Теорема о существовании производной многочлена

[errnough]

Приветствую всех,

есть у меня одна физическая теория..., и всё бы хорошо, но устойчивость обеспечивается, если в математической модели я использую следующую теорему:

- Теорема -----------------------------------------------
Производная от многочлена меньше второго порядка
не определена, или не существует.
-------------------- (с) моё --------------------------

Иными словами, алгебраическая линия первого порядка не является гладкой, то есть недифференцируема в каждой точке.

То есть, например:
$ \begin{array}{ccc} f(t)= & -6 t+3 t^2 & \\ f'(t)= & -6+6 t & \\ f''(t)= & 6 & \text{$\to $ ошибка, или не определено} \end{array} $

Физическая теория настолько хороша, что я готов скорее выбросить пол-математики, чем отказаться от нее :))).

Вот у меня два вопроса: Это действительно, только у меня такая теорема или она кем-то уже рассмотрена? И второй вопрос, на ваш беглый взгляд, это возможно?

(наброски доказательства у меня есть)

--
с уважением

[meduza]

По-вашему функция $f(t)=6$ не дифференцируема? Или я не так понял?

[CowboyHugges]

errnough, к несчастью для Вашей чудо-теории, любой многочлен любого порядка принадлежит $C^{\infty}$

[jetyb]

Вы доказали противоречивость своей теории .
Ведь Ваши рассуждения опираются на анализ, в котором все многочлены дифференцируемы.

Цитата:

Физическая теория настолько хороша, что я готов скорее выбросить пол-математики, чем отказаться от нее )).

Да что половина? Смело выбрасывайте всю математику, которая шла после первых двух недель занятий в институте!

[errnough]

meduza в сообщении #225273 писал(а):

По-вашему функция $f(t)=6$ не дифференцируема? Или я не так понял?

$ \begin{array}{ccc} f(t)= & -6 t+3 t^2 & \\ f'(t)= & -6+6 t & \text{$\to $ недифференцируема в каждой точке}\\ f''(t)= & 6 & \text{$\to $ ошибка, или не определено} \end{array} $

CowboyHugges в сообщении #225275 писал(а):

errnough, к несчастью для Вашей чудо-теории, любой многочлен любого порядка принадлежит $C^{\infty}$

Я допускаю, что могу ошибаться. И у меня маленькая просьба, комментировать слегка обозначения. $C^{\infty}$ -- это что?

jetyb в сообщении #225279 писал(а):

Вы доказали противоречивость своей теории :cry:.
Ведь Ваши рассуждения опираются на анализ, в котором все многочлены дифференцируемы.

В принципе, Ваше краткое утверждение на мою голословную теорему, наверное, это правильно. И всё же, мои рассуждения не опираются на такой анализ. Не помните, никто такой теоремы не доказывал в математике, это верно? Я не профессиональный математик, поэтому могу не знать такой или близкой к ней теоремы. Кстати, а есть доказательство дифференцируемости каждого многочлена?

[CowboyHugges]

errnough в сообщении #225280 писал(а):

Я допускаю, что могу ошибаться. И у меня маленькая просьба, комментировать слегка обозначения. $C^{\infty}$ -- это что?

Это множество функций непрерывных вместе со своими производными любого порядка

errnough в сообщении #225280 писал(а):

Кстати, а есть доказательство дифференцируемости каждого многочлена?

Есть. По индукции легко можете сделать это сами

[jetyb]

Поверьте, если Вы используете дифференцируемость, значит Вы опираетесь на какую-то
доказанную теорему в анализе. Если Вы хотите конкретных замечаний - напечатайте Вашу теорию.

[meduza]

errnough в сообщении #225280 писал(а):

$\begin{array}{ccc} f(t)= & -6 t+3 t^2 & \\ f'(t)= & -6+6 t & \text{$\to $ недифференцируема в каждой точке}\\ f''(t)= & 6 & \text{$\to $ ошибка, или не определено} \end{array} $

Не верно! Любой многочлен дифференцируем любое число раз. В вашем случае $f^{(n)}(t)=0\ \forall\ n > 2$.

errnough в сообщении #225280 писал(а):

Кстати, а есть доказательство дифференцируемости каждого многочлена?

Это вытекает непосредственно из определения производной. Возьмитте любой учебник по матану и посмотрите вывод формул $(x^n)'_x=nx^{n-1}$, $(c u)'=c u',\ (c=\mathrm{const})$, $(u_1+...+u_n)'=u_1'+...+u_n'$. А следовательно и любой многочлен $\sum\limits_{i=0}^n a_i x^i$ дифференцируем, любое число раз. По-моему сейчас это даже в школе проходят? Ну уж в любом универе точно.

[errnough]

Давайте я просто покажу отсутствие производной в одной точке. Я начну с геометрического метода и с конкретного примера. На рисунке даны три алгебраические линии:
$ f(t)= 6 t-3 t^2$ -- парабола,
$f'(t)= 6-6 t$ -- функция ее производной, обозначенная мной $(-V)$ и,
$(+V)$ -- просто для примера, линия $3t+2$.

