2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Правильные гипермногогранники
Сообщение04.08.2008, 00:25 
Аватара пользователя
Читаю сейчас "Курс алгебры" Винберга (2002). В $\S7.3$ он дает следующее определение:
Винберг писал(а):
Выпуклый многогранник $M$ называется правильным, если для любых двух его флагов существует движение $f\in{\rm Sym}\, M$, переводящее первый из этих флагов во второй.
Я задумался: с правильными многогранниками на плоскости - все ясно, в пространстве - тоже. А какие именно многогранники окажутся правильными в четырех- и более мерном евклидовом пространстве?

 
 
 
 
Сообщение04.08.2008, 00:38 
Аватара пользователя
Хрен знает, что это за флаги такие; а так-то в четырёхмерном пространстве шесть правильных многогранников, а во всех остальных - по три.

 
 
 
 
Сообщение04.08.2008, 11:49 
Аватара пользователя
Здесь под флагом, скорее всего, понимается совокупность из вершины многогранника, ребра, содержащего эту вершину, двумерной грани, содержащей ребро, трёхмерной грани, содержащей двумерную,...

Точнее, наверное, Бодигрим может сказать, что там Винберг понимает под флагом.

 
 
 
 
Сообщение04.08.2008, 12:36 
Аватара пользователя
Цитата:
Здесь под флагом, скорее всего, понимается совокупность из вершины многогранника, ребра, содержащего эту вершину, двумерной грани, содержащей ребро, трёхмерной грани, содержащей двумерную,...

Угу.

 
 
 
 
Сообщение16.08.2008, 19:42 
ИСН в сообщении #137018 писал(а):
а так-то в четырёхмерном пространстве шесть правильных многогранников, а во всех остальных - по три.


Если тема еще актуальна, то есть статья Бугаенко в Математическом просвещении, где это доказывается.

 
 
 
 Правильные многогранники в пространствах больших размерносте
Сообщение25.06.2009, 09:29 
Аватара пользователя
В $\mathbb{R}^2$ для каждого $n$ существует правильный $n$-угольник. В $\mathbb{R}^3$ существует ровно пять правильных многогранников, они ещё древним грекам были известны. А вот в пространствах больших размерностей...

Я где-то слышал, что в $\mathbb{R}^n$ при $n > 3$ существует только два правильных многогранника: куб и тетраэдр. Правда ли это? И если правда, то как это доказывается?

 
 
 
 Re: Правильные многогранники
Сообщение25.06.2009, 09:41 
Аватара пользователя
В четырёхмерии шесть, во всех последующих – по три (куб, тетраэдр и октаэдр). Доказывается пристальным взглядом.

 
 
 
 Re: Правильные многогранники
Сообщение25.06.2009, 09:42 
При $n=4$ существует 6 правильных тел с символами Шлефли {3,3,3} (симплекс), {4,3,3} (гиперкуб), {3,3,4}, {3,4,3}, {5,3,3}, {3,3,5} (эти, по-моему, называются по числу граней; если хотите, сейчас поищу точную информацию о них). При $n>4$ существуют только симплекс {3,3,...,3}, куб (точнее, гиперкуб) {4,3,...,3} и "гипероктаэдр" {3,3,...,4}. Как доказывается - точно не знаю, но все правильные тела как-то связаны с т.н. графом Кокстера (понятие не имею, что это такое), точнее, этот граф позволяет как-то выделить из всех мыслимых символов Шлефли символы правильных многогранников.

 
 
 
 Re: Правильные многогранники
Сообщение25.06.2009, 09:49 
Аватара пользователя
EtCetera в сообщении #224723 писал(а):
если хотите, сейчас поищу точную информацию о них...


Спасибо, но, наверное, я лучше сам поищу. Не думал, что там всё так сложно.

Смотреть, если я правильно понял, надо символы Шлефи и граф Кокстера.

 
 
 
 Re: Правильные многогранники
Сообщение25.06.2009, 10:08 
Аватара пользователя
EtCetera в сообщении #224723 писал(а):
правильные тела как-то связаны с т.н. графом Кокстера (понятие не имею, что это такое)
Этого мужика чаще переводят как Коксетер (H.S.M. Coxeter). Хотя имеется книга Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М. Наука 1966г. (не утверждаю, что она в тему).

 
 
 
 Re: Правильные многогранники
Сообщение25.06.2009, 17:02 
АКМ
Увы - моя память донесла до наших дней его фамилию именно так, а не иначе. Видимо, в той книжке, в которой я про него прочитал (а было это в далекие ныне юношеские годы), была очепятка (поэтому пусть он на меня не обижается :) ). Да и вообще, он в ней проходил лишь упоминанием, без какой бы то ни было конкретики. Там основной упор делался именно на символы Шлефли, которые довольно много где применяются. Сам Шлефли был, по-моему, кристаллографом - оттуда и дует ветер всех этих групп симметрий, групп отражений и прочих вещей, препарирующих первозданно-девственную красоту правильных многогранников. :)

 
 
 
 Re: Правильные многогранники
Сообщение25.06.2009, 19:30 
Аватара пользователя
Очепятка или какие-то переводческие дела --- не знаю. Я, когда уже привык к КоксЕтеру, с удивлением обнаружил процитированную мной и теперь вот Вами использованную альтернативу, Кокстер. А гуглить на тему кого из них больше --- естественно, лень.
Я часто использовал его имя в публикациях и на семинарах; никто никогда не поправлял.

 
 
 
 Re: Правильные многогранники
Сообщение25.06.2009, 23:14 
Аватара пользователя
Вот тут обсуждали: topic15649.html - и отправили меня читать http://www.mccme.ru/free-books/matpros/i8107115.pdf.zip

 i  Темы объединены. // maxal

 
 
 
 Re: Правильные многогранники
Сообщение26.06.2009, 11:01 
А ещё в Розенфельде Б. А. "Многомерные пространства" есть

 
 
 
 Re: Правильные многогранники
Сообщение26.06.2009, 11:41 
См. http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/platonic4d/

там подробно расписаны 4-мерные правильные политопы, а так же утверждается:

In higher dimensions (5, 6, 7 ....) there are only 3 regular polytopes in any particular dimensions! These 3 regular polytopes are the equivalent of the tetrahedron, cube, and octahedron in 3 dimensions, they are normally called the n-simplex, n-cube, and n-crosspolytope respectively where n stands for the dimension.

Maxal как-то дал ссылку на г-на P. Bourke.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group