2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Пять редисок уже сидят
Сообщение01.07.2009, 06:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4780
Нов-ск
На футбольном поле растут 5 редисок в общем положении. Требуется посадить еще 13 редисок так, чтобы все редиски оказались в 9 рядах по 5 штук в каждом. (Т.е. на 9 прямых линиях, расположенных как угодно.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять редисок уже сидят
Сообщение01.07.2009, 13:36 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
TOTAL в сообщении #225876 писал(а):
На футбольном поле растут 5 редисок в общем положении.


Верно ли, что "общее положение" --- это когда справедливы следующие два утверждения?

1) Никакие три редиски не лежат на одной прямой.

2) Никакие три прямые, каждая из которых содержит две редиски, не пересекаются в одной точке.

Или я что-то путаю и термин "общее положение" обозначает нечто другое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять редисок уже сидят
Сообщение01.07.2009, 14:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4780
Нов-ск
Под "общим положением" в различных обстоятельствах могут понимать несколько разные вещи. Для простоты давайте считать, что точки расположены наиболее общим образом, т.е. что в процессе построения не возникнет, например, ситуации, когда какие-то две прямые (определенные парой точек каждая), вообще говоря пересекающиеся, вдруг окажутся параллельными или совпадающими и д.т. Чтобы избежать специальных случаев, разрешается даже чуть пошевелить каждую из пяти уже заданных редисок (если они оказались в недостаточно общем для используемого метода построения положении).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять редисок уже сидят
Сообщение02.07.2009, 16:04 
Заслуженный участник


08/04/08
8504
Искомая конфигурация из 9 прямых и 18 точек, когда на каждой прямой лежит по 5 точек, существует.

Чтобы ее построить, можно взять точки $A_1,A_2,A_3$, выбрать $O$ внутри треугольника $A_1 A_2 A_3$ и на прямых $OA_j$ выбрать точки $B_1, B_2, B_3$, лежащие вне треугольника $A_1 A_2 A_3$. Искомые прямые: $A_i A_j, B_i B_j, O A_j, i \neq j$, при пересечении всех этих прямых там получается по 5 точек.

Исходя из проективных соображений, можно утверждать, что можно точки $A_j, B_j$ брать хоть внутри, хоть вне хоть чего - разницы нет.

Остается теперь выбрать из полученных 18 точек 5 общего положения и отождествить их с данными в начале точками. Из проективных соображений получается, что это можно делать произвольно - брать любые 5 точек общего положения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять редисок уже сидят
Сообщение02.07.2009, 19:15 


25/05/09
231
Sonic86 в сообщении #226074 писал(а):
Искомая конфигурация из 9 прямых и 18 точек, когда на каждой прямой лежит по 5 точек, существует.

Чтобы ее построить, можно взять точки $A_1,A_2,A_3$, выбрать $O$ внутри треугольника $A_1 A_2 A_3$ и на прямых $OA_j$ выбрать точки $B_1, B_2, B_3$, лежащие вне треугольника $A_1 A_2 A_3$. Искомые прямые: $A_i A_j, B_i B_j, O A_j, i \neq j$, при пересечении всех этих прямых там получается по 5 точек.

Исходя из проективных соображений, можно утверждать, что можно точки $A_j, B_j$ брать хоть внутри, хоть вне хоть чего - разницы нет.

Остается теперь выбрать из полученных 18 точек 5 общего положения и отождествить их с данными в начале точками. Из проективных соображений получается, что это можно делать произвольно - брать любые 5 точек общего положения.
Тут :oops: 19 точек -7 с именами и 12 анонимных по сторонам и вершинам некого шестиугольника

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять редисок уже сидят
Сообщение03.07.2009, 04:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4780
Нов-ск
Sonic86 в сообщении #226074 писал(а):
Остается теперь выбрать из полученных 18 точек 5 общего положения и отождествить их с данными в начале точками. Из проективных соображений получается, что это можно делать произвольно - брать любые 5 точек общего положения.

В Вашем построении получается слишком много точек пересечения, какие 18 из них оставлять?
Как отождествлять одни пять точек с другими пятью точками?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять редисок уже сидят
Сообщение03.07.2009, 07:30 
Заслуженный участник


08/04/08
8504
nn910 писал(а):
Тут 19 точек -7 с именами и 12 анонимных по сторонам и вершинам некого шестиугольника

Блин, точно, я эти точки пропустил :oops:, жаль, поторопился. Придется другую конфигурацию искать. Или эту как-то подправлять. (ну хоть для 19 точек можно считать решенным :-))
TOTAL писал(а):
Как отождествлять одни пять точек с другими пятью точками?

