дифф. уравнение [ f(y',y")=0 ]

[yzhastik]

собственно вот оно:
$y''=\left(1+(y')^2\right)^{\frac 3 2}$

никак не удается решить:
делаю замену $y'=z \Rightarrow y''=z'z$
ну и потом нахожу $y'=\left(\frac 1 {C_1 - y}\right)^2-1$
а из этого интеграл не берется никак

заранее спасибо!

[AKM]

yzhastik в сообщении #220879 писал(а):

$y'=z \Rightarrow y''=z'z$

Разве?

[yzhastik]

кхм... эм, а как тогда?

[TOTAL]

yzhastik в сообщении #220884 писал(а):

кхм... эм, а как тогда?

Решите уравнение $y{''}=y{'}$ с помощью той же замены.

[ewert]

yzhastik в сообщении #220879 писал(а):

ну и потом нахожу $y'=\left(\frac 1 {C_1 - y}\right)^2-1$
а из этого интеграл не берется никак

Во-первых, это пока ещё не интеграл, а уравнение с разделяющимися переменными, вот и разделяйте (интеграл там получится хоть и немного противненький, но вполне берущийся). Во-вторых, Вы в самом конце забыли извлечь квадратный корень. В-третьих, ваши действия намекают на то, что решали Вы не то уравнение, что в самом начале, а $y''=\left(1+y^2\right)^{\frac 3 2}.$ Если же всёж-таки именно $y''=\left(1+(y')^2\right)^{\frac 3 2},$ то замену надо делать вовсе не $y'(x)=z(y)$ (как у Вас подразумевалось), а $y'(x)=z(x),$ и тогда просто $y''(x)=z'(x).$

В общем, выбирайте.

[Алексей К.]

yzhastik в сообщении #220879 писал(а):

собственно вот оно:
$y''=\left(1+(y')^2\right)^{\frac 3 2}$

Кстати, если именно это условие, то решение легко угадывается: кривая постоянной единичной кривизны, нижняя половинка от $(y-C_2)^2+(x-C_1)^2=1$, т.е. $y(x)=C_2-\sqrt{1-(x-C_1)^2}$.

[nn910]

AKM в сообщении #220881 писал(а):

yzhastik в сообщении #220879 писал(а):

$y'=z \Rightarrow y''=z'z$

Разве?

Да. (Считаем z функцией от y)

[ewert]

Нет. Не считаем, если версия уравнения -- именно оригинальная.

[Алексей К.]

nn910 в сообщении #220908 писал(а):

Да. (Считаем z функцией от y)

Такие вещи необходимо явно указывать. Тем более, что для приведённого условия такой способ понижения порядка неадекватен.

[nn910]

Алексей К. в сообщении #220911 писал(а):

nn910 в сообщении #220908 писал(а):

Да. (Считаем z функцией от y)

Такие вещи необходимо явно указывать. Тем более, что для приведённого условия такой способ понижения порядка неадекватен.

Я решал так только пока в спешке проверка не сошлась А кто знает ответ?Вижу:кривая постоянной единичной кривизны, нижняя половинка от , т.е. .нашел ошибку в своем.Простое решение,все правы о чем вопросСеть тормозит