Сфера Банаха и Тарского

[Мастак]

Приветствую!
Подскажите плиз, где почитать про и посмотреть саму теорему Банаха-Тарского о том, что сферу радиуса R можно разбить на конечное число таких неперекрывающихся частей так, что перемещая их как твердые тела и особым образом прикладывая друг к другу, можно получить новую сферу радиуса 2R, не устраняя и не добавляя ни одной точки!

-- Ср июн 17, 2009 16:48:29 --

В И. В. Ященко Парадоксы теории множеств как-то мутновато.

[RIP]

Wagon S. — The Banach-Tarski Paradox
Хорошая книжко. В свободном доступе не нашёл.

[Мастак]

Спсбо.
Есть конечно ещё статья самих Банаха и Тарского, но на французком. Sur la de...

Меня интересуют - какие неконструктивные моменты фигурируют в доказательстве.
То есть - аксиома выбора, множество Витали, сдвиг натурального ряда, ... ещё что?
Попытаться понять из франц. текста - маттексты с точки зрения лингвистики малонакручены.

А вот веселая выдержка из детской матем. энциклопедии

Цитата:

Аксиома выбора гласит, что если у нас есть семейство непустых и непересекающихся множеств Аi, то мы можем составить новое множество В, взяв в него ровно по одному элементу из каждого множества Аi. Казалось бы, чего проще? Казалось бы, где здесь может быть противоречие? Однако же аксиома не дает нам никаких указаний насчет способа, которым мы должны выбирать элементы из этих множеств.
Очень мне нравится фраза из Википедии: Бытует мнение, что доказательства, полученные с привлечением этой аксиомы, имеют иную познавательную ценность, чем доказательства, независимые от неё.
Но на этой аксиоме стоит остановиться отдельно.
Сейчас только скажу, что она используется при доказательстве парадокса Банаха-Тарского-Хаусдорфа.
И, наконец, сформулирую сам парадокс.

Парадокс удвоения шара
Трёхмерный шар можно разбить на конечное число «кусков» и составить из них два таких же шара. При этом для удвоения шара достаточно пяти кусков, но четырёх недостаточно.

Можете себе представить???
Когда речь идёт о бесконечности, это дело одно... То есть бесконечным числом кусков вроде бы никого и не удивишь... Мало ли что в бесконечности может случиться... Но пять?!!...
Единственное, что "утешает" — это такая же "неконструктивность" парадокса, как неконструктивность аксиомы выбора. Он говорит, что сделать это можно, но не говорит, как. И как это сделать, не знает никто... Или почти никто...

[RIP]

Кста. Не обратил внимания: в парадоксе Банаха-Тарского из одной сферы делается две точно таких же, а не сфера другого радиуса (что, очевидно, невозможно).

И что "неконструктивного" Вы видите в сдвиге натурального ряда?

[Мастак]

RIP в сообщении #222905 писал(а):

И что "неконструктивного" Вы видите в сдвиге натурального ряда?

Натуральный ряд бесконечен, а бесконечное количество движений КОНСТРУКТИВНО сделать невозможно. Можно говорить, что это, например,
"поручили" какому-то физическому процессу, но опять же проверить, что выполнено бесконечн. количество движений, опять же невозможно. Можно говорить, что преобразовали в какие-то энергии, но опять ...
Всё тот же тезис: бесконечность в конструктивизме не актуальна. Для констр. бесконечность - всего лишь символ, с которым оперируют по определенным правилам.

Также и со сферами и шарами - можем взять реальный шар, сделанный из какого-либо материала, но рарубить его на бесокнечное количество частей не можем.
Можем поручить это какому-то физ. процессу, который нарубит до каких-то частиц (число которых должно быть бесконечно) и тогда шар вроде как исчезнет, а потом - как собрать и как проверить, что было собрано из тех же частиц.

[Alexey Romanov]

Мастак в сообщении #222951 писал(а):

Натуральный ряд бесконечен, а бесконечное количество движений КОНСТРУКТИВНО сделать невозможно.

Сдвиг натурального ряда -- это не бесконечное множество движений, а одна функция.

-- Вс июн 21, 2009 01:02:21 --

Мастак в сообщении #222951 писал(а):

Также и со сферами и шарами - можем взять реальный шар, сделанный из какого-либо материала, но рарубить его на бесокнечное количество частей не можем.

Для парадокса Б-Т шар достаточно разрезать всего на 5 частей.

[Виктор Викторов]

Мастак в сообщении #222863 писал(а):

А вот веселая выдержка из детской матем. энциклопедии

Цитата:

Аксиома выбора гласит, что если у нас есть семейство непустых и непересекающихся множеств Аi, то мы можем составить новое множество В, взяв в него ровно по одному элементу из каждого множества Аi. Казалось бы, чего проще? Казалось бы, где здесь может быть противоречие? Однако же аксиома не дает нам никаких указаний насчет способа, которым мы должны выбирать элементы из этих множеств.
Очень мне нравится фраза из Википедии: Бытует мнение, что доказательства, полученные с привлечением этой аксиомы, имеют иную познавательную ценность, чем доказательства, независимые от неё.
Но на этой аксиоме стоит остановиться отдельно

Об аксиоме выбора есть замечательная и легко читаемая книга: Abraham A. Fraenkel. Set Theory and Logic. К сожалению она издана только по-английски. Вот пару абзацев в моём переводе.

