Геометрический вывод ПЛ.

[epros]

Mark1 в сообщении #224895 писал(а):

линейное преобразование в общем виде подразумевает сдвиг.

Может быть Вы обычно это подразумеваете, но стандартное определение линейного преобразования никакого сдвига не предполагает. Поэтому когда хотят выразиться точно, говорят "аффинное преобразование".

Mark1 в сообщении #224895 писал(а):

epros писал(а):

Однородность и изотропность необязательно обосновывать, поскольку они следуют из постулатов.

Из двух постулатов , о которых Вы все время говорили, это не следует. Обычно это называют отдельным постулатом.

А вот и следуют.

Mark1 в сообщении #224895 писал(а):

epros писал(а):

Преобразования Галилея тоже линейные, однако время в них остаётся абсолютным.

Вы что: юморист, и не понимаете разницу между t’=t у Галилея (абсолютное время) и преобразованиями общего вида с неединичными коэффициентами типа t’=Аt+Вx, в котором масштабы исключены.

Это Вы шутник, раз изображаете непонимание того, что t’=t является частным случаем t’=Аt+Вx.

nestoklon в сообщении #224907 писал(а):

У меня по прочтении треда постоянно возникает ощущение, что вы говорите о каких-то разных постулатах.
Из принципа относительности пространственная и временная инвариантность несомненно следуют.

Не знаю, что имеет в виду Mark1, но я под первым постулатом имею в виду именно это.

Mark1 в сообщении #224916 писал(а):

...обычно вместо постулирования аффинного пространства...

Ёлы-палы, я уже говорил, что аффинность пространства не постулируется, а следует из того факта, что рассматриваемым пространством изначально является множество $\mathbb{R}^4$ - четвёрок действительных чисел.

[nestoklon]

Mark1 в сообщении #224916 писал(а):

вместо постулирования аффинного пространства говорят о постулате однородности и изотропности пространства и времени

Это одно и то же. Просто пространство без выделенного начала координат так называется. А как мы с вами договорились (возражений я не увидел) принцип относительности включает в себя сдвиговую инвариантность пространства-времени.
Или вы про метрику Минковского?

Mark1 в сообщении #224916 писал(а):

В этом отношении у меня такое понимание: записывая общий вид линейного преобразования, в котором затем нужно найти значения коэффициентов, опираясь на два постулата Эйнштейна, мы закладываем нечто большее, чем однородность и изотропность, в частности, относительность одновременности.

Вы не могли бы сформулировать, что же оно это "большее"?

[Mark1]

epros писал(а):

…Может быть Вы обычно это подразумеваете, но стандартное определение линейного преобразования никакого сдвига не предполагает.
.. А вот и следуют
…Это Вы шутник, раз изображаете непонимание того, что t’=t является частным случаем t’=Аt+Вx.
…Ёлы-палы, я уже говорил, что аффинность пространства не постулируется, а следует из того факта, что рассматриваемым пространством изначально является множество $\mathbb{R}^4$ - четвёрок действительных чисел.

Всe продолжаете Ваньку валять. Не в состояние понять, что частное t’=t не определяет свойства общего (t’=Аt+Вx). И непонимаете, что из того что "рассматриваемым пространством изначально является множество $\mathbb{R}^4$ - четвёрок действительных чисел" не следует афинное пространство . А по делу, опять ничего нет.

nestoklon в сообщении #224920 писал(а):

Mark1 в сообщении #224916 писал(а):

вместо постулирования аффинного пространства говорят о постулате однородности и изотропности пространства и времени

Это одно и то же…. Просто пространство без выделенного начала координат так называется.

Да.

nestoklon писал(а):

Mark1 писал(а):

В этом отношении у меня такое понимание: записывая общий вид линейного преобразования, в котором затем нужно найти значения коэффициентов, опираясь на два постулата Эйнштейна, мы закладываем нечто большее, чем однородность и изотропность, в частности, относительность одновременности.

Вы не могли бы сформулировать, что же оно это "большее"?

