Измеримость inf и sup измеримых функций

[.alexey]

Мне нужно решить следующую задачу:

Пусть функции $f_n(x), n = 1, 2, ...$ измеримы на E. Показать, что функции $\Phi (x)=\inf f_n(x), n \ge 1$, $\Psi (x)=\sup f_n(x), n \ge 1$ измеримы на E.

Правильно ли записать так соотношение E?

$$E(\Phi > a) = \bigcup\limits_{m = 1}^{\infty} \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} \bigcap\limits_{k = n}^{\infty} E(f_k > a + 1/m) (1)$$

и

$$E(\Psi > a) = \bigcup\limits_{m = 1}^{\infty} \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} \bigcup\limits_{k = n}^{\infty} E(f_k > a + 1/m) (2)$$

Если нет, то как? К сожалению нигде не могу найти именно верхний и нижний предел. Например, в учебнике Колмогорова и Фомина есть теорема о том, что предел последовательности измеримых функций измерим. И там используется формула, аналогичная формуле (1). Проблема в том, что там просто предел последовательности, а у меня в задаче инфинум и супремум.

[Gordmit]

Для $\Phi(x)=\inf\limits_n f_n(x)$, кажется, все будет еще проще, чем для предела: достаточно просто убрать условие "для всех достаточно больших k ...", т.е. "существует n, такое что при всех $k\geqslant n$ ...". Соответственно, не будет последнего пересечения по $k\geqslant n$, и останутся только два объединения:

$$\{\Phi(x)<c\}=\bigcup_{m=1}^\infty\bigcup_{n=1}^\infty\left\{f_n(x)<c-\frac{1}{m}\right\}$$

Попробуйте доказать эту формулу по аналогии с доказательством из Колмогорова-Фомина для предела.

Насчет функции $\Psi(x)$, наверное проще будет просто поменять знаки неравенств в другую сторону (при этом $\frac{1}{m}$, разумеется, нужно будет прибавлять, а не вычитать).

[RIP]

Gordmit в сообщении #219966 писал(а):

$$\{\Phi(x)<c\}=\bigcup_{m=1}^\infty\bigcup_{n=1}^\infty\left\{f_n(x)<c-\frac{1}{m}\right\}$$

Можно просто

$$\{\Phi(x)<c\}=\bigcup_{n=1}^\infty\left\{f_n(x)<c\right\}$$

[AD]

Gordmit в сообщении #219966 писал(а):

Для $\Phi(x)=\inf\limits_n f_n(x)$, кажется, все будет еще проще, чем для предела

А когда я это проходил, так и доказывали - сначала инфимум, потом нижний предел, потом предел. "Три тривиальности" ©