задача по функану (теорема о проекции)

[g-a-m-m-a]

Пусть $H_1\subset H-$линейное замкнутое подпростраство гильбертова пространства $H.$ Показать, что

$$\forall x_0\in H\quad\exists!x_1\in H_1\,:\|x_1-x_0\|=\inf\limits_{y\in H_1}\|y-x_0\|$$

Вообще это теорема, но я что-то нигде не могу ее найти.

[ewert]

Это -- "теорема о проекции". Утверждающая фактически одновременно две вещи: 1) что любой элемент $x_0$ единственным образом раскладывается в сумму $x_1+x_2$, где $x_1\in H_1$ и $x_2\perp H_1$ и 2) что этот, и только этот элемент $x_1$ минимизирует расстояние от $x_0$ до $H_1$. А уж на какие утверждения и в каком порядке подразбивается эта теорема -- вопрос построения курса. Фактически наиболее естественным образом первое следует из второго.

[terminator-II]

g-a-m-m-a в сообщении #219579 писал(а):

Пусть $H_1\subset H-$линейное замкнутое подпростраство гильбертова пространства $H.$ Показать, что

$$\forall x_0\in H\quad\exists!x_1\in H