Решить уравнение x^4 + y^4 + z^4 = p^4

[age]

Всем известное решение уравнения
$x^3+y^3+z^3=p^3$
имеет вид
$b^3(2a^3-b^3)^3+a^3(a^3-2b^3)^3+b^3(a^3+b^3)^3=a^3(a^3+b^3)^3$, которое было найдено Виетом.
Известно, что уравнение
$x^4+y^4+z^4=p^4$ может иметь решения. Известны как минимум два его решения, найденные с помощью средств ЭВМ:
$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4$
$2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4$

А как насчет решить данное уравнение в параметрической форме. Предлагаю всем желающим в этой теме изложить свои соображения.

Мои соображения по решению данного уравнения:
$x^4+y^4+z^4=p^4$

Числа $x, y, z, p$:
1. Два из них делятся на $5$.
2. Два из них делятся на $8$.
3. Число $p$ делится на $3$.

// тема изменена на более информативную // maxal

[maxal]

age в сообщении #226930 писал(а):

Известно, что уравнение
$x^4+y^4+z^4=p^4$ может иметь решения. Известны как минимум два его решения, найденные с помощью средств ЭВМ:

Ноам Элкис нашел бесконечную серию решений этого уравнения, получающуюся из рациональных точек на некоторой эллиптической кривой.
Вот тут его статья на этот счёт, если интересно: http://ifolder.ru/12984128

А ваш вопрос непонятен - что конкретно вас интересует в связи с этим уравнением?

[age]

maxal
Формула вот такого вида:
$b^3(2a^3-b^3)^3+a^3(a^3-2b^3)^3+b^3(a^3+b^3)^3=a^3(a^3+b^3)^3$
Если она конечно, существует. Я бы хотел найти такую же формулу для 4-х степеней.
У меня есть формула решения уравнения:
$x^4+y^4+z^4=p^2$.
Она имеет вид:

$(2a^3b+2ab^3)^4+(a^4-b^4)^4+(2a^3b-2ab^3)^4=(a^8+14a^4b^4+b^8)^2$.

К сожалению, чтобы решить исходное уравнение:
$x^4+y^4+z^4=p^4$, необходимо решить уравнение
$a^8+14a^4b^4+b^8=p^2$
с которым возникли очень большие сложности, либо которое неразрешимо вообще.

За информацию большое спасибо.

С помощью ЭВМ установлено, что ни $422481$, ни $20615673$ не могут быть представлены видом $a^8+14a^4b^4+b^8$

[maxal]

age
Параметрическое решение уравнения $x^4+y^4+z^4=p^4$ найти еще пока никому не удалось. И вообще не факт, что оно разрешимо в полиномах.

[juna]

Можно попытаться свести к простому $a^2+b^2=d^2-c^2$. Для него известно параметрическое решение:
$a=2ml$, $b=2nl$, $d=l^2+m^2+n^2$, $c=l^2-m^2-n^2$
А потом затребовать, чтобы $a=x^2,b=y^2,c=z^2,d=p^2$, это приводит к системе из аналогичных уравнений:
$l^2-m^2=z^2+n^2$,
$l^2+m^2=p^2-n^2$
значит происходит своеобразный спуск к минимальному решению.
Складывая-вычитая два последних, можно получить, что $l=k^2+1,z=k^2+2k-1,p=k^2-2k-1, m^2+n^2=4k(1-k^2)$, при отрицательных $k$ последнее вполне возможно, но приводит к кубической кривой (прежде чем решать лучше определить ранг получающейся эллиптической кривой, а то может и не нужно решать ). Далее если удается получить параметрическое решение для $m,n,k$, нужно не забыть обеспечить $2m(k^2+1)=x^2, 2n(k^2+1)=y^2$

[age]

juna
Последнее уравнение
$m^2+n^2=4k(1-k^2)$
можно представить в виде:
$m^2+n^2=4\cdot k\cdot(k-1)\cdot(k+1)$ из которого следует, что три последовательных числа $k-1, k, k+1$ являются квадратичными формами. Что невозможно, т.к. одно из них делится на $3$. Следовательно, и само уравнение решений не имеет, если числа $m,n,k$ не имеют общий множитель $3$.