Мы записывем линейное преобразование. В частности там будет t’=At+Bх. Отсюда уже видно, что возникнет относительность одновременности (для одних и тех моментов времени в K будут разные t’ при x не 0. Вы можете мне объяснить, почему мы это допускаем, исходя из однородности времени времени и однородности-изотропности пространства.

[nestoklon]

Mark1 в сообщении #224922 писал(а):

Отсюда уже видно, что возникнет относительность одновременности

То есть вы хотите постулировать абсолютность одновременности? То есть добавить третий постулат?..

Понимаете, какая штука. Утверждение об относительности одновременности -- это не постулат. Это отсутствие постулата об абсолютности понятия одновременности.

-- Пт июн 26, 2009 14:12:53 --

Mark1 в сообщении #224922 писал(а):

из того что "рассматриваемым пространством изначально является множество $\mathbb{R}^4$ - четвёрок действительных чисел" не следует афинное пространство .

А из этого факта и принципа относительности -- следует.

[epros]

nestoklon в сообщении #224924 писал(а):

Понимаете, какая штука. Утверждение об относительности одновременности -- это не постулат. Это отсутствие постулата об абсолютности понятия одновременности.

Не надейтесь, не понимает.
Это видно по его комментариям про отношение между общим и частным:
"...частное t’=t не определяет свойства общего (t’=Аt+Вx)..."

[Mark1]

nestoklon писал(а):

в сообщении #224924"]

Mark1 в сообщении #224922 писал(а):

Отсюда уже видно, что возникнет относительность одновременности

То есть вы хотите постулировать абсолютность одновременности? То есть добавить третий постулат?..
Понимаете, какая штука. Утверждение об относительности одновременности -- это не постулат. Это отсутствие постулата об абсолютности понятия одновременности.

Нет, я не хочу постулировать относительность одновременности. Я спрашиваю, на каком основании, приняв однородность-изотропность, математически это оформляем так, что возникает еще некая пространственно-временная неоднородность (срезы времени для разных точек пространства различны). А вот логику этой Вашей «штуки» я не понимаю (как же не постулат, если это заложено, как возможность, в математическую запись постулата?).

nestoklon писал(а):

Mark1 в сообщении #224922 писал(а):

из того что "рассматриваемым пространством изначально является множество $\mathbb{R}^4$ - четвёрок действительных чисел" не следует афинное пространство .

А из этого факта и принципа относительности -- следует.

Сомневаюсь. Математически из принципа относительности следует, что преобразование должно обладать некими групповыми свойствами. И на каком этапе рассуждений выясняется, что такая группа для четвёрок действительных чисел является линейной? Разве есть доказательство того, что для четверок нет нелинейных групп?

epros в сообщении #224941 писал(а):

nestoklon в сообщении #224924 писал(а):

Понимаете, какая штука….

Не надейтесь, не понимает.
Это видно по его комментариям про отношение между общим и частным:
"...частное t’=t не определяет свойства общего (t’=Аt+Вx)..."

Да, Вы, однако, еще и передергиваете.
Я в сообщении #224851" писал «эти линейные преобразования уже содержат предположения об относительности одновременности». Вы ответили «Преобразования Галилея тоже линейные, однако время в них остаётся абсолютным». Я Вам объяснил, что преобразования общего вида (t’=Аt+Вx) порождают эффект относительности одновременности, а Вы пытаетесь опровергнуть это тем, что частный случай ( t’=t) приводит к абсолютному времени.
Ну вот обратились с жалобой к nestoklon, пусть он оценит Ваш логический метод.

[nestoklon]

Mark1 в сообщении #224994 писал(а):

на каком основании, приняв однородность-изотропность, математически это оформляем так,

Математически мы это оформляем так, что уравнения содержат исключительно однородность-изотропность, и ничего больше. А вы хотите дополнительных условий/ограничений. На каком основании?

Mark1 в сообщении #224994 писал(а):

А вот логику этой Вашей «штуки» я не понимаю (как же не постулат, если это заложено, как возможность, в математическую запись постулата?).

Простите, вы не философ? Логика тут обычная, математическая. Если $x$ неизвестен, то не стоит считать, что он равен $y$, а принято тупо писать: $x$ -- неизвестен.

