Помогите решить несколько задачек на комплексные числа

[lexus c.]

Помогите, пожалуйста, застрял что-то.
Доказать что:
1) $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaabCaeaada % qadaqaaiabgkHiTiaaigdaaiaawIcacaGLPaaaaSqaaiaadQgacqGH % 9aqpcaaIXaaabaGaamOBaaqdcqGHris5aOWaaWbaaSqabeaacaWGQb % aaaOGaam4qamaaDaaaleaacaaIYaGaamOBaiabgUcaRiaaigdaaeaa % caaIYaGaamOAaiabgUcaRiaaigdaaaGccaqGJbGaaeiDaiaabEgada % ahaaWcbeqaaiaaikdacaWGUbGaeyOeI0IaaGOmaiaadQgaaaGcdaWc % aaqaaiabec8aWjaadUgaaeaacaaIYaGaamOBaiabgUcaRiaaigdaaa % Gaeyypa0JaaGimaaaa!56D9! $${\sum\limits_{j = 1}^n {\left( { - 1} \right)} ^j}C_{2n + 1}^{2j + 1}{\text{ct}}{{\text{g}}^{2n - 2j}}\frac{{\pi k}} {{2n + 1}} = 0$$ $ для любого $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4Aaiabg2 % da9iaaigdacaGGSaGaeSOjGSKaamOBaiaac6caaaa!3C1A! $$k = 1, \ldots n.$$ $
2) $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaabCaeaaca % qGJbGaaeiDaiaabEgadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGcdaWcaaqaaiab % ec8aWjaadUgaaeaacaaIYaGaamOBaiabgUcaRiaaigdaaaaaleaaca % WGRbGaeyypa0JaaGymaaqaaiaad6gaa0GaeyyeIuoakiabg2da9maa % laaabaGaamOBamaabmaabaGaaGOmaiaad6gacqGHsislcaaIXaaaca % GLOaGaayzkaaaabaGaaG4maaaaaaa!4D4B! $$\sum\limits_{k = 1}^n {{\text{ct}}{{\text{g}}^2}\frac{{\pi k}} {{2n + 1}}} = \frac{{n\left( {2n - 1} \right)}} {3}$$ $.
3) $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaabCaeaada % WcaaqaaiaaigdaaeaacaWGRbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaakiab % g2da9maalaaabaGaeqiWda3aaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGcbaGaaG % OnaaaaaSqaaiaadUgacqGH9aqpcaaIXaaabaGaeyOhIukaniabggHi % Ldaaaa!438A! $$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1} {{{k^2}}} = \frac{{{\pi ^2}}} {6}} $$ $

4) Найти $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaabCaeaada % WcaaqaaiaaigdaaeaacaWGRbWaaWbaaSqabeaacaaI0aaaaaaakiaa % cYcaaSqaaiaadUgacqGH9aqpcaaIXaaabaGaeyOhIukaniabggHiLd % GcdaaeWbqaamaalaaabaGaaGymaaqaaiaadUgadaahaaWcbeqaaiaa % iAdaaaaaaOGaaiilaaWcbaGaam4Aaiabg2da9iaaigdaaeaacqGHEi % sPa0GaeyyeIuoakiablAciljaac6caaaa!4B64! $$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1} {{{k^4}}},} \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1} {{{k^6}}},} \ldots .$$ $

[ИСН]

При чём тут комплексные числа?
("Можно ли сделать взрывчатку из стирального порошка? – Можно, если отставить в сторону и делать без него.")
3 и 4 смотрите в свойствах дзета-функции, ибо это она. Доказательств я знаю два: через ряды Фурье и через эйлеровское бесконечное произведение для синуса (которое само, однако, надо ещё как-то доказывать). Комплексные числа к обоим никаким боком - - -

[lexus c.]

ИСН в сообщении #225518 писал(а):

При чём тут комплексные числа?
("Можно ли сделать взрывчатку из стирального порошка? – Можно, если отставить в сторону и делать без него.")
3 и 4 смотрите в свойствах дзета-функции, ибо это она. Доказательств я знаю два: через ряды Фурье и через эйлеровское бесконечное произведение для синуса (которое само, однако, надо ещё как-то доказывать). Комплексные числа к обоим никаким боком - - -

Дело в том, что эти задачи находятся в конце главы о комплексных числах, поэтому решение именно через них предполагается.

[jetyb]

Первый пример вам не напоминает биномиальное разложение?

ИСН в сообщении #225518 писал(а):

При чём тут комплексные числа?

Бесконечное произведение синуса можно вывести из
$ \sin x=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2i}\left[\left(1+\frac{ix}{n}\right)^n-\left(1-\frac{ix}{n}\right)^n\right]$.

[lexus c.]

jetyb в сообщении #225529 писал(а):

Первый пример вам не напоминает биномиальное разложение?

ИСН в сообщении #225518 писал(а):

При чём тут комплексные числа?

Бесконечное произведение синуса можно вывести из
$ \sin x=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2i}\left[\left(1+\frac{ix}{n}\right)^n-\left(1-\frac{ix}{n}\right)^n\right]$.

