Что такое число?

[ewert]

Nxx в сообщении #221635 писал(а):

Есть понятие предела. Это понятие не требует введения вещественных чисел.

Понятие предела -- есть. А вот его существования -- нет. Значит, нет и уравнения, поскольку в нём используется несуществующий пока объект.

[Nxx]

ewert в сообщении #221638 писал(а):

Nxx в сообщении #221635 писал(а):

Есть понятие предела. Это понятие не требует введения вещественных чисел.

Понятие предела -- есть. А вот его существования -- нет. Значит, нет и уравнения, поскольку в нём используется несуществующий пока объект.

Точнее, нет такого алгебраического х, при подстановке которого в уравнение, мы бы получили тождество.

Предел вполне существует для определенных х, но не равнен х, то есть, уравнение не соблюдается.

[ewert]

Nxx в сообщении #221639 писал(а):

Точнее, нет такого алгебраического х, при подстановке которого в уравнение, мы бы получили тождество.

Да поймите же, некуда пока подставлять. Поскольку существование правой части не доказано и не может быть доказано в принципе -- пока вещественные числа ещё не определены.

Nxx в сообщении #221639 писал(а):

Предел вполне существует для определенных х,

В рамках рациональных или хотя бы алгебраических чисел предел существует только для одного икса -- нулевого. И всё.

[Nxx]

ewert в сообщении #221644 писал(а):

Nxx в сообщении #221639 писал(а):

Точнее, нет такого алгебраического х, при подстановке которого в уравнение, мы бы получили тождество.

Да поймите же, некуда пока подставлять. Поскольку существование правой части не доказано и не может быть доказано в принципе -- пока вещественные числа ещё не определены.

Почему же? Если например, х=0, то правая часть вполне существует и это элементарно доказывается. Правда, она не равна левой части.

-- Пт июн 12, 2009 19:21:29 --

Цитата:

В рамках рациональных или хотя бы алгебраических чисел предел существует только для одного икса -- нулевого. И всё.

Верно. И, соответственно, уравнение не имеет решения.

[Виктор Викторов]

Nxx в сообщении #221635 писал(а):

Есть понятие предела предела последовательности. Это понятие не требует введения вещественных чисел.

Осторожно!!! В определении предела последовательности участвует открытое множество вещественной прямой. Помните там ε>0? Так вот это ε вещественное и интервал вещественных чисел.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #221681 писал(а):

В определении предела последовательности участвует открытое множество вещественной прямой. Помните там ε>0? Так вот это ε вещественное и интервал вещественных чисел

Нет, это не так. Эпсилон при определении предела берётся из ровно того множества чисел, которые есть на тот момент. И если на тот момент, скажем, есть только рациональные -- то и эпсилон подразумевается рациональным.

-- Пт июн 12, 2009 21:30:15 --

Nxx в сообщении #221645 писал(а):

Верно. И, соответственно, уравнение не имеет решения.

Т.е. Вы, собственно, задали область определения уравнения из ровно одного числа. И пытаетесь это уравнение на этом одноточечном множестве решить. Нет, запретить-то Вам никто не вправе; красиво жить не запретишь. Но -- оригинально.

[Nxx]

Виктор Викторов в сообщении #221681 писал(а):

Nxx в сообщении #221635 писал(а):

Есть понятие предела предела последовательности. Это понятие не требует введения вещественных чисел.

Осторожно!!! В определении предела последовательности участвует открытое множество вещественной прямой. Помните там ε>0? Так вот это ε вещественное и интервал вещественных чисел.

Не надо говорить ерунду. Вещественные числа определяются как множество пределов последовательностей рациональных чисел.

-- Пт июн 12, 2009 21:38:40 --

Цитата:

Т.е. Вы, собственно, задали область определения уравнения из ровно одного числа. И пытаетесь это уравнение на этом одноточечном множестве решить. Нет, запретить-то Вам никто не вправе; красиво жить не запретишь. Но -- оригинально.

Так и нет решения. Но если ввести вещественные числа, то решение будет. Также как с уравнением $x^2+1=0$. На множестве действительных чисел решения нет, но если ввести комплексные, то решение будет.

[ewert]

Nxx в сообщении #221685 писал(а):

Но если ввести вещественные числа, то решение будет. Также как с уравнением $x^2+1=0$.

Не так же. Это уравнение сформулировано и имеет смысл (что, конечно, не означает решение) в рамках уже имеющихся чисел -- целых. Ваше же уравнение с рядом решительно никакого смысла не имеет, если предполагать существование только рациональных чисел.

-- Пт июн 12, 2009 21:54:51 --

Nxx в сообщении #221685 писал(а):

Вещественные числа определяются как множество пределов последовательностей рациональных чисел.

Между прочим, это, говоря формально -- тоже неверно (хоть и верно по существу). Т.е. с формальной точки зрения это высказывание попросту бессмысленно.

[Nxx]

Цитата:

Не так же. Это уравнение сформулировано и имеет смысл (что, конечно, не означает решение) в рамках уже имеющихся чисел -- целых. Ваше же уравнение с рядом решительно никакого смысла не имеет, если предполагать существование только рациональных чисел.

Имеет смысл, но не имеет решения.

Впрочем, можно привести примеры и других уравнений, которые не имеют решений в алгебраических числах, но имеют в действительных.
Например, $x^x=5$
$2^x=100$

[ewert]

Nxx в сообщении #221690 писал(а):

Имеет смысл, но не имеет решения.

Не имеет смысла. Ибо правая часть в рациональных числах нетривиально не определена. И, значит -- уравнения нет.

[Nxx]

ewert в сообщении #221692 писал(а):

Nxx в сообщении #221690 писал(а):

Имеет смысл, но не имеет решения.

Не имеет смысла. Ибо правая часть в рациональных числах нетривиально не определена. И, значит -- уравнения нет.

Зато тривиально определена. Значит, уравнение есть.

[ewert]

Nxx в сообщении #221690 писал(а):

Впрочем, можно привести примеры и других уравнений, которые не имеют решений в алгебраических числах, но имеют в действительных.
Например, $x^x=5$.

Это уже ближе к телу. Но дело всё в том, что нельзя привести для вещественных чисел (в отличие от тех же алгебраических или комплексных) исчерпывающего списка уравнений, которыми они бы формально и определялись бы.

[Nxx]

Вот пожалуйста, это уравнение нетривиально определено, но не имеет алгебраических корней.

$$x =\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n ({\frac{\pi}{2}x})^{2n}}{(2n)!}$$

[ewert]

Nxx в сообщении #221695 писал(а):

Вот пожалуйста, это уравнение нетривиально определено, но не имеет алгебраических корней.

$$x =\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n ({\frac{\pi}{2}x})^{2n}}{(2n)!}$$

Оно совсем уж никак не определено, ибо никакого "пи" пока что нет.

[Nxx]

Цитата:

Это уже ближе к телу. Но дело всё в том, что нельзя привести для вещественных чисел (в отличие от тех же алгебраических или комплексных) исчерпывающего списка уравнений, которыми они бы формально и определялись бы.

Любое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел, а значит, корнем уравнения, содержащего предельный переход.

-- Пт июн 12, 2009 22:15:35 --

Грубо говоря, множество вещественных чисел - замыкание множества рациональных чисел относительно операции предельного перехода.