Что такое число?

[ewert]

luitzen в сообщении #220754 писал(а):

Я-то надеялся, что обозвать что-то числом нам велит (или не велит) не только традиция (или две с половиной традиции), но и какая-нибудь языковая интуиция, что ли.

Ну да, интуиция нам велит трактовать числа просто как точки на прямой (поскольку с прямыми не только мы, но и кошки с лягушками, к примеру, повседневно сталкиваемся). Алгебраическая же традиция -- как решения неких уравнений. Вот так где-то в промежутке между традициями и интуициями и рожаются нетленные истины.

[докер]

Ну, по другому может? Число это: информация, характеристика, противовес, стабилизатор, ребро, источник, магнит,......, хоть что-то конкретное напишите.

[ewert]

Дык я ж написал. Кошка. Кто может быть конкретнее кошки?...

[докер]

Конкретнее кошки может быть только козел! Ну и хватит на этом, большое спасибо тем, кто нашел в себе силы не скоморошничать! Беспокоить ваш покой более не стану!

[ewert]

BVR в сообщении #220737 писал(а):

А вообще число - это набор цифр.

Вовсе нет. Числа определяются своими свойствами (сиречь аксиомами, и даже неважно, сформулированными ли явно или всего лишь подразумеваемыми). Набор же цифр -- всего лишь название того или иного числа, и опять же не важно, в каком алфавите.

[BVR]

ewert

Цитата:

Числа определяются своими свойствами

Это числовая система определяется свойствами, ну, или аксиомами. А число - это слово некоторого алфавита. "Кошка" - число, записанное в специфическом алфавите. А когда мы говорим кошка и подразумеваем под этим животное - то это результат (элемент) интерпретации этого числа.
Я думаю, что спрашивая "что такое число?", надо понять о чём идёт речь: об элементе какой-то алгебраической структуры или о слове в каком-то алфавите. Вот как-то так...

-- Вт июн 09, 2009 15:03:46 --

luitzen писал(а):

BVR, кажется, употребляет слово «расширение» довольно неформально.

Согласен с замечанием. Правильнее было бы сказать что-то типа "обобщение"

[ewert]

BVR в сообщении #220893 писал(а):

Это числовая система определяется свойствами, ну, или аксиомами. А число - это слово некоторого алфавита.

С первым согласен, со вторым -- нет. Число -- это инвариант относительно любых алфавитов.

[Xaositect]

BVR в сообщении #220893 писал(а):

Это числовая система определяется свойствами, ну, или аксиомами. А число - это слово некоторого алфавита. "Кошка" - число, записанное в специфическом алфавите. А когда мы говорим кошка и подразумеваем под этим животное - то это результат (элемент) интерпретации этого числа.
Я думаю, что спрашивая "что такое число?", надо понять о чём идёт речь: об элементе какой-то алгебраической структуры или о слове в каком-то алфавите. Вот как-то так...

Скорее все-таки наоборот.
Число - это элемент некоторой алгебры. А слово - это запись числа.
Тем более, что число может иметь несколько записей. Слова разные, а число одно и то же.

[AD]

Xaositect в сообщении #220906 писал(а):

Слова разные, а число одно и то же.

Но часто бывает и так, что "предмет есть, а слова нету" ©

[Xaositect]

AD в сообщении #220930 писал(а):

Но часто бывает и так, что "предмет есть, а слова нету" ©

Кстати да.
Действительных чисел же континуум.
А слов счетное число.
А бесконечные "слова" это уже не так просто.

[BVR]

А вычет - это число? Вот написано: 1 или 13. Это число? А если это элемент какой-нибудь группы вычетов?

[AD]

Xaositect в сообщении #220612 писал(а):

Mixo123 в сообщении #220610 писал(а):

ewert, а $x^2=2$? Ответом же будет $\pm\sqrt{2}$.
Но тогда получается, что вроде как и для уравнений $\mathbb{R}$ тоже нужны.
Или Вы про историческое появление?

Для этого достаточно не всего $\mathbb{R}$, а $\mathbb{A}$ - поля алгебраических чисел.
В $\mathbb{R}$, помимо решения уравнений, еще можно брать пределы.

Ну есть еще там всякие уравнения вида $xe^x=1$. Но они в предыдущих полях не формулируются даже.

Так что давайте так вопрос поставим: Бывает ли такая аналитическая функция $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, что $f(\mathbb{A})\subset\mathbb{A}$, но тем не менее $\varnothing\neq f^{-1}(a)\subset\mathbb{R}\setminus\mathbb{A}$ для некоторого $a\in\mathbb{A}$? Ну или с заменой $\mathbb{A}$ на $\mathbb{Q}$. (Подозреваю, что вопрос очень простой.) Может быть, так удастся оправдать введение $\mathbb{R}$?
_________________

-- Вт июн 09, 2009 15:34:06 --

А вообще давно пора прибить где-нибудь тему про "что такое число". Ну насочинять что-нибудь идеологически верное - и куда-нибудь в "математические формулы". А?

-- Вт июн 09, 2009 15:36:03 --

Кстати, вот предыдущая тема на эту тему:
topic19034.html

[Xaositect]

BVR в сообщении #220933 писал(а):

А вычет - это число?

Не знаю, вряд ли.

Цитата:

Вот написано: 1 или 13. Это число?

Это слово. Значки. А то, что они значат - это число(если они действительно значат в данном контексте число)

Цитата:

А если это элемент какой-нибудь группы вычетов?

То это вычет.

[BVR]

В 5-м томе Математической энциклопедии есть интересная статья про числа и там потом идут ссылки на другие статьи про всякие штуки, которые тоже называют числами. Но все они, похоже, возникли для описания каких-то величин (в широком смысле).

[luitzen]

Что-то никто не упомянул про ещё одно направление (способ) обобщения (построения) — про тот, который ведёт к трансфинитным числам .

Вот, кстати, старинная и недочитанная мной книжка. Автор всячески издевается над другими авторами, рассказывающими о рисовании палочек и пр.