Как ни прискорбно, не могу решить задачу (из ЕГЭ)

[arseniiv]

Численные данные, правда, не помню.
На гладкой горизонтальной поверзности лежит доска [т.е. между ними трения нет] массы $M$, а на доске - шайба массы $m$. Коэфф. трения между доской и шайбой - $\mu$. Шайбу привели в движение со скоростью $v_0$. Через какое время $t$ она останосится?

Вот что я надумал. Через разные законы выводится соотношения $a_{TP} = \mu g$ Через это уже можно найти время движения через $v = v_0 - a t$, но я понимаю, что всё это неправильно, т.к. не учтено взаимодействие доски и шайбы (шайба будет тормозиться, а доска приобретёт скорость $\frac{mv_0}{M}$). А вот как повлияет это взаимодействие на торможение шайбы (вроде она просто передаёт кинетическую энергию доске через трение?), не знаю.

Помогите "узреть истину"?

[meduza]

А если через закон сохранения энергии? Вначале она была чисто кинетическая $\dfrac{m v^2}{2}$, потом она перейдет во внутреннюю из-за трения ($A=m g \mu s$, где $s$ - путь, пройденный шайбой по доске, из него потом можно время получить) и кинетическую энергию системы шайба-доска ($\dfrac{(m+M)v_1^2}{2}$, где $v_1$ - скорость системы шайба-доска после остановки шайбы).

p.s. это правда из ЕГЭ? По-моему на олимпиадную тянет.

-- Пн июн 15, 2009 20:05:01 --

Нашел подобную задачу с решением: http://fiz.1september.ru/articlef.php?ID=200701903

[arseniiv]

Вот что сказала Mathematica: $t = \frac{{mv_0^2 - v^2 (M + m)}}{{\mu mgv_0 }}$
А уместно ли находить $v$ через закон сохранения импульса? Думаю, нет. Тогда что же делать?

-- Пн июн 15, 2009 22:22:12 --

meduza в сообщении #222275 писал(а):

p.s. это правда из ЕГЭ? По-моему на олимпиадную тянет.

То ж C!
Сейчас посмотрю ссылку

[meduza]

arseniiv в сообщении #222294 писал(а):

А уместно ли находить $v$ через закон сохранения импульса?

Теоретически можно, но стоит обязательно учитывать импульс силы трения $F_{\text{тр}} t = m g \mu t$ ($t$ - время действия силы, т.е. время до остановки шайбы), иначе закон не выполнится.

[arseniiv]

Не пойму, как можно использовать сохранение импульса, когда при трении часть импульса уходит к молекулам в результате трения. Только закон сохранения энергии можно.


А, вот вы и ответили! Точно, есть же ещё и импульс силы, как я забыл

-- Пн июн 15, 2009 22:38:28 --

Сейчас так и посчитаю

-- Пн июн 15, 2009 22:45:20 --

Нет решений у системы из законов сохранения импульса и энергии при таких уравнениях...

[meduza]

Вообще, если толчок по шайбе будет слабый, и скорость $v$ будет меньше какого-то значения (возможно численные данные задачи подобраны именно так) , то (из-за нулевого трения между доской и плоскостью) система шайба-доска будет двигаться как одно тело массой $(m+M)$. В этом случае рассчет тривиален, как для одного тела. Иначе говоря, если сила трения между шайбой и доской будет достаточна, чтобы "сцепить" оба тела и инерционность доски не смогла бы "разорвать" их. Учитывая, что это ЕГЭшая задача, то вся сложность связана именно с тем, чтобы, зная массы, $\mu$ и начальную $v$, рассчитать, "сцепятся" тела или нет. Это универсальная задача: можно давать на ЕГЭ (в этом случае тела сцепяться и рассчет элементарный), или на олимпиаду (тогда они не сцепяться и там уже надо глубоко ковырять).

[arseniiv]

Нет-нет, шайба сразу двигалась с $v$ относительно доски, так что не сцепятся. В общем, плоховато это всё тем, что решения не видел. Люди решают, а потом даже не могут понять, что именно неправильно сделали. А тогда в чём цель такого образования?

[meduza]

arseniiv в сообщении #222335 писал(а):

Нет-нет, шайба сразу двигалась с $v$ относительно доски, так что не сцепятся.

Ой, точно, в условии уже дано, что шайба движется относительно доски. В предыдущем моем посте также не верно и то, что сцепяться тела или нет зависит не от скорости $v$, а от силы толчка.

arseniiv в сообщении #222335 писал(а):

Люди решают, а потом даже не могут понять, что именно неправильно сделали. А тогда в чём цель такого образования?

ЕГЭ - ошибка системы образования. И не из-за системы тестов как таковой (что плохо только для гум. предметов), а из-за того, что составляют их идиоты, не педагоги.

