Кватернио́ны

[nbyte]

Здравствуйте.
Помогите пожалуйста разобратся.
У меня есть три вопроса по кватернио́нам. Мне нужно разобраться с ними так как они возможно будут на экзамине. Пролистал все книги которые у меня были по алгебре, но чётких ответов неполучил, хочу быть уверен что правильно знаю.

Первый вопрос

Цитата:

Доказать, что если $u$ - вектор, а $\alpha \in {\rm H}$ то $\alpha u{\alpha ^{ - 1}}$ тоже является вектором

Второй вопрос

Цитата:

Теорема об ортогональности линейной трансформации ${A_a}:u \to \alpha u{\alpha ^{ - 1}}$

Можете подсказать, где я могу найти определение этой теоремы?

Третий вопрос

Цитата:

Матрица линейной трансформации $\[{{A}_{a}}:u\to \alpha u{{\alpha }^{-1}}\]$ в оротонормированном базисе

Незнаю где найти описание этого определения.

[MGM]

А что там у Вас кватернион?
Все вектора?
Тогда все теоремы в Гугле.

[nbyte]

[nestoklon]

Это видимо можно найти в конспекте. Именно в таком виде вы эти утверждения (более-менее эквивалентные, кстати) в гугле вряд ли найдёте.
В принципе, вы можете попробовать доказать эти несложные утверждения сами.

[nbyte]

У меня тут туго, у нас препод сказал, что это такбы "домашние задания" нам.
В конспекте у меня этого нету.
Насчет первого то я думаю что это можно доказать следующим образом

Цитата:

Если $\[{{\alpha }^{-1}}=\frac{\overline{\alpha }}{\alpha \cdot I }\]$, тогда $\alpha u{\alpha ^{ - 1}}$=$\[\alpha \cdot u\cdot \frac{\overline{\alpha }}{\alpha \cdot I }\]$ и если тут можно сократить, ну хотя я тут точно незнаю...

[MGM]

nestoklon в сообщении #223227 писал(а):

в гугле вряд ли найдёте.

Легко.
http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions

[nbyte]

[MGM]

nbyte в сообщении #223237 писал(а):

:|

Там ссылок много, если внизу.
А если медленно прочитать до конца, может вспомните что-то подобное из ЛА, и сами докажете,
как предлагалось выше.

[nbyte]

[LetsGOX]

[offtop]Квантерионы едял лимоны,
А мы, векторы, едим огурцы[/offtop]

[nbyte]

-- Пт июн 19, 2009 13:01:03 --

[offtop]

Цитата:

Квартерон (от лат. quarta — четверть) — в колониальной Америке так называли человека, один из предков которого в третьем поколении был негром (чаще негритянкой).

[/offtop]
Можно перейти к теме в сообщении #1?

[terminator-II]

nbyte в сообщении #223215 писал(а):

Здравствуйте.
Помогите пожалуйста разобратся.
У меня есть три вопроса по кватернио́нам. Мне нужно разобраться с ними так как они возможно будут на экзамине. Пролистал все книги которые у меня были по алгебре, но чётких ответов неполучил, хочу быть уверен что правильно знаю.

Первый вопрос

Цитата:

Доказать, что если $u$ - вектор, а $\alpha \in {\rm H}$ то $\alpha u{\alpha ^{ - 1}}$ тоже является вектором

Второй вопрос

Цитата:

Теорема об ортогональности линейной трансформации ${A_a}:u \to \alpha u{\alpha ^{ - 1}}$

Можете подсказать, где я могу найти определение этой теоремы?

Третий вопрос

Цитата:

Матрица линейной трансформации $\[{{A}_{a}}:u\to \alpha u{{\alpha }^{-1}}\]$ в оротонормированном базисе

Незнаю где найти описание этого определения.

Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия

[nbyte]

В этой книге чтото нашел на эту тему, только незнаю как это переформулировать
Стр. 126

Цитата:

Если $\[{{\left[ q \right]}^{2}}=1\]$, то преобразование
$\[{{\alpha }_{q}}:x\to qx{{q}^{-1}}\]$, $\[x\in {{\Eta }_{0}}\]$,
есть вращение трехмерного евклидова пространства $\[{{\Eta }_{0}}={{\mathbb{R}}_{3}}\]$.

Можно-ли тут как переформулировать на первый вопрос?
Меня смущает, что тут $\[{{\left[ q \right]}^{2}}=1\]$.

[ellipse]

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре 1984
См. стр 394
http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/c465b1 ... 55ab0.djvu

[nbyte]

Ну тут тоже чтото похожее. Если чесно то я недостаточно хорошо разбираюсь в алгебре чтобы составить доказательство.
Помогите ктонибудь составить.