Ну, давайте ещё раз.
Задачу о делении циркулем и линейкой произвольного угла на три равные части (угла), скорее всего, греки решили и оно было таким:
а) вокруг вершины данного угла описываем окружность произвольного радиуса;
б) продолжим одну из сторон центрального угла до пересечения с окружностью (точка пересечения будет вершиной вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности, что и центральный угол);
в) откладываем на диаметре три равных отрезка способом, указанным в
topic21409.html; г) из полученных точек проводим лучи, параллельные другой стороне вписанного угла.
Можно доказать, что три дуги, получаемые при пересечении дуги, на которую опирается центральный угол, равны между собой.
В п. в) надо полагать, не откладываем три равных отрезка, а делим диаметр на три равных части, иначе явная чушь.
Можно дугу, диаметр поделить на три равные части и посмотреть, как описанное построение разобьет дугу, но удобнее наоборот. На окружности с центром
и диаметром
возьмём точку
. Разделим дугу
на три равные дуги
и
. Параллельно
через точки
и
проведём прямые параллельно
, пересекающие диаметр
в точках
и
соответственно.
Виктор Ширшов утверждает, что
. Посчитаем ...
Всё подогнано под ранее написанное, надо лишь положить
:
В прямоугольном треугольнике
на гипотенузе
возьмём точку
, обозначим
.
Тогда
и по теореме синусов из треугольника
получаем:
Тогда
Рассматривая треугольник
и заменяя в цитированной формуле
на
,
на
получим
Поэтому
Таким образом, диаметр
в построении Виктора Ширшова следует делить в отношении
Если не считать случая
, это отношение никогда не совпадёт с отношением
и будет далёким от него и заметным на глаз при
. Построение для этого случая надо рассматривать как предельное при
, диаметр делить в отношении
, а параллельные прямые проводить перпендикулярно диаметру. Это проверяется вообще без всяких вычислений.