Что такое число?

[докер]

Какой бы абстрактной не была математика, у всего есть аналог, что такое число: точка, круг, шар, дыра, звазда, волна, энергия, решетка, пружина, спираль, труба, и п. п..

[Бодигрим]

докер в сообщении #220528 писал(а):

Какой бы абстрактной не была математика, у всего есть аналог

Очень спорное утверждение. Я бы сказал так: в реальном мире есть экземпляр математического объекта с достаточно близкими свойствами ("наследуемыми"?). Например, экземплярами отрезка (математического объекта) могут служить линейка, натянутая нить и т. п. Экземплярами натурального числа могут служить наборы однородных объектов заданного размера: яблок, груш, слив.

[Xaositect]

Натуральное число --- это набор камешков. Так у Пифагора было, по крайней мере. У него еще были квадратные числа (это если из такого количества камешков можно выложить квадрат), треугольные и т.п.

В последнее время наборы камешков уступают место наборам палочек на бумаге. Вот, скажем, в книге Марков А.А., Нагорный Н.М. — Теория алгорифмов:
"Ряды вертикальных черточек вроде нашего рисунка, включая и „пустой" ряд, в состав которого не входит ни одна черточка(его можно представить себе в виде чистого листа бумаги), мы будем называть натуральными числами."

[Mixo123]

Ну, в математике действительно есть некоторые аналоги "бытовой" жизни.

Как, например, возникли числа?
Люди отсчитывали первое яблоко, 2, 3, 4, 5 яблоко... Отсчитывали, в основном, визуально, на полуинтуитивном уровне.
Другие же подсчитывали, например, количество стрел, камней, наконечников, монет или чего-то иного.
И в этот момент кто-то умный догадался, что все явления количества можно привести к единой обобщённой модели - натуральным числам, которые годятся для подсчёта любых предметов (впрочем, только для подсчёта их "прибытия", но с недостачей так не получится). Так возникла одна из первых математических абстракций.
Вскоре появился и ноль, а затем и просто целые числа. Но люди поняли, что не всё можно измерить целыми.
Например, если мы имеем какое-то одно блюдо, принятое за единицу, то никаким образом мы не сможем выразить кусочек этого блюда как целое число.
Так появились рациональные числа и дроби, а после них, с развитием математики и из-за необходимости решать "нерешаемые" уравнения, возникло и множество действительных чисел. Ну и так далее.

Такая же история, как сказал Бодигрим, произошла и с геометрией - они (её основоположники) начали искать общее в пространственных явлениях нашего мира. Они придумали отрезки, который представляет собой любую ограниченную двумя точками линию (в общих чертах) и так далее. Бодигрим уже привёл примеры. Разумеется, людям хотелось некоторой точности, а потому геометрия сразу объединилась со "счётной" математикой, и начала выражать особенности и свойства пространства при помощи чисел, что дало серьёзный скачок к развитию, например, архитектуры.

Так что я бы не сказал, чтобы математика была слишком уж абстрактной - она имеет довольно чёткие связи с реальным миром.
Насколько мне известно, даже самые вроде бы абстрактные области математики применяются, например, в физике.
Дело лишь в том, что практическое их применение намного сложнее увидеть, так как оно не такое очевидное, как, например, у чисел, точек и отрезков.

Есть один любопытный момент - некоторые области математики возникают как обобщение других областей, что приводит к ещё большим непоняткам.

Лично я себе представляю всё это как-то так.

p.s.: извиняюсь за немного кривой язык и невозможность перепроверить написанное - у меня в гостях довольно активный знакомый, с ним за компьютером много не посидишь.

[Xaositect]

Mixo123 в сообщении #220558 писал(а):

Вскоре появился и ноль, а затем и просто целые числа. Но люди поняли, что не всё можно измерить целыми.
Например, если мы имеем какое-то одно блюдо, принятое за единицу, то никаким образом мы не сможем выразить кусочек этого блюда как целое число.
Так появились рациональные числа и дроби, а после них, с развитием математики и из-за необходимости решать "нерешаемые" уравнения, возникло и множество действительных чисел. Ну и так далее.

