Правильные многогранники в пространствах больших размерносте

[Бодигрим]

Читаю сейчас "Курс алгебры" Винберга (2002). В $\S7.3$ он дает следующее определение:

Винберг писал(а):

Выпуклый многогранник $M$ называется правильным, если для любых двух его флагов существует движение $f\in{\rm Sym}\, M$, переводящее первый из этих флагов во второй.

Я задумался: с правильными многогранниками на плоскости - все ясно, в пространстве - тоже. А какие именно многогранники окажутся правильными в четырех- и более мерном евклидовом пространстве?

[ИСН]

Хрен знает, что это за флаги такие; а так-то в четырёхмерном пространстве шесть правильных многогранников, а во всех остальных - по три.

[Someone]

Здесь под флагом, скорее всего, понимается совокупность из вершины многогранника, ребра, содержащего эту вершину, двумерной грани, содержащей ребро, трёхмерной грани, содержащей двумерную,...

Точнее, наверное, Бодигрим может сказать, что там Винберг понимает под флагом.

[Бодигрим]

Цитата:

Здесь под флагом, скорее всего, понимается совокупность из вершины многогранника, ребра, содержащего эту вершину, двумерной грани, содержащей ребро, трёхмерной грани, содержащей двумерную,...

Угу.

[Narn]

ИСН в сообщении #137018 писал(а):

а так-то в четырёхмерном пространстве шесть правильных многогранников, а во всех остальных - по три.

Если тема еще актуальна, то есть статья Бугаенко в Математическом просвещении, где это доказывается.

[Профессор Снэйп]

В $\mathbb{R}^2$ для каждого $n$ существует правильный $n$-угольник. В $\mathbb{R}^3$ существует ровно пять правильных многогранников, они ещё древним грекам были известны. А вот в пространствах больших размерностей...

Я где-то слышал, что в $\mathbb{R}^n$ при $n > 3$ существует только два правильных многогранника: куб и тетраэдр. Правда ли это? И если правда, то как это доказывается?

[ИСН]

В четырёхмерии шесть, во всех последующих – по три (куб, тетраэдр и октаэдр). Доказывается пристальным взглядом.

[EtCetera]

При $n=4$ существует 6 правильных тел с символами Шлефли {3,3,3} (симплекс), {4,3,3} (гиперкуб), {3,3,4}, {3,4,3}, {5,3,3}, {3,3,5} (эти, по-моему, называются по числу граней; если хотите, сейчас поищу точную информацию о них). При $n>4$ существуют только симплекс {3,3,...,3}, куб (точнее, гиперкуб) {4,3,...,3} и "гипероктаэдр" {3,3,...,4}. Как доказывается - точно не знаю, но все правильные тела как-то связаны с т.н. графом Кокстера (понятие не имею, что это такое), точнее, этот граф позволяет как-то выделить из всех мыслимых символов Шлефли символы правильных многогранников.

[Профессор Снэйп]

EtCetera в сообщении #224723 писал(а):

если хотите, сейчас поищу точную информацию о них...

Спасибо, но, наверное, я лучше сам поищу. Не думал, что там всё так сложно.

Смотреть, если я правильно понял, надо символы Шлефи и граф Кокстера.

[AKM]

EtCetera в сообщении #224723 писал(а):

правильные тела как-то связаны с т.н. графом Кокстера (понятие не имею, что это такое)

Этого мужика чаще переводят как Коксетер (H.S.M. Coxeter). Хотя имеется книга Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М. Наука 1966г. (не утверждаю, что она в тему).

[EtCetera]

АКМ
Увы - моя память донесла до наших дней его фамилию именно так, а не иначе. Видимо, в той книжке, в которой я про него прочитал (а было это в далекие ныне юношеские годы), была очепятка (поэтому пусть он на меня не обижается ). Да и вообще, он в ней проходил лишь упоминанием, без какой бы то ни было конкретики. Там основной упор делался именно на символы Шлефли, которые довольно много где применяются. Сам Шлефли был, по-моему, кристаллографом - оттуда и дует ветер всех этих групп симметрий, групп отражений и прочих вещей, препарирующих первозданно-девственную красоту правильных многогранников.

[AKM]

Очепятка или какие-то переводческие дела --- не знаю. Я, когда уже привык к КоксЕтеру, с удивлением обнаружил процитированную мной и теперь вот Вами использованную альтернативу, Кокстер. А гуглить на тему кого из них больше --- естественно, лень.
Я часто использовал его имя в публикациях и на семинарах; никто никогда не поправлял.

[Бодигрим]

Вот тут обсуждали: topic15649.html - и отправили меня читать http://www.mccme.ru/free-books/matpros/i8107115.pdf.zip

Темы объединены. // maxal

[BVR]

А ещё в Розенфельде Б. А. "Многомерные пространства" есть

[Yu_K]

См. http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/platonic4d/

там подробно расписаны 4-мерные правильные политопы, а так же утверждается:

In higher dimensions (5, 6, 7 ....) there are only 3 regular polytopes in any particular dimensions! These 3 regular polytopes are the equivalent of the tetrahedron, cube, and octahedron in 3 dimensions, they are normally called the n-simplex, n-cube, and n-crosspolytope respectively where n stands for the dimension.

Maxal как-то дал ссылку на г-на P. Bourke.