«… в структуре логических и математических процедур, которые были обычны и признаны к концу 19го века, не разрешалось использовать бесконечно много шагов в выборе произвольных элементов, не определённых конкретным законом. Это исключение бесконечности выбора основывалось некоторыми критиками на доводе что любая логическая процедура должна быть приведена к концу за конечный интервал времени, что очевидно невозможно в этом случае. Но этот довод вряд ли разумен, процесс мышления должен быть рассматриваем, как мгновенный, а не берущий определённый период времени. …
Но более глубокий анализ показывает, что процедур включающих в себя бесконечно много произвольных шагов избегали в прошлом не по выше приведённой причине, а потому что они считались бессмысленными, а не только неконструктивными. Эта позиция косвенно или подсознательно была усвоена повсеместно. Ещё в 1890 году, когда известный математик и логик Дж. Пеано, имевший дело с определённой проблемой в дифференциальных уравнениях, явно воздержался от лёгкого решения использующего бесконечный выбор и вместо этого разработал конструктивный метод с недвусмысленным доводом: «поскольку нельзя использовать бесконечно часто произвольную процедуру, в которой индивидуальный элемент сопоставляется данному множеству, мы здесь установили определённый закон который при подходящих предположениях сопоставляет индивидуальный элемент множества каждому данному множеству».»

[LetsGOX]

Вообще этот парадокс лично мне кажется странным (Я не математик, не пинайте сильно
Ведь по сути, что такое сфера в пространстве $R^3$ - это лишь геометрическое место точек, определяемый неким уранением, и эти точки образуют множество A
По сути при разбиении сферы на две, получаем уже множество {A,A}
Эти две сферы можн разбить еще на две, и там до бесконечности, в результатет чего мы получим множество B={A,A,A...A,A,A}
Очевидно, что множество A и множество B ну никак не сопоставимы
Как же это обходится (Только я прошу, попроще пожалуйста, не закидывая особыми терминами теории множетсв)

[Бодигрим]

LetsGOX в сообщении #223690 писал(а):

Очевидно, что множество A и множество B ну никак не сопоставимы. Как же это обходится

Это обходится зачеркиванием слова с неочевидным значением "сопоставимы". И написанием "теории сопоставимости".

[Мастак]

Alexey Romanov в сообщении #223644 писал(а):

Мастак в сообщении #222951 писал(а):

Натуральный ряд бесконечен, а бесконечное количество движений КОНСТРУКТИВНО сделать невозможно.

Сдвиг натурального ряда -- это не бесконечное множество движений, а одна функция.

-- Вс июн 21, 2009 01:02:21 --

Мастак в сообщении #222951 писал(а):

Также и со сферами и шарами - можем взять реальный шар, сделанный из какого-либо материала, но рарубить его на бесокнечное количество частей не можем.

Для парадокса Б-Т шар достаточно разрезать всего на 5 частей.

Речь идет не о функции получения следующего за нат. числом нат. числа, которая конструктивна, например, в смысле, что по любой формальной записи нат. числа можно записать следующее. Речь идет о том, чтобы взять бесконечный ряд и прибавить к нему ещё один элемент, принадлежащий этому ряду, но если уже принадлежит, то что же мы добавляем.

Текст о разрубании на беск. число частей - это лирическая попытка реализовать вообще некоторую неконструктивность.
А что касается 5 частей, то доказано, что можно, но не указано, что эти части из себя представляют.

LetsGOX в сообщении #223644 писал(а):

Вообще этот парадокс лично мне кажется странным

Из исторических сведений - такого рода результаты вообще привели научн. круги в панику, так как основы математики (самой логически безупречной науки) оказывались абсурдны. Потом доказали, что замеченные неконструктивности на основные матдостижения не влияют и успокоились. Вроде того, что из-за того, что мы всего не понимаем, что происходит на Солнцы, жизнь не прекращается и открытые физические закономерности проявления солнечной энергии продолжают подтверждаться в используемых физических приборах.

[Таня Тайс]

Мастак в сообщении #222951 писал(а):

Также и со сферами и шарами - можем взять реальный шар, сделанный из какого-либо материала, но рарубить его на бесокнечное количество частей не можем.

А у нас на лекции по атомной физике этот парадокс использовался в качестве доказательства - математика утверждает, что такое деление сферы возможно, наш повседневный опыт говорит, что нет, значит существуют атомы.

[Мастак]

Таня Тайс в сообщении #223927 писал(а):

Мастак в сообщении #222951 писал(а):

Также и со сферами и шарами - можем взять реальный шар, сделанный из какого-либо материала, но рарубить его на бесокнечное количество частей не можем.

А у нас на лекции по атомной физике этот парадокс использовался в качестве доказательства - математика утверждает, что такое деление сферы возможно, наш повседневный опыт говорит, что нет, значит существуют атомы.

Обратное тоже верно - гуру по математике тоже любят сослаться на физику: вот, мол, в природе же ведь такое есть.
А вообще - эта драматургия создания основ квантовой механики, записанная уже в художесивенных произведениях, - сперва придумали моделирующую математику, выводящую из тьмы нелепостей, а потом находили блестящие физические подтверждения.

[Sasha2]

Ну хороршо, а такое кто-нибудь делал?
Хотелось бы воочию убедиться, как из одной сферы сделать две такие же.
Может схемка есть или рисунок какой?

[ИСН]

Там не на что смотреть. А то бы, конечно - - -

[Sasha2]

Ну почему же, кто-то тут утверждал, что 5 кусков будет достаточно, чтобы такое сотворить.
Вот хотелось бы, чтобы эти куски были предъявлены.