Mark1 в сообщении #224994 писал(а):

И на каком этапе рассуждений выясняется, что такая группа для четвёрок действительных чисел является линейной?

На этапе того, что можно определить группу движений пространства. Раз у нас все ИСО равноправны, подвинувшись, мы получим тоже ИСО, а раз у нас все ИСО физически неотличимы, то эта новая ИСО равна исходному пространству. То есть из ПО следует наличие группы движений пространства/времени.
Вы можете почётче пояснить, что вам в этом месте непонятно?

[Mark1]

nestoklon в сообщении #224999 писал(а):

Математически мы это оформляем так, что уравнения содержат исключительно однородность-изотропность, и ничего больше. А вы хотите дополнительных условий/ограничений. На каком основании? … Простите, вы не философ?…

Как это «содержат исключительно однородность-изотропность, и ничего больше», если содержат возможную относительность одновременности. Я не требую ограничений. Я в восторге от этой относительности одновременности. Я лишь спрашиваю, есть какие-то физические предпосылки при обсуждении однородности-изотропности закладывать эту относительность одновременности. Вы, как я понял, философ, и объясняете это соответственно. Но физик А.Н.Матвеев в учебнике «Механика и теория относительности» этот вопрос затронул. Перед тем, как написать линейные преобразования общего вида, опираясь на однородность –изотропность, он написал: «Поскольку скорости не складываются по классической формуле (до этих формул у него еще более 20-ти страниц –М.), то можно ожидать, что время одной системы координат не выражается только через время другой системы координат, а зависит и от координат». Как говорится, если нельзя, но очень хочется, то физикам нужно (и правильно поступают). А философам почему можно?

nestoklon писал(а):

Mark1 в сообщении #224994 писал(а):

И на каком этапе рассуждений выясняется, что такая группа для четвёрок действительных чисел является линейной?

На этапе того, что можно определить группу движений пространства. …. То есть из ПО следует наличие группы движений пространства/времени

Возможно, но мне представляется, что выводить из принципа относительности линейность преобразований, уж очень не педагогично. Уж лучше ее выводить, как во всех учебниках из однородности-изотропности. А непонятно мне следующее: пусть из ПО следует наличие группы движений пространства. Означает ли логически, что это - группа линейных преобразований с коэффициентами, зависящими только от относительной скорости, или может быть есть группы с коэффициентами более сложной структуры или вообще нелинейные группы?

[nestoklon]

Mark1, простите, вы умеете читать?
Вам пять раз сказали, что предположение о том, что $a=b$ это утверждение, которому нужны основания в виде постулатов. Утверждение же "$a$ может быть не равно $b$" верно всегда. В любом случае. И когда $a=b$ и когда $a\neq b$. Вы хотите оснований для утверждения, верного всегда.
До тех пор, пока вы пользуетесь формальной (математической) логикой, основания для верных всегда утверждений не нужны. Я поэтому и уточнил вашу профессию -- может, вы какой-то другой логикой пользуетесь?

Mark1 в сообщении #225016 писал(а):

из ПО следует наличие группы движений пространства. Означает ли логически, что это - группа линейных преобразований с коэффициентами, зависящими только от относительной скорости, или может быть есть группы с коэффициентами более сложной структуры или вообще нелинейные группы?

Группа преобразований -- это просто группа преобразований. Я нигде ничего не утверждал про линейность и про коэффициенты. Давайте двигаться последовательно. С афинным пространством разобрались? Тогда можно начать обсуждать как устроена группа Лоренца и почему. Сформулируйте вопрос пожалуйста.