В реальности все было несколько сложнее.
Пифагорейцы (а до них - египтяне) знали натуральные(положительные целые) и положительные рациональные числа. Отрицательные числа у них не использовались, да и потом в др.-греческой математике тоже
Отрицательные числа использовались при расчетах в Индии, оттуда пришли к арабам.

А вот с иррациональными числами была целая история.
Пифагорейцы думали, что отношение любых отрезков можно представить рациональным числом. Когда удалось доказать, что диагональ и сторона квадрата таким образом не соотносятся, это стало у пифагорейцев страшной тайной. Пифагорейская математика вообще была мистическим учением.

-- Пн июн 08, 2009 08:22:33 --

Mixo123 в сообщении #220558 писал(а):

Разумеется, людям хотелось некоторой точности, а потому геометрия сразу объединилась со "счётной" математикой, и начала выражать особенности и свойства пространства при помощи чисел, что дало серьёзный скачок к развитию, например, архитектуры.

Было наоборот. Числовые соотношения греческие математики записывали с помощью геометрических построений, а арифметика после пифагорейцев развивалась в греции слабо. А вычисления стояли отдельно от математики - математика долгое время считалась чем-то мистическим, а потом была связана с философией, а практические вычисления считались делом ремесленников.
А вот алгебра, способы решения уравнений, идет от арабов (слово "алгебра" происходит от арабского слова, означающего "книга").

[AKM]

В.Н.Салий. "Математика и информатика". Возможно, Вам это будет интересно.

[Mixo123]

Xaositect, большое спасибо за информацию. Я и не претендовал на историческую точность - всего лишь моё скромное мнение.

[Xaositect]

Mixo123 в сообщении #220574 писал(а):

Xaositect, большое спасибо за информацию. Я и не претендовал на историческую точность - всего лишь моё скромное мнение.

Ну, для современного человека такая последовательность кажется более естественной. Часто в учебнках цепочку вложений числовых структур рисуют:
$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$
В такой последовательности их удобно строить.

[Mixo123]

$\mathbb{C}$ - что за числа? О_О

[Xaositect]

$\mathbb{C}$ - комплексные. В них можно решить уравнение $x^2 = -1$. Ну и вообще, любой многочлен выше нулевой степени имеет корень

[ewert]

Xaositect в сообщении #220576 писал(а):

В такой последовательности их удобно строить.

Вообще-то в такой последовательности они просто вкладываются. А вот строятся $\mathbb R$ и $\mathbb C$ в некотором смысле независимо друг от друга, во всяком случае, причины их появления -- совершенно разные.

А если дополнить цепочку до $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{A}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C},$ то $\mathbb R$ ещё резче выбивается из общей логики.

[Xaositect]

ewert в сообщении #220601 писал(а):

Вообще-то в такой последовательности они просто вкладываются. А вот строятся $\mathbb R$ и $\mathbb C$ в некотором смысле независимо друг от друга, во всяком случае, причины их появления -- совершенно разные.

Ну, классическое построение $\mathbb{C}$ делается все-таки на основе $\mathbb{R}$ - либо как $\mathbb{R}^2$ со специальным образом введенными операциями, либо как $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$

А вот с $\mathbb{R}$ действительно сложнее. Если через дедекиндовы сечения - то на основе $\mathbb{Q}$, но могут быть и другие варианты.

[ewert]

Стимулы разные. Каждый из переходов, вплоть до $\mathbb C,$ был обусловлен потребностью решать те или иные уравнения. А вот $\mathbb R$ -- никакими не уравнениями, а необходимостью полноты.

[Mixo123]

ewert, а $x^2=2$? Ответом же будет $\pm\sqrt{2}$.
Но тогда получается, что вроде как и для уравнений $\mathbb{R}$ тоже нужны.
Или Вы про историческое появление?

[Xaositect]

Mixo123 в сообщении #220610 писал(а):

ewert, а $x^2=2$? Ответом же будет $\pm\sqrt{2}$.
Но тогда получается, что вроде как и для уравнений $\mathbb{R}$ тоже нужны.
Или Вы про историческое появление?

Для этого достаточно не всего $\mathbb{R}$, а $\mathbb{A}$ - поля алгебраических чисел.
В $\mathbb{R}$, помимо решения уравнений, еще можно брать пределы.