Видимо, произвольно. Если К - искомая конфигурация точек и прямых и в ней есть 5 точек общего положения, то можно их отождествить с данными, а остальные элементы достроить. Можно считать, что, например, $A_1, A_2, A_3, B_1, B_2$ даны, а остальные точки надо достроить. Тогда $O = A_1 B_1 \cap A_2 B_2$, точку $B_3$ выбираем на $O A_3$, а остальные точки достраиваем. Главное - конфигурацию найти, а построить несложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять редисок уже сидят
Сообщение03.07.2009, 08:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4780
Нов-ск
Sonic86 в сообщении #226211 писал(а):
(ну хоть для 19 точек можно считать решенным :-))
Я насчитал 22 точки.

Sonic86 в сообщении #226211 писал(а):
Главное - конфигурацию найти, а построить несложно.
Можно найти конфигурацию, сделать отождествление в уме, а здесь рассказать, как 5 точек достроить до 18, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять редисок уже сидят
Сообщение03.07.2009, 16:56 
Заслуженный участник


08/04/08
8504
TOTAL писал(а):
Я насчитал 22 точки.

Жаль, я тогда много лишнего написал. Каюсь.

TOTAL писал(а):
Можно найти конфигурацию, сделать отождествление в уме, а здесь рассказать, как 5 точек достроить до 18, так?

Да. Главное выбрать эти 5 точек так, чтобы они были в общем положении.
Если конфигурации нет, то и задача решения не имеет.
При построении остальных точек после отождествления, видимо, желательно выбирать те, которые будут инцидентны большему числу прямых - строить легче будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять редисок уже сидят
Сообщение03.07.2009, 17:25 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5446
9 прямых пока получить не удалось, но вот конструкция с 8-ю прямыми:

Зафиксируем две точки из данных, обозначим их $O_1$ и $O_2$, и проведем прямые $O_iA_j$ ($i=1,2$, $j=1,2,3$), где $A_1, A_2, A_3$ - остальные точки из данных. Через точки $O_i$ проведем также по одной произвольной прямой (отличной от предыдущих). Получается два пучка прямых с центрами в $O_1$ и $O_2$, по 4 прямые в каждом. Рассмотрим точки пересечения пар прямых из разных пучков. Количество таких точек равно $4\times 4=16$, что вместе с точками $O_1$ и $O_2$ дает 18 точек. По построению каждая прямая содержит 5 точек, и все данные точки входят в число построенных 18 точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять редисок уже сидят
Сообщение04.07.2009, 12:18 


25/05/09
231
TOTAL в сообщении #226223 писал(а):
Sonic86 в сообщении #226211 писал(а):
(ну хоть для 19 точек можно считать решенным :-))
Я насчитал 22 точки.
Так или иначе- конфигурация с 19 точками и 9 прямыми очевидна. Прямые-это все диагонали правильного шестиугольника. Там еще есть по 6 точек на трех концентрических окружностях, но это мало утешает. Похоже, задача "для числа n точек найти максимум числа окружностей,на каждой из которых по 5 точек" ,несмотря на внешнее родство, сильно другая. Тогда это оффтопик.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять редисок уже сидят
Сообщение04.07.2009, 18:03 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5446
nn910 в сообщении #226446 писал(а):
Так или иначе- конфигурация с 19 точками и 9 прямыми очевидна. Прямые-это все диагонали правильного шестиугольника.

Но они же должны проходить через данные 5 точек в общем положении. Правильный шестиугольник для них найти не удастся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять редисок уже сидят
Сообщение04.07.2009, 18:13 


25/05/09
231
maxal в сообщении #226510 писал(а):
nn910 в сообщении #226446 писал(а):
Так или иначе- конфигурация с 19 точками и 9 прямыми очевидна. Прямые-это все диагонали правильного шестиугольника.

Но они же должны проходить через данные 5 точек в общем положении. Правильный шестиугольник для них найти не удастся.

Согласен- говорю о более простой задаче. Но на фоне среднефорумского прогресса -хоть чтонибудь сказать в ободрение
Кстати годится любой шестиугольник, даже невыпуклый, лишь бы 3 главных диагонали пересеклись в одной точке. А это делается подбором шестой вершины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять редисок уже сидят
Сообщение05.07.2009, 02:54 


01/07/09
10
конфигурация такая у меня нашлась, только пока не понимаю когда она будет иметь место в общем случае и как быть с 5 заданными точками. Если интересно - могу не полениться и эту конфиг. описать словами или прислать картинку, потому как тут ее выложить видимо нельзя.(
В общем, кому интересно - обращайтесь =)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять редисок уже сидят
Сообщение05.07.2009, 05:55 


27/01/07
67
Тамбов
Для 19 точек можно и 10 прямых.
А в этой задаче надо добавить 6-ю точку так, чтобы получился шестиугольник из вырожденного случая теоремы Брианшона. Собственно теорема и дает решение задачи, если взять все точки пересечения 9 прямых, о которых там говорится.
Интересно было бы подсчитать, сколько всего различных решений получается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group