2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Измеримость inf и sup измеримых функций
Сообщение05.06.2009, 08:01 
Мне нужно решить следующую задачу:

Пусть функции $f_n(x), n = 1, 2, ...$ измеримы на E. Показать, что функции $\Phi (x)=\inf f_n(x), n \ge 1$, $\Psi (x)=\sup f_n(x), n \ge 1$ измеримы на E.

Правильно ли записать так соотношение E?
$$E(\Phi > a) = \bigcup\limits_{m = 1}^{\infty} \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} \bigcap\limits_{k = n}^{\infty} E(f_k > a + 1/m) (1)$$
и
$$E(\Psi > a) = \bigcup\limits_{m = 1}^{\infty} \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} \bigcup\limits_{k = n}^{\infty} E(f_k > a + 1/m) (2)$$
Если нет, то как? К сожалению нигде не могу найти именно верхний и нижний предел. Например, в учебнике Колмогорова и Фомина есть теорема о том, что предел последовательности измеримых функций измерим. И там используется формула, аналогичная формуле (1). Проблема в том, что там просто предел последовательности, а у меня в задаче инфинум и супремум.

 
 
 
 Re: Вопрос по теории функций.
Сообщение06.06.2009, 03:07 
Для $\Phi(x)=\inf\limits_n f_n(x)$, кажется, все будет еще проще, чем для предела: достаточно просто убрать условие "для всех достаточно больших k ...", т.е. "существует n, такое что при всех $k\geqslant n$ ...". Соответственно, не будет последнего пересечения по $k\geqslant n$, и останутся только два объединения:
$$\{\Phi(x)<c\}=\bigcup_{m=1}^\infty\bigcup_{n=1}^\infty\left\{f_n(x)<c-\frac{1}{m}\right\}$$
Попробуйте доказать эту формулу по аналогии с доказательством из Колмогорова-Фомина для предела.

Насчет функции $\Psi(x)$, наверное проще будет просто поменять знаки неравенств в другую сторону (при этом $\frac{1}{m}$, разумеется, нужно будет прибавлять, а не вычитать).

 
 
 
 Re: Вопрос по теории функций.
Сообщение06.06.2009, 12:38 
Аватара пользователя
Gordmit в сообщении #219966 писал(а):
$$\{\Phi(x)<c\}=\bigcup_{m=1}^\infty\bigcup_{n=1}^\infty\left\{f_n(x)<c-\frac{1}{m}\right\}$$
Можно просто
$$\{\Phi(x)<c\}=\bigcup_{n=1}^\infty\left\{f_n(x)<c\right\}$$

 
 
 
 Re: Вопрос по теории функций.
Сообщение06.06.2009, 13:16 
Gordmit в сообщении #219966 писал(а):
Для $\Phi(x)=\inf\limits_n f_n(x)$, кажется, все будет еще проще, чем для предела
А когда я это проходил, так и доказывали - сначала инфимум, потом нижний предел, потом предел. "Три тривиальности" ©

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group