Определение числа

[Евгеша]

Всем доброго времени суток!
У меня возник такой вопрос:

Какое общее определение числа в математике?

Может я плохо искал, но нигде в интернете не нашел. Знаю, что это отображение, а вот откуда куда сообразить не могу.
Помогите, пожалуйста. Заранее спасибо.

[ShMaxG]

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE

[Евгеша]

ShMaxG
В википедии я в первую очередь смотрел. Там не то.
Мне нужно чисто математическое определение числа.

[AD]

В википедии коряво достаточно написано, согласен. Но эти определения обычно даются на первом курсе математических факультетов, поэтому можно брать, скажем, любой достаточно продвинутый и современный курс математического анализа - и там всё будет.

Определения "числа вообще" нету. Просто нет такого понятия. Есть только вон те пункты - "натуральное число", "целое число", ... , "действительное число", "комплексное число". У каждого - своё определение.

Определения можно давать разные - смотря насколько глубоко Вы хотите копнуть.

Например, так: множество_действительных_чисел (это одно слово такое, а не "множество "действительных чисел"", потому что понятие "действительное число" мы еще не определили) - это любое полное архимедово упорядоченное поле*. Можно доказать, что все такие поля изоморфны, и потому множество_действительных_чисел в известном смысле (с точностью до изоморфизма) единственно. Тогда мы зафиксируем какое-нибудь из этих одинаковых множеств - и назовем его элементы "действительными числами". И тогда будет тривиальная теорема: множество действительных чисел есть множество_действительных_чисел.

Однако большинство математиков этим определением не будут довольны, потому что не понятно, как доказывать существование множества_действительных_чисел. Поэтому берут какую-нибудь базовую аксиоматику (для большей части математики это будет аксиоматика Цермело-Френкеля теории множеств), и в ней строят "модель". То есть конкретное множество с операциями, являющееся полным архимедово упорядоченным полем. Одним из способов построения действительных чисел является модель бесконечных десятичных дробей - по рецепту, изучаемому в школе. Есть и другие, менее корявые - такие, как "дедекиндовы сечения", например.
_________________
* Что это означает - см. http://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиоматика_вещественных_чисел
(так, не хочет ссылку подсвечивать правильно ...)

[Евгеша]

Благодарю за развернутый ответ.
Я сам так считал до сегоднящнего дня. Но вот преподаватель, принимавший сегодня экзамен по геометрии у моего приятеля, другого мнения. Принимая его[приятеля] ответ, он задал вопрос: "Что такое число?", на что тот не смог сказать ничего более путного, чем написано в википедии, и в результате получил оценку на балл ниже. Преподаватель же потом объяснил приятелю, что число есть ни что иное, как отображение. А вот, что именно за отображение, приятель уже не помнит. Собственно, это и послужило причиной моего вопроса.

[ewert]

Евгеша в сообщении #175761 писал(а):

Преподаватель же потом объяснил приятелю, что число есть ни что иное, как отображение.

Ну и врёт этот преподаватель (ну или, как бы помягче... в общем, трендит). Число -- это аксиоматический объект, а никакое не отображение. А приятелю -- можно лишь посочувствовать.

[Алексей К.]

ewert, мне кажется, правильно --- трындит.

[ewert]

Спасибо; возможно, Вы и правы.

[AD]

Обычно число - это такое множество. Ну в том смысле, что в "обычной" теории множеств нет вообще ничего, кроме множеств. Возможно, в одной из моделей одного из множеств чисел эти множества случайно оказывается отображениями. Но этот ответ абсолютно бесполезен.

Добавлено спустя 33 минуты 52 секунды:

Евгеша в сообщении #175761 писал(а):

преподаватель, принимавший сегодня экзамен по геометрии у моего приятеля, другого мнения. Принимая его[приятеля] ответ, он задал вопрос: "Что такое число?", на что тот не смог сказать ничего более путного, чем написано в википедии, и в результате получил оценку на балл ниже.

ewert в сообщении #175763 писал(а):

Ну и врёт этот преподаватель (ну или, как бы помягче... в общем, трендит).

Вообще, я бы не стал исключать возможность того, что в том разговоре был какой-то контекст, которого Ваш приятель не заметил. И который бы делал вопрос осмысленным. Но я такого контекста с ходу представить себе не смог. Впрочем, видимо, неадекватные преподаватели существуют. Вот еще один похожий пример, если это Вас успокоит: http://dxdy.ru/topic18331.html

[Архипов]

ewert в сообщении #175763 писал(а):

Ну и врёт этот преподаватель (ну или, как бы помягче... в общем, трендит). Число -- это аксиоматический объект, а никакое не отображение. А приятелю -- можно лишь посочувствовать

AD в сообщении #175742 писал(а):

Определения "числа вообще" нету. Просто нет такого понятия. Есть только вон те пункты - "натуральное число", "целое число", ... , "действительное число", "комплексное число". У каждого - своё определение.

Что мы видим? Мы видим изображения количеств, то есть числа.
5432,35,_ 1001011, _ХХII, _ln 2, _sin 0,32, _1/7, 2*4, _ 65!, Судья в баскетболе показывает показывает три пальца

Что мы слышим? Мы слышим названия количеств, то есть числа.
Двести тридцать, Две трети. У него 7, а у меня на 56 больше. Я в пятый раз повторяю. "Фюнф унд драйсих"

Что мы воспринимаем? Мы воспринимаем знаки, отображающие количества, то есть числа

[ewert]

Архипов в сообщении #175805 писал(а):

Мы воспринимаем знаки, отображающие количества, то есть числа

Знаки -- не суть числа, и наоборот.

[smile]

у нас было определение действительных чисел, как упорядоченного поля с аксиомой непрерывности, натуральных и целых - как подмножеств действительных: минимального правоиндуктивного с единицей и минимального индуктивного подмножеств с нулем соответственно, рациональных - как отношений целого к натуральному, комплексных - как пар действительных.

[Taras]

читайте тут:
http://lib.mexmat.ru/books/464 - здесь меньше букофф -больше математики.

[Архипов]

ewert в сообщении #175816 писал(а):

Знаки -- не суть числа, и наоборот.

Согласен.
Знаки несуть числа, и наоборот.
Бох с ними...

[Sonic86]

ewert!
А почему числа не суть знаки??????
("суть" в смысле "равно" или в смысле "являются"?)