Что есть "звезда множества" по Александрову?

[sasha_vertreter]

Помогите понять, пожалуйста.
В книге Александрова "Введение в теорию множеств и общую топологию" есть понятие "звезда" множества E относительно семейства $\sigma$.

Если E-произвольное подмножество множества X, то $\sigma_E$- подсемейство семейства $\sigma$, состоящее из всех элементов этого семейства, пересекающихся с E. Тогда множество, являющееся телом этого подсемейства и есть "звезда" множества Е.

Меня интересует пример "звезды" для какого-нибудь множества Е.

Вот как я думаю:

Пусть X - все целые числа. Пусть М - все подмножества этого множества (т.е. M1,M2, M3). Тогда $\sigma$- cемейство подмножеств М, т.е. $\sigma=\{M\}$.
Объединение всех M - назовем телом семейства $\tilde\sigma$.

Теперь выделим из X множество E - четные числа. Тогда $\sigma_E$- будет семейство множеств, которые состоят из пересечения E c каждым из М:
($M1\cap E$, $M2\cap E$,$M2\cap E$ и т.д. - правильно?).
Скажем, если M1 все положительные числа, то пересечение даст {2,4,6....}, а если M2 все отрицательные числа и 0, то пересечение даст {-2,-4,-6....}.

Объединение всех таких $\sigma_E$ множеств даст тело семейства $\tilda\sigma_E$. И именно это и будет искомая "звезда" множества E.

Но объединение даст нам опять множество E. Получается, что звезда равно самому множеству?

Может дело в том, что объединение подмножеств М должно быть собственным подмножеством X? Тогда звезда будет также собственным подмножеством множества E?...

Спасибо!

[Виктор Викторов]

sasha_vertreter в сообщении #221576 писал(а):

Помогите понять, пожалуйста.
В книге Александрова "Введение в теорию множеств и общую топологию" есть понятие "звезда" множества E относительно семейства $\sigma$.

Если E-произвольное подмножество множества X, то $\sigma_E$- подсемейство семейства $\sigma$, состоящее из всех элементов этого семейства, пересекающихся с E. Тогда множество, являющееся телом этого подсемейства и есть "звезда" множества Е.

Добавим, что Александров называет телом семейства множеств объединение всех множеств семейства.

sasha_vertreter в сообщении #221576 писал(а):

Меня интересует пример "звезды" для какого-нибудь множества Е.

Вот как я думаю:

Пусть X - все целые числа. Пусть М - все подмножества этого множества (т.е. M1,M2, M3). Тогда $\sigma$- cемейство подмножеств М, т.е. $\sigma=\{M\}$.
Объединение всех M - назовем телом семейства $\tilde\sigma$.

Теперь выделим из X множество E - четные числа. Тогда $\sigma_E$- будет семейство множеств, которые состоят из пересечения E c каждым из М:

Нет. Не так. $\sigma_E$ - это подсемейство всех множеств из M, пересекающихся с E.

[sasha_vertreter]

Спасибо!!! А Вы не могли бы привести пример "звезды" для моего множества E? (в каком-нибудь виде, может быть часть его?)

А есть ли в английском эквивалент понятию "звезда"?

[Виктор Викторов]

Давайте наоборот. Вы сообразите, какое множество является звездой множества чётных чисел относительно семейства всех подмножеств множества целых чисел.

[sasha_vertreter]

Согласен, тогда можно маленькую подсказку. Вот такое изображение для "звезды" верно (зеленая часть)?

[Виктор Викторов]

sasha_vertreter в сообщении #221583 писал(а):

А есть ли в английском эквивалент понятию "звезда"?

Согласно Энгелькингу это "star".

-- Пт июн 12, 2009 17:39:29 --

sasha_vertreter в сообщении #221596 писал(а):

Согласен, тогда можно маленькую подсказку. Вот такое изображение для "звезды" верно (зеленая часть)?

Нет. Ведь тело семейства это..., а звезда это тело...

[sasha_vertreter]

Буду думать, спасибо!

-- Пт июн 12, 2009 17:56:41 --

Надеюсь, сейчас будет правильно:
.

Другими словами, "звезда" это просто объединение (тело) всех подмножеств множества Х, такие, что они имеют пересечения с нашим множеством E.

Получается, для четных целых, такими подмножествами, образующими звезду, могут быть
M1 - все положительный числа
M2 - все отрицательные числа
(а вот M3={0} не будет в звезде множества E).

