Пять редисок уже сидят

[TOTAL]

На футбольном поле растут 5 редисок в общем положении. Требуется посадить еще 13 редисок так, чтобы все редиски оказались в 9 рядах по 5 штук в каждом. (Т.е. на 9 прямых линиях, расположенных как угодно.)

[Профессор Снэйп]

TOTAL в сообщении #225876 писал(а):

На футбольном поле растут 5 редисок в общем положении.

Верно ли, что "общее положение" --- это когда справедливы следующие два утверждения?

1) Никакие три редиски не лежат на одной прямой.

2) Никакие три прямые, каждая из которых содержит две редиски, не пересекаются в одной точке.

Или я что-то путаю и термин "общее положение" обозначает нечто другое?

[TOTAL]

Под "общим положением" в различных обстоятельствах могут понимать несколько разные вещи. Для простоты давайте считать, что точки расположены наиболее общим образом, т.е. что в процессе построения не возникнет, например, ситуации, когда какие-то две прямые (определенные парой точек каждая), вообще говоря пересекающиеся, вдруг окажутся параллельными или совпадающими и д.т. Чтобы избежать специальных случаев, разрешается даже чуть пошевелить каждую из пяти уже заданных редисок (если они оказались в недостаточно общем для используемого метода построения положении).

[Sonic86]

Искомая конфигурация из 9 прямых и 18 точек, когда на каждой прямой лежит по 5 точек, существует.

Чтобы ее построить, можно взять точки $A_1,A_2,A_3$, выбрать $O$ внутри треугольника $A_1 A_2 A_3$ и на прямых $OA_j$ выбрать точки $B_1, B_2, B_3$, лежащие вне треугольника $A_1 A_2 A_3$. Искомые прямые: $A_i A_j, B_i B_j, O A_j, i \neq j$, при пересечении всех этих прямых там получается по 5 точек.

Исходя из проективных соображений, можно утверждать, что можно точки $A_j, B_j$ брать хоть внутри, хоть вне хоть чего - разницы нет.

Остается теперь выбрать из полученных 18 точек 5 общего положения и отождествить их с данными в начале точками. Из проективных соображений получается, что это можно делать произвольно - брать любые 5 точек общего положения.

[nn910]

Sonic86 в сообщении #226074 писал(а):

Искомая конфигурация из 9 прямых и 18 точек, когда на каждой прямой лежит по 5 точек, существует.

Чтобы ее построить, можно взять точки $A_1,A_2,A_3$, выбрать $O$ внутри треугольника $A_1 A_2 A_3$ и на прямых $OA_j$ выбрать точки $B_1, B_2, B_3$, лежащие вне треугольника $A_1 A_2 A_3$. Искомые прямые: $A_i A_j, B_i B_j, O A_j, i \neq j$, при пересечении всех этих прямых там получается по 5 точек.

Исходя из проективных соображений, можно утверждать, что можно точки $A_j, B_j$ брать хоть внутри, хоть вне хоть чего - разницы нет.

Остается теперь выбрать из полученных 18 точек 5 общего положения и отождествить их с данными в начале точками. Из проективных соображений получается, что это можно делать произвольно - брать любые 5 точек общего положения.

Тут 19 точек -7 с именами и 12 анонимных по сторонам и вершинам некого шестиугольника

[TOTAL]

Sonic86 в сообщении #226074 писал(а):

Остается теперь выбрать из полученных 18 точек 5 общего положения и отождествить их с данными в начале точками. Из проективных соображений получается, что это можно делать произвольно - брать любые 5 точек общего положения.

В Вашем построении получается слишком много точек пересечения, какие 18 из них оставлять?
Как отождествлять одни пять точек с другими пятью точками?

[Sonic86]

nn910 писал(а):

Тут 19 точек -7 с именами и 12 анонимных по сторонам и вершинам некого шестиугольника

Блин, точно, я эти точки пропустил , жаль, поторопился. Придется другую конфигурацию искать. Или эту как-то подправлять. (ну хоть для 19 точек можно считать решенным )

TOTAL писал(а):

Как отождествлять одни пять точек с другими пятью точками?

