Пять редисок уже сидят

[nn910]

anja в сообщении #226579 писал(а):

конфигурация такая у меня нашлась, только пока не понимаю когда она будет иметь место в общем случае и как быть с 5 заданными точками. Если интересно - могу не полениться и эту конфиг. описать словами или прислать картинку, потому как тут ее выложить видимо нельзя.(
В общем, кому интересно - обращайтесь =)

У меня тоже нашлась, а начерно и решение(порядок построения) Сначала Комп просчитал таблицу инциндентности для требуемой конфигурации и похоже она единственна с точностью до переобозначения точек и прямых. У меня прямые буквами, редиски цифрами:
a b c d i k u v p
a 1 1 6 7 3 6 3 14
b 1 1 4 5 4 8 5 15
c 1 1 16 2 10 2 9 16
d 6 4 16 11 4 6 12 16
i 7 5 2 11 17 2 5 17
k 3 4 10 4 17 13 3 17
u 6 8 2 6 2 13 18 18
v 3 5 9 12 5 3 18 18
p 14 15 16 16 17 17 18 18
(Нужен совет как вводить таблицы или импортировать из Excel)А Вы напишите свою, сравнить эквивалентна или нет несложно. Исходные 5 редисок имеют номера 1,11,13,14.15 -тут большая свобода выбора. Точек пересечения четырех прямых -ни одной, точек пересечения, в которых нет редиски -тоже.

[anja]

Дима Тишков в сообщении #226582 писал(а):

Для 19 точек можно и 10 прямых.
А в этой задаче надо добавить 6-ю точку так, чтобы получился шестиугольник из вырожденного случая теоремы Брианшона. Собственно теорема и дает решение задачи, если взять все точки пересечения 9 прямых, о которых там говорится.
Интересно было бы подсчитать, сколько всего различных решений получается.

здорово! знание такой замечательной теоремы позволяет сразу решить задачу злементарно!)
А по поводу количества решения - надо определить тогда, какие решения являются различными. (Интересна, очевидно, лишь конфигурация без точного положения точек? Иначе решений беск. много.) Наверное, поиск сводится к тому, сколько различных вариантов пересечения прямых, содержащих по две из заданных 5 точек. Но это в разных случаях асположения 5 точек разное количество вариантов, как мне кажется.

[Дима Тишков]

Если не ошибаюсь, в общем случае 6-ю точку можно добавить 60 различными способами и все они дают различные решения! Но, по-видимому, кроме моего, существует множество других решений, поскольку исходные точки не обязаны входить в конфигурацию Брианшона-Паскаля, а могут быть побочными точками пересечения линий этой конфигурации. По крайней мере, я не вижу, что может этому помешать. Так что общее число решений может быть гораздо больше, вероятно их тысячи.

[TOTAL]

Поскольку Брианшон с Паскалем уже обнаружены, то считаем, что и брат их Папп где-то совсем рядом. Соединим исходные 5 точек (четырехзвенной) ломаной. Проведем (пунктирную) прямую через 1-ю точку и точку пересечения 2-го и 4-го звеньев. Проведем (пунктирную) прямую через 5-ю точку и точку пересечения 1-го и 3-го звеньев. Полученную фигуру осталось достроить до конфигурации Паппа, приняв два пунктира за прямые, на которых выбираются по три точки.

[Sonic86]

Нашел конфигурацию из 18 точек и 9 прямых, причем прямые непараллельны (но возможны 3 прямые, имеющие общую точку, иначе, впрочем, невозможно). Коротко так записать можно: (128),(134),(145),(167),(237),(256),(369),(478),(589),(13),(19),(24),(29),(35),(46),(57),(68),(79)
Цифра означает прямую, энка цифр означает, что прямые этой энки пересекаются в одной точке. Саму конфигурацию нашел случайно и чертеж не рисовал. Такой код должен определять конфигурацию точек и прямых, если нет таких двух прямых, которые входили бы в некоторые 2 энки (вроде это условие выполняется, если такая пара существует, то прямые этой пары совпадают), кроме того прямые находятся в общем положении - всегда будет одна точка пересечения. В силу этого я утверждаю, что конфигурация существует. В коде указаны не все точки, будут еще точки пересечения. Чтобы решить задачу, надо взять 5 точек из этих 18 так, чтобы не было ни одной тройки точек, принадлежащих одной прямой, построить все прямые и остальные точки.
З.Ы. Есть ли литература о конфигурациях точек и прямых? Очень хотелось бы почитать, ибо я в этом вопросе вообще нуль. Я хотел перебрать все конфигурации из 9 прямых, построив их рекуррентно, но рост функции числа неэквивалентных конфигураций из $n$ прямых $k(n)=1;1;2;3;5;10$ и поиск самих конфигураций меня устрашил. Хотелось бы увидеть оценку $k(n)$ хотя бы асимптотическую.

З.З.Ы. Ух ты, как много написали! Я кажется maxala повторил...

[maxal]

Sonic86 в сообщении #227017 писал(а):

З.Ы. Есть ли литература о конфигурациях точек и прямых? Очень хотелось бы почитать, ибо я в этом вопросе вообще нуль.

Вот здесь кое-что обсуждалось: topic10747.html?start=30 - в частности, статья Арнольда о количестве частей при разбиении плоскости прямыми.

[TOTAL]

Sonic86 в сообщении #227017 писал(а):

TOTAL! В исходной конфигурации 19 точек! Там же не все точки надо брать.

В конфигурации Паппа 18 точек. Выше я написал, как исходные 5 точек включить в конфигурацию.

Напомню теорему Паппа.
На (пунктирной) прямой $A$ возьми $3$ точки: $a_1, a_2, a_3.$
На (пунктирной) прямой $B$ возьми $3$ точки: $b_1, b_2, b_3.$
Проведи всевозможные прямые (их $6$ штук) через пары точек $(a_i, b_j), i \ne j.$
Утверждается, что точки (их 3 штуки), лежащие на пересечении прямой $(a_i, b_j)$ и прямой $(a_j, b_i),$ лежат на одной (пунктирной) прямой $C.$

Звенья ломаной, построенной по первым пяти редискам, представляют собой прямые $(a_i, b_j)$ (4 штуки из 6 таких прямых). По этим прямым строятся прямые $A$ и $B.$

[sergey1]

Цитата:

Есть ли литература о конфигурациях точек и прямых?

Гильберт, Кон-Фоссен Наглядная геометрия.

[Sonic86]

TOTAL, я вообще-то имел ввиду Ваш пост еще с 1-й страницы, да уже неактуально.

Чушь стер, чтобы людей не смущать.

Спасибо за книги.