-- Пт июн 26, 2009 21:09:45 --

А пока что напомню потерявшийся в потоке флуда ответ на все вопросы что вы можете задать:
Жирным выделен ответ на вопрос, который вы пытались задать сейчас.

epros в сообщении #222990 писал(а):

СТО из постулатов выводится совершенно не так.
1. Известно, что точки (события) в заданной системе отсчёта идентифицируются четвёркой действительно-значных координат пространства и времени (никаких "бесконечных" точек в этом пространстве нет).
2. Из первого закона Ньютона известно, что в ИСО мировой линией свободно движущейся материальной точки является прямая $\vec{r} = \vec{v} t + \vec{r_0}$.
3. Поскольку первый закон Ньютона в силу первого постулата должен действовать в любой ИСО, преобразование перехода в другую ИСО должно отображать прямые в прямые. Отсюда доказывается, что преобразование является линейным плюс сдвиг. Последний для удобства можно исключить из рассмотрения, как не относящийся к делу.
4. В силу второго постулата прямые, лежащие на световом конусе, отображаются в прямые, лежащие на световом конусе. Отсюда доказывается, что преобразование представляет собой композицию из пространственного поворота, отражения, инверсии времени и сжатий/растяжений вдоль световых векторов. Первые три для удобства можно исключить из рассмотрения, как не относящиеся к делу.
5. Всякое растяжение/сжатие вдоль светового вектора можно рассматривать как композицию из преобразования Лоренца и изменения масштаба координатной сетки. Последнее имеет смысл исключить из рассмотрения как не относящееся к делу. Остаются преобразования Лоренца.

[Mark1]

nestoklon в сообщении #225023 писал(а):

Mark1, простите, вы умеете читать?
До тех пор, пока вы пользуетесь формальной (математической) логикой, основания для верных всегда утверждений не нужны.

Если Вы умеете читать, то поймете, что с позиции физики подход Матвеева был более честный. Простите великодушно, но я лично считаю, что при изложении постулатов СТО постулат об однородности-изотропности нужно сопроводить разъяснением, что линейные преобразования общего вида предполагают относительность одновременности, которая из требований и однородности-изотропности непосредственно не вытекает. Более тут спорить не о чем.

nestoklon писал(а):

Группа преобразований -- это просто группа преобразований. Я нигде ничего не утверждал про линейность и про коэффициенты. Давайте двигаться последовательно. С афинным пространством разобрались? Тогда можно начать обсуждать как устроена группа Лоренца и почему. Сформулируйте вопрос пожалуйста. .

С аффинным разобрались в том плане, что это - просто линейные преобразования с D не равным 0. Вы утверждали, что из 4-х координат и принципа относительности можно вывести эту афинную группу преобразований, так как из ПО следует наличие группы движений пространства. Но если Вы ничего не утверждаете про ее линейность, то я не вижу, почему пространство обязательно должно быть афинным. Возможно я не знаю, какие-то вещи из теории групп. Но и об этом можно не спорить, так как это не принципиально.
Как устроена группа Лоренца, я знаю. И знаю несколько схем вывода преобразований Лоренца (ПрЛ). И вопросов у меня не было, пока не прочитал у А.А. Логунова, что выводы ПрЛ из постулатов Эйнштейна некорректны. Я проверил несколько выводов и убедился, что указаннная им причина некорректности в них присутствует.
Вот это и был мой основной вопрос. Все от обсуждения позиции Логунова отвернулись. Epros по причинам личного отношения к Логунову. Если у Вас личных отрицательных чувств нет, можете высказаться.

[nestoklon]

Mark1 в сообщении #225038 писал(а):

Простите великодушно, но я лично считаю, что при изложении постулатов СТО постулат об однородности-изотропности нужно сопроводить разъяснением, что линейные преобразования общего вида предполагают относительность одновременности, которая из требований и однородности-изотропности непосредственно не вытекает. Более тут спорить не о чем.

Вы определённо или не умеете читать или обладаете недостаточным для конструктивного обсуждения коэффициентом интеллекта. В любом случае спорить в самом деле не о чем.

Mark1 в сообщении #225038 писал(а):

С аффинным разобрались в том плане

, что вы не понимаете что афинное пространство и афинные преобразования -- это две разных сущности. Вы бы хоть википедию почитали -- вам прямые ссылки кидали. Их достаточно чтобы в общих чертах понять это.

Mark1 в сообщении #225038 писал(а):

Все от обсуждения позиции Логунова отвернулись. Если у Вас личных отрицательных чувств нет, можете высказаться.

