гильбертовы пространства

[ewert]

А я и не уверен, что он достигается. Скорее всего -- нет. Имелся в виду, конечно, инфимум.

[Xaliuss]

Достигается, абсолютно точно. Рассматриваются вектора с нормами 1, и тут инфимум достигаться будет...

[ewert]

Xaliuss в сообщении #224698 писал(а):

Достигается, абсолютно точно. Рассматриваются вектора с нормами 1, и тут инфимум достигаться будет...

Почему? Нет же компактности.

[Профессор Снэйп]

Xaliuss в сообщении #224698 писал(а):

Достигается, абсолютно точно. Рассматриваются вектора с нормами 1, и тут инфимум достигаться будет...

Доказательство в студию!

А насчёт инфимума, который не достигается... Вдруг он окажется, к примеру, равным нулю. Ну то есть подпространства $U$ и $V$ пересекаются только в нуле, однако для любого $\varepsilon > 0$ найдутся единичные вектора $u \in U$ и $v \in V$, такие что $(u,v) > 1 - \varepsilon$. Как тогда доказывать, что $\| P_U P_V \| < 1$?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #224718 писал(а):

А насчёт инфимума, который не достигается... Вдруг он окажется, к примеру, равным нулю. Ну то есть подпространства $U$ и $V$ пересекаются только в нуле, однако для любого $\varepsilon > 0$ найдутся единичные вектора $u \in U$ и $v \in V$, такие что $(u,v) > 1 - \varepsilon$. Как тогда доказывать, что $\| P_U P_V \| < 1$?

Никак. Норма произведения проекторов меньше единицы тогда и только тогда, когда супремум того отношения скалярных произведений к произведениям норм строго меньше единицы. Т.е. когда угол строго больше нуля. Я ж говорил -- критерий.

[terminator-II]

решить эту задачу просто пристальным взглядом невозможно. нужно применять теоремы функана.

[ewert]

нет, в моём варианте формулировки особо глубоких знаний не требуется (в Вашем -- дело иное).

[terminator-II]

ewert в сообщении #224823 писал(а):

нет, в моём варианте формулировки особо глубоких знаний не требуется (в Вашем -- дело иное).

ну между прочим, у нас с Вами рассуждения были эквивалентные: Вы в доказательстве использовали принцип открытости отображения, а я теорему о заскнутом графике. Ясно, что это "что в лоб, что по лбу". Вы ,правда потом еще и в обратную сторону доказали, чего я не подразумевал в начале и не ожидал
я просто, хотел сказать, что задача простая, но простая только по модулю теорем функана, из пальца решение высасать невозможно. просточтоб люди не тратили время на поиск тривиального решения

[ewert]

ну а я хотел сказать, что в моём варианте ничего такого особенного и не нужно, учитывая гильбертовость (ну кроме теоремы о проекции, но она как бы вроде и подразумевается), в Вашем же (банаховом) нужна ещё и теорема о замкнутом графике, что уже существенно изысканнее.

[terminator-II]

Xaliuss в сообщении #224698 писал(а):

Достигается, абсолютно точно. Рассматриваются вектора с нормами 1, и тут инфимум достигаться будет...

однако доказательством этого "факта" нас видимо не снабдят

[ewert]

terminator-II в сообщении #224830 писал(а):

я просто, хотел сказать, что задача простая, но простая только по модулю теорем функана,

А меня лично раздражает то, что теорема существенна , но как-то не на слуху. Я, например (хоть я и не показатель, конечно), -- как-то её не припомню. А следовало бы припомнить.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #224823 писал(а):

в моём варианте...

О каких вариантах идёт речь? Где это можно посмотреть?

[ewert]

да хрен его знает, не помню, где-то так с месяц назад. Где-то было...