На линии $(-V)$, она же $f'(t)$, выберем точку $tt$ посредине $t_1$ и $t_2$. Хорошо известно правило нахождения производной в точке с помощью предельного перехода для такой точки: $\frac{u_2-u_1}{t_2-t_1}=\frac{\text{$\Delta $u}}{\text{$\Delta $t}} $; $f''(tt) = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta t}.$ Здесь нет никаких проблем.

Интересные вещи начинаются, когда мы выберем точку $tt$ на алгебраической линии $(-V)$ в месте пересечения с осью абцисс, между $t_2$ и $t_3$.

Тогда: $\frac{u_3-u_2}{t_3-t_2}=\frac{\text{$\Delta $u}}{\text{$\Delta $t}} $; заметим, что $u_3$ будет всегда отрицательной, пока $t_3-t_2 \to 0$. Нам придется вычитать из всегда отрицательного $u_3$ всегда положительное $u_2$. Это есть сложение по модулю отрицательных чисел. Этот факт мы можем записать так: $\frac{-|u_3|-|u_2|}{t_3-t_2}$. И тогда привычное нам устремлению к нулю интервала на самом деле преобразится до неузнаваемости. Смотрите:

$$\frac{-|u_3|-|u_2|}{t_3-t_2}=\frac{-(|u_3|+|u_2|)}{t_3-t_2}=(-1) \frac{|u_3|+|u_2|}{t_3-t_2}$$

Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак предельного перехода, под знаком предела остается очень интересное выражение:

$$ \frac{|u_3|+|u_2|}{t_3-t_2} ,$$

которое при $t_3-t_2 \to 0$, очевидно, не имеет предела. На чисто интуитивном уровне (подсмотрено в модели) положение усугубляется тем, что сумма модулей в числителе подтягивает предел в положительном направлении, а вынесенная константа минус единица означает стремление в обратном.

Учитывая сказанное, я использую свою теорему и получаю прекрасные результаты, подтверждаемые на опыте.

--
Куликов Андрей

[CowboyHugges]

errnough в сообщении #225376 писал(а):

Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак предельного перехода, под знаком предела остается очень интересное выражение:

$$ \frac{|u_3|+|u_2|}{t_3-t_2} ,$$

которое при $t_3-t_2 \to 0$, очевидно, не имеет предела.

Оно очевидно имеет предел равный $6$, для этого достаточно поставить вместо $|u_3|$ и $|u_2|$ определяющие их выражения и раскрыть модуль

$$\frac{|u_3|+|u_2|}{t_3-t_2}=\frac{|6-6t_3|+|6-6t_2|}{t_3-t_2}=\frac{6t_3-6+6-6t_2}{t_3-t_2}=6$$

Опровергать непрерывную дифференцируемость многочленов, это тоже самое что опровергать закон тяготения

[AD]

CowboyHugges в сообщении #225378 писал(а):

Опровергать непрерывную дифференцируемость многочленов, это тоже самое что опровергать закон тяготения

Думаю, что даже хуже. Думаю, это тоже самое, что опровергать $A\to A$.

Впрочем, автору никто не мешает вместо слова "производная" взять какое-то другое слово, скажем, "птичка". Ну дать математическое определение птички функции, и доказать, что птичка многочленов большой степени есть их производная, но многочлены младшей степени не птичируемы.

[errnough]

CowboyHugges в сообщении #225378 писал(а):

Оно очевидно имеет предел равный $6$

Или $-6$?

Цитата:

Опровергать непрерывную дифференцируемость многочленов, это тоже самое что опровергать закон тяготения

Получается, что я опроверг-таки закон всемирного тяготения.

[CowboyHugges]

errnough в сообщении #225409 писал(а):

Или $-6$?

Нет, -1, которую Вы вынесли за знак предела я не учитывал

errnough в сообщении #225409 писал(а):

Получается, что я опроверг-таки закон всемирного тяготения.

Я только что показал что Ваши рассуждения неверны. Так что лучше взять в кавычки: Вы "опровергли".

[errnough]

CowboyHugges в сообщении #225415 писал(а):

errnough в сообщении #225409 писал(а):

Или $-6$?

Нет, -1, которую Вы вынесли за знак предела я не учитывал

"Нет" не $-6$? Или "Нет", не учитывал? Если не учли, то на каком основании?

errnough в сообщении #225409 писал(а):

CowboyHugges в сообщении #225415 писал(а):

Получается, что я опроверг-таки закон всемирного тяготения.

Я только что показал что Ваши рассуждения неверны.

И при этом пришли к противоречию. Можете численно поиграться, прямо по графику.

errnough в сообщении #225409 писал(а):

Так что лучше взять в кавычки: Вы "опровергли".

Кавычки, по всей, видимости, пока под вопросом...

[CowboyHugges]

errnough в сообщении #225416 писал(а):

"Нет" не $-6$? Или "Нет", не учитывал? Если не учли, то на каком основании?

Вы прикидываетесь? $\lim_{t_3-t_2 \to 0}\frac{|u_3|+|u_2|}{t_3-t_2}=6$; $\lim_{t_3-t_2 \to 0}-\frac{|u_3|+|u_2|}{t_3-t_2}=-6$ Разве не понятно?

errnough в сообщении #225416 писал(а):

И при этом пришли к противоречию. Можете численно поиграться, прямо по графику.

С чем играться-то? Какое противоречие, поясните внятно