Честно? Мне по фиг. Вывод в ЛЛ например не совсем корректен. И я это знаю. Но идеологически он меня устраивает и я уверен, что смогу сделать из него корректный, заменив все эти "очевидно" на строгие выкладки.
Если Логунов сделал корректный вывод из постулатов Э, замечательно, но не очень содержательно. Если он для вывода дополнил постулаты какими-то дополнительными утверждениями, пожалуйста, приведите их тут, чтобы мы могли их обсудить. Читать всю фрик-литературу по СТО у меня, как и у большинства, нет желания.

[TRINITI]

nestoklon в сообщении #225088 писал(а):

вы не понимаете что афинное пространство и афинные преобразования -- это две разных сущности.

Вы уверены, что понимание этого различия поможет уважаемому Mark1 найти ответ на свои вопросы?
Может быть, не надо "гасить" страждущего физика ньюансами аксиоматической математики?

nestoklon в сообщении #225088 писал(а):

Вывод в ЛЛ например не совсем корректен. И я это знаю.
Но идеологически он меня устраивает и я уверен, что смогу сделать из него корректный, заменив все эти "очевидно" на строгие выкладки.

Почему бы тогда этого и не сделать?

nestoklon в сообщении #225088 писал(а):

Если Логунов сделал корректный вывод из постулатов Э, замечательно, но не очень содержательно.

Согласен.

[man]

nestoklon в сообщении #225023 писал(а):

Mark1, простите, вы умеете читать?
Вам пять раз сказали, что предположение о том, что $a=b$ это утверждение, которому нужны основания в виде постулатов. Утверждение же "$a$ может быть не равно $b$" верно всегда. В любом случае. И когда $a=b$ и когда $a\neq b$. Вы хотите оснований для утверждения, верного всегда.
До тех пор, пока вы пользуетесь формальной (математической) логикой, основания для верных всегда утверждений не нужны.

Вообще то, в математической логике, все как раз наоборот. Например, в теории множеств, множества изначально считаются равными $a=b$ и это не требует обоснований, пока не предъявлен элемент, принадлежащий одному множеству и не принадлежащий другому. Утверждению же "$a$ может быть не равно $b$" нужны обоснования в виде предъявления указанного элемента. Например, доказательство тождества пустых множеств основано именно на этом.

[nestoklon]

TRINITI в сообщении #225099 писал(а):

Может быть, не надо "гасить" страждущего физика ньюансами аксиоматической математики?

Ну, короткий ответ -- "он первый начал". Более содержательный ответ состоит в том, что можно пользоваться выводами как вы это называете "аксиоматической математики" и тогда надо разбираться в ньюансах. Или не пользоавться и смириться с тем, что выкладки будут очень громоздкими и производить впечатление "неполных" и "использующих лишние предположения".

man в сообщении #225102 писал(а):

Например, в теории множеств, множества изначально считаются равными $a=b$ и это не требует обоснований, пока

О! А я-то наивно полагал, что для равенства множеств надо показать, что любой элемент множества $A$ принадлежит $B$ и наоборот... А оказывается если я недостаточно умён чтобы найти элемент, который принадлежит только одному из множеств, они равны. Прелестно!
Т.о., вы несогласны с утверждением $(a=b) \vee (a\neq b) =1$?

[man]

nestoklon в сообщении #225135 писал(а):

man в сообщении #225102 писал(а):

Например, в теории множеств, множества изначально считаются равными $a=b$ и это не требует обоснований, пока

О! А я-то наивно полагал, что для равенства множеств надо показать, что любой элемент множества $A$ принадлежит $B$ и наоборот... А оказывается если я недостаточно умён чтобы найти элемент, который принадлежит только одному из множеств, они равны. Прелестно!

Решайте сами "достаточно ли вы для этого умны"

nestoklon в сообщении #225135 писал(а):

Т.о., вы несогласны с утверждением $(a=b) \vee (a\neq b) =1$?

С этим формальным утверждением я согласен. Я не согласен, во-первых, что ваше

nestoklon писал(а):

$a$ может быть не равно $b$

и есть это самое утверждение, а во-вторых, что ваше

nestoklon писал(а):

утверждение "$a$ может быть не равно $b$" верно всегда

верно ВСЕГДА.