Видимо, произвольно. Если К - искомая конфигурация точек и прямых и в ней есть 5 точек общего положения, то можно их отождествить с данными, а остальные элементы достроить. Можно считать, что, например, $A_1, A_2, A_3, B_1, B_2$ даны, а остальные точки надо достроить. Тогда $O = A_1 B_1 \cap A_2 B_2$, точку $B_3$ выбираем на $O A_3$, а остальные точки достраиваем. Главное - конфигурацию найти, а построить несложно.

[TOTAL]

Sonic86 в сообщении #226211 писал(а):

(ну хоть для 19 точек можно считать решенным )

Я насчитал 22 точки.

Sonic86 в сообщении #226211 писал(а):

Главное - конфигурацию найти, а построить несложно.

Можно найти конфигурацию, сделать отождествление в уме, а здесь рассказать, как 5 точек достроить до 18, так?

[Sonic86]

TOTAL писал(а):

Я насчитал 22 точки.

Жаль, я тогда много лишнего написал. Каюсь.

TOTAL писал(а):

Можно найти конфигурацию, сделать отождествление в уме, а здесь рассказать, как 5 точек достроить до 18, так?

Да. Главное выбрать эти 5 точек так, чтобы они были в общем положении.
Если конфигурации нет, то и задача решения не имеет.
При построении остальных точек после отождествления, видимо, желательно выбирать те, которые будут инцидентны большему числу прямых - строить легче будет.

[maxal]

9 прямых пока получить не удалось, но вот конструкция с 8-ю прямыми:

Зафиксируем две точки из данных, обозначим их $O_1$ и $O_2$, и проведем прямые $O_iA_j$ ($i=1,2$, $j=1,2,3$), где $A_1, A_2, A_3$ - остальные точки из данных. Через точки $O_i$ проведем также по одной произвольной прямой (отличной от предыдущих). Получается два пучка прямых с центрами в $O_1$ и $O_2$, по 4 прямые в каждом. Рассмотрим точки пересечения пар прямых из разных пучков. Количество таких точек равно $4\times 4=16$, что вместе с точками $O_1$ и $O_2$ дает 18 точек. По построению каждая прямая содержит 5 точек, и все данные точки входят в число построенных 18 точек.

[nn910]

TOTAL в сообщении #226223 писал(а):

Sonic86 в сообщении #226211 писал(а):

(ну хоть для 19 точек можно считать решенным :-))

Я насчитал 22 точки.

Так или иначе- конфигурация с 19 точками и 9 прямыми очевидна. Прямые-это все диагонали правильного шестиугольника. Там еще есть по 6 точек на трех концентрических окружностях, но это мало утешает. Похоже, задача "для числа n точек найти максимум числа окружностей,на каждой из которых по 5 точек" ,несмотря на внешнее родство, сильно другая. Тогда это оффтопик.

[maxal]

nn910 в сообщении #226446 писал(а):

Так или иначе- конфигурация с 19 точками и 9 прямыми очевидна. Прямые-это все диагонали правильного шестиугольника.

Но они же должны проходить через данные 5 точек в общем положении. Правильный шестиугольник для них найти не удастся.

[nn910]

maxal в сообщении #226510 писал(а):

nn910 в сообщении #226446 писал(а):

Так или иначе- конфигурация с 19 точками и 9 прямыми очевидна. Прямые-это все диагонали правильного шестиугольника.

Но они же должны проходить через данные 5 точек в общем положении. Правильный шестиугольник для них найти не удастся.

Согласен- говорю о более простой задаче. Но на фоне среднефорумского прогресса -хоть чтонибудь сказать в ободрение
Кстати годится любой шестиугольник, даже невыпуклый, лишь бы 3 главных диагонали пересеклись в одной точке. А это делается подбором шестой вершины.

[anja]

конфигурация такая у меня нашлась, только пока не понимаю когда она будет иметь место в общем случае и как быть с 5 заданными точками. Если интересно - могу не полениться и эту конфиг. описать словами или прислать картинку, потому как тут ее выложить видимо нельзя.(
В общем, кому интересно - обращайтесь =)

[Дима Тишков]

Для 19 точек можно и 10 прямых.
А в этой задаче надо добавить 6-ю точку так, чтобы получился шестиугольник из вырожденного случая теоремы Брианшона. Собственно теорема и дает решение задачи, если взять все точки пересечения 9 прямых, о которых там говорится.
Интересно было бы подсчитать, сколько всего различных решений получается.