[MGM]

Три уравнения с тремя неизвестными:
$\[ \left\{ \begin{gathered} v\left( t \right) = V\left( t \right); \hfill \\ \mu gt = v\left( 0 \right) - v\left( t \right); \hfill \\ \frac{{\mu gmt}} {M} = V\left( t \right); \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$

Вперёд и с песней.
...........
Скуки ради сам решил,
а приблизительное решение
совпадает с обычным случаемтрения на плоскости.
$\[ t = v\left( 0 \right)\frac{M} {{\mu g\left( {m + M} \right)}} \approx \frac{{v_0 }} {{\mu g}}\mathop \to \limits_{\mu \to 0} \infty ; \]$

[arseniiv]

А что за скорость $V(t)$? Это скорость чего, доски вместе с шайбой? Но тогда она не равна $v(t)$

[meduza]

MGM
$\frac{\mu gt}{m} = v(0) - v(t)$ --- "интересное" уравнение: во-первых, непонятно что значит, а во-вторых, даже по размерностям не сходится, слева $\left[\frac{\text{м}}{\text{c}\cdot\text{кг}}\right]$, а справа $\left[\frac{\text{м}}{\text{c}}\right]$. Третье уравнение из той же серии. В первом непонятно, что такое $V$.

-- Вт июн 16, 2009 16:48:53 --

Я пробую все также через законы сохранения (нам еще в универе препод по электродинамике говорил: "любую геометрическую задачу можно решить через векторы, а любую механическую - через законы сохранения" ):

$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{m v_0^2}{2}=m g \mu s + \frac{(m+M)v_1^2}{2},\\ m v_0 = (m+M)v_1 + m g \mu t. \end{array} \right $$

Первое ур-е -- з. с. энергии (кинетеческая энергия шайбы идет на работу силы трения и на кин. энергию системы шайбы-доски, после остановки шайбы относительно доски). Второе -- з. с. импульса (учтен импульс силы трения). $s$ и $t$ - соответственно путь и время до остановки шайбы (относительно доски). $v_1$ - скорость шайбы-доски как единого тела, после остановки шайбы. Получается 2 линейно-независимых уравнения, 3 неизвестные ($s$, $t$, $v_1$), но $s$ и $t$ как-то связаны между собой (пока только не соображу как), если найти уравнение, их связывающее, то останется 2 неизвестные и система доолжна решиться.

[arseniiv]

Вообще, кинематически $ s = v_0 t - 0.5\mu gt^2 $
Сейчас попробую подставить...

-- Вт июн 16, 2009 20:29:13 --

Если использовать мою формулу для $ s $, система не имеет решений. Без неё вот что: $ t = \frac{{mv_0 - (M + m)v_1 }}{{\mu mg}} $

[meduza]

arseniiv в сообщении #222588 писал(а):

Вообще, кинематически $ s = v_0 t - 0.5\mu gt^2 $

Еще надо учитывать силу инерции, вызванную ускорением доски! Ведь изначально доска покоится, а в конце движется со скоростью $v_1$. Поэтому к ускорению, вызванному трением ($\mu g$) надо добавить ускорение доски $a = \frac{\Delta v}{t} = -\frac{v_1}{t}$. Т.е. $s = v_0 t - \frac{(\mu g + v_1/t) t^2}{2}$. Все, теперь 2 ур-я и 2 неизвестных ($v1$ и $t$). Щас в maxima загоню.

[MGM]

arseniiv в сообщении #222544 писал(а):

А что за скорость $V(t)$? Это скорость чего, доски вместе с шайбой? Но тогда она не равна $v(t)$

Я исправил свой пост, там вместо силы $gm$ везде фигурировало
ускорение $g$
Но не суть.

$V$- это скорость доски.
Всё предельно просто. Никакой термодинамики и энергии на разогрев материи.

Второй? вроде закон Ньютона утверждает, что сила действия равна силе противодействия.
Сила там простая и взята из вот этого источника мудрости
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1% ... 0%B8%D1%8F
$ \[ {\mu gm} \]$, а следовательно ждём когда скорость доски сравняется со скоростью гайки.
$\[ v\left( t \right) = V\left( t \right) \]$
Второе уравнение ещё проще $\[ \mu gt = v\left( 0 \right) - v\left( t \right); \]$, и утверждает лишь, что к времени отановки изменение этой скорости пропорционально ускорению и времени.

Третье уравнение копия второго. Только ускорение несколько другое при раветсве сил.

[meduza]

meduza в сообщении #222594 писал(а):

Щас в maxima загоню.

maxima не решила Вручную неохота решать.

MGM
Действительно, так проще