[venco]

age в сообщении #227286 писал(а):

$m^2+n^2=4\cdot k\cdot(k-1)\cdot(k+1)$ из которого следует, что три последовательных числа $k-1, k, k+1$ являются квадратичными формами.

Какими квадратичными формами? И каким образом это следует?

-- Вт июл 07, 2009 17:41:43 --

age в сообщении #227286 писал(а):

$m^2+n^2=4\cdot k\cdot(k-1)\cdot(k+1)$ из которого следует, что три последовательных числа $k-1, k, k+1$ являются квадратичными формами. Что невозможно, т.к. одно из них делится на $3$. Следовательно, и само уравнение решений не имеет.

Кстати, вышеприведённое уравнение имеет много решений, например $m=24, n=48, k=9$.

[age]

venco
Я имел в виду, если $k, m, n$ - взаимно простые числа.

[venco]

age в сообщении #227294 писал(а):

venco
Я имел в виду, если $k, m, n$ - взаимно простые числа.

А откуда взялось такое ограничение? Из уравнения сразу видно, что $m$ и $n$ оба чётные.

[age]

venco в сообщении #227295 писал(а):

А откуда взялось такое ограничение? Из уравнения сразу видно, что $m$ и $n$ оба чётные.

Оттуда, что если все три числа $k,m,n\div3$, то и $x$ и $y$ делится на $3$

[venco]

Ну и что? Зато $c$ и $d$ не делятся на $3$.

[age]

Кстати, уравнение
$m^2+n^2=4k(1-k^2)$
само по себе очень интересное.
Предлагаю найти следующее решение после $m=24, n=48, k=9$

-- Чт июл 09, 2009 21:37:17 --

Т.к. число $k^2+1$ квадратом не является, то и $m$ и $n$ имеют с ним одни и те же общие множители $k_1k_2...$, которые доводят $k^2+1$ до полного квадрата. Но тогда
$m^2+n^2\div k_1^2k_2^2...$.
А это означает, что
$4k(k+1)(k-1)$ должно иметь общие множители с $k^2+1$.

Таким образом, условия
$2m(k^2+1)=x^2, 2n(k^2+1)=y^2$
делают невозможным решение уравнения:
$m^2+n^2=4k(1-k^2)$
Поэтому, предложенным juna методом найти решение к сожалению, нельзя.

[juna]

Я не говорю, что на этом пути можно найти решение, но, во-первых, почему Вы думаете, что, $(k^2+1)$ не может быть доведено до полного квадрата двойкой, уравнение $2(k^2+1)=v^2$ имеет бесконечную серию решений
($k_n=(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}})(3-2\sqrt{2})^n+(\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}})(3+2\sqrt{2})^n$). Во-вторых, что такого что $4k(k^2-1)$ и $k^2+1$ имеют общие множители, например, $k=3$.

[age]

juna
$k^2+1$ и $4k(k^2-1)$ могут иметь единственный множитель $2$.
Уравнение $2(k^2+1)=v^2$ и в самом деле ну очень интересно! Но о нем позже.
Если сделать некоторые вычисления, то можно заметить, что уравнение
$m^2+n^2=4k(k^2-1)$ может иметь решения только если $k$ нечетно. Если $k$ четно, то решений нет. Поэтому $k^2+1=4p+2$ может делиться лишь на $2$. Т.е. $k^2+1$, $m$ и $n$ - взаимно простые числа.
Тогда вы правы. Возможное решение нужно искать среди таких $k$, что $2(k^2+1)=u^2$.

Но уравнение $m^2+n^2=4k(k^2-1)$ требует, чтобы либо$k$, либо $k-1$, либо $k+1$ делилось на $9$.
Если $k\div9$, то тогда уравнение $2(k^2+1)=u^2$ принимает вид $2(9k^2+1)=u^2$, и уже решений иметь не может.
Т.е. $k^2-1\div9$

[juna]

Вообще, лучше решать три уравнения
$m'^2+n'^2=u(3u-1)(3u+1)$
$m'^2+n'^2=(3u+1)u(3u+2)$
$m'^2+n'^2=(3u+2)(3u+1)(u+1)$
$m=2m',n=2n',k=3u,(3u+1),(3u+2)$
убрав мешающие тройки и четверки, также можно использовать тот факт, что число всегда представимо суммой двух квадратов, если в его разложении на простые множители все простые вида $4i+3$ входят лишь в четной степени.