Пожалуйста, киньте в меня чем-нибудь тяжелым, если и в этот раз я не прав!!!

[Виктор Викторов]

sasha_vertreter в сообщении #221605 писал(а):

Другими словами, "звезда" это просто объединение (тело) всех подмножеств множества Х, такие, что они имеют пересечения с нашим множеством E.

В Вашем случае речь идёт о звезде чётных чисел (множество) относительно множества всех подмножеств целых чисел (то семейство относительно, которого).

sasha_vertreter в сообщении #221605 писал(а):

Получается, для четных целых, такими подмножествами, образующими звезду, могут быть
M1 - все положительный числа
M2 - все отрицательные числа
(а вот M3={0} не будет в звезде множества E).

Эта фраза показывает, что Вы ничего не поняли. Прекратите рисовать, и давайте подумаем.

sasha_vertreter в сообщении #221605 писал(а):

Другими словами, "звезда" это просто объединение.

Т. е. это множество.
Вот Вам вопросы:
1. Является ли само множество четных целых подмножеством Вашей звезды?
2. Является ли множество {1, 2} подмножеством Вашей звезды?

[sasha_vertreter]

... да, грустно.
Я думаю
1. Да, является (так как множество четных целых конечно же пересекается с E)
2. Да, является (так как такое множество пересекается с E (по элементу 2))

Верно?

То есть в этом случае получается, что звезда множества четных целых - это множество, получающееся объединением любых подмножеств целых чисел, таких, которые содержат "внутри себя" четное(ые) числа (понятно, что и само множество четных есть подмножество звезды)?

[Виктор Викторов]

sasha_vertreter в сообщении #221703 писал(а):

... да, грустно.

Нет. Не грустно. Это и есть процесс понимания.

sasha_vertreter в сообщении #221703 писал(а):

Я думаю
1. Да, является (так как множество четных целых конечно же пересекается с E)
2. Да, является (так как такое множество пересекается с E (по элементу 2))

Верно?

Верно!

sasha_vertreter в сообщении #221703 писал(а):

То есть в этом случае получается, что звезда множества четных целых - это множество, получающееся объединением любых подмножеств целых чисел, таких, которые содержат "внутри себя" четное(ые) числа (понятно, что и само множество четных есть подмножество звезды)?

Да. Но только не любых, а всех!
Дайте мне ответ и я Вам открою один секрет.

[sasha_vertreter]

Так, ну хоть где-то получилось верно...

Ответ... объединение всехподмножеств целых чисел, содержащих четные это множество всех целых чисел минус 0 и нечетные? (наверно не может быть все так просто...)

[Виктор Викторов]

sasha_vertreter в сообщении #221708 писал(а):

Ответ... объединение всех подмножеств целых чисел, содержащих четные это множество всех целых чисел минус 0 и нечетные? (наверно не может быть все так просто...)

Почему минус? Ещё вопросы:
1. Во-первых, как быть с чётностью нуля? Нуль делится без остатка на два или нет?
2. Является ли множество четных целых в объединении с множеством {-1, 1, 5} подмножеством Вашей звезды?

[sasha_vertreter]

да, неверно, то же подмножество, которое Вы привели во втором вопросе - оно же является подмножеством звезды...

1. да, да конечно - то есть он тоже входит в звезду
2. да, да и это тоже верно...

получается все целые числа и есть звезда...?????

[Виктор Викторов]

sasha_vertreter в сообщении #221712 писал(а):

получается все целые числа и есть звезда...?????

Правильно!!

А теперь не по Александрову, а по Энгелькингу. (Так проще понять).
Пусть дано множество X и его покрытие семейство A. Надеюсь, Вы помните, что покрытие это совокупность подмножеств X, объединение которых является надмножеством для X.
Так вот звезда множества М подмножества X относительно этого покрытия это объединение всех надмножеств М из этого покрытия.

[sasha_vertreter]

Да, все правильно. Думаю, что я понял, но я еще подумаю...

Спасибо огромное за терпение!!!

-- Пт июн 12, 2009 19:54:16 --

А можно,пожалуйста, еще один вопрос?
В нашем примере получилось, что покрытие Х есть само Х (целые числа) - верно? То есть надмножество Х также Х. А значит и объединение всех надмножеств М из этого покрытия дает Х.

А есть ли пример, когда звезда множества М, подмножества Х, была бы не равна Х? Или, так,чтобы надмножество Х не совпадало с Х?