Напоминает и ещё как)
Пытался свести это к чему-то вроде $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaciOuaiaacw % gadaqadaqaaiaaigdacqGHRaWkcaWGPbGaae4yaiaabshacaqGNbWa % aOqaaeaacqGHsislcaaIXaaaleaacaaIYaGaamOBaiabgUcaRiaaig % daaaaakiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaaikdacaWGUbGaey4k % aSIaaGymaaaaaaa!4720! $$\operatorname{Re} {\left( {1 + i{\text{ctg}}\root {2n + 1} \of { - 1} } \right)^{2n + 1}}$$ $, или производных от синуса кратного угла, но безрезультатно.

[jetyb]

Вы мыслите в верном направлении. Замените $ \sqrt[2n+1]{-1}$ на $\frac{\pi k}{2n+1}$ , а Re на Im.

[мат-ламер]

А если в первых двух задачах котангенс выразить через синусы и косинусы, а дальше по формуле Эйлера через экспоненту? Вот если бы получилась геометрическая прогрессия...

[RIP]

Решение 2) есть тут (см. решение Lion (с очепяткой); там же решение 1)); только суммирование по $j$ в 1), видимо, должно стартовать с нуля.
3) моментально следует из 2) ($n\to\infty$).
4) решается аналогично (т.е. выводятся формулы для суммы 4-х и 6-х степеней (могут пригодиться формулы Ньютона), и переходим к пределу $n\to\infty$).

ИСН в сообщении #225518 писал(а):

При чём тут комплексные числа?

1), по-видимому, предполагается решать с помощью формулы Муавра. А остальные задачи уже решаются с помощью 1).

[lexus c.]

RIP в сообщении #225667 писал(а):

Решение 2) есть тут (см. решение Lion (с очепяткой); там же решение 1)); только суммирование по $j$ в 1), видимо, должно стартовать с нуля.

Да, извините, опечатался, суммирование там действительно с нуля начинается.
Вы знаете, я не совсем понял вот этот переход:

RIP в сообщении #56137 писал(а):

$$f(x)=\prod_{k=1}^{2m}\left(x-e^{\tfrac{2\pi ik}{2m+1}}\right)=\frac{(x-1+1)^{2m+1}-1}{x-1}$

[RIP]

lexus c. в сообщении #225733 писал(а):

Вы знаете, я не совсем понял вот этот переход:

RIP в сообщении #56137 писал(а):

$$f(x)=\prod_{k=1}^{2m}\left(x-e^{\tfrac{2\pi ik}{2m+1}}\right)=\frac{(x-1+1)^{2m+1}-1}{x-1}$

Разложите многочлен $x^{2m+1}-1$ на линейные множители.
И вообще, лучше читать решение$\in$Lion, а не моё.

[lexus c.]

RIP в сообщении #225751 писал(а):

lexus c. в сообщении #225733 писал(а):

Вы знаете, я не совсем понял вот этот переход:

RIP в сообщении #56137 писал(а):

$$f(x)=\prod_{k=1}^{2m}\left(x-e^{\tfrac{2\pi ik}{2m+1}}\right)=\frac{(x-1+1)^{2m+1}-1}{x-1}$

Разложите многочлен $x^{2m+1}-1$ на линейные множители.
И вообще, лучше читать решение$\in$Lion, а не моё.

Решение$\in$Lion я уже понял, а вот в Вашем на этом месте застрял. Разложить на линейные множители попытался, но к своему стыду сумел сделать лишь один шаг: $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaCa % aaleqabaGaaGOmaiaad2gacqGHRaWkcaaIXaaaaOGaeyOeI0IaaGym % aiabg2da9maabmaabaGaamiEaiabgkHiTiaaigdaaiaawIcacaGLPa % aadaqadaqaaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdacaWGTbaaaOGaey4k % aSIaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaiaad2gacqGHsislcaaIXaaaaO % Gaey4kaSIaeSOjGSKaey4kaSIaaGymaaGaayjkaiaawMcaaaaa!4EC5! $${x^{2m + 1}} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^{2m}} + {x^{2m - 1}} + \ldots + 1} \right)$$ $, а дальше полученную скобку, понятно, что можно разложить на произведение пар разностей $x$ и комплексно-сопряжённых корней многочлена чётной степени, но конкретных результатов у меня нет.

[RIP]

Всё гораздо прощее. Какие корни у многочлена $x^{2m+1}-1$?

[lexus c.]

RIP в сообщении #225867 писал(а):

Всё гораздо прощее. Какие корни у многочлена $x^{2m+1}-1$?

Ой, всё понятно, спасибо!

[lexus c.]

RIP в сообщении #225667 писал(а):

4) решается аналогично (т.е. выводятся формулы для суммы 4-х и 6-х степеней (могут пригодиться формулы Ньютона), и переходим к пределу $n\to\infty$).

Простите, а вот это так и не получилось...

[RIP]

lexus c. в сообщении #226869 писал(а):

RIP в сообщении #225667 писал(а):

4) решается аналогично (т.е. выводятся формулы для суммы 4-х и 6-х степеней (могут пригодиться формулы Ньютона), и переходим к пределу $n\to\infty$).

Простите, а вот это так и не получилось...

Не прощу (шутко). Что именно не получилось? Суммы степеней нашли?