве топология определяет открытытые множества. Но с таким же успехом топология может определить и замкнутые. В таком случае открытость и замкнутость множества зависит лишь от нашего выбора. Вот это мне пока не удаётся в полной мере осознать. Мне начинает казаться, что в общем случае ни открытость, ни замкнутость множества не содержат под собой какого либо смысла. Я не уверен, что всё правельно объяснил, но, надеюсь, суть моего непонимания понятна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12832
Посмотрите внимательнее, какие требования предъявляются к открытым множествам, а какие к замкнутым, чтобы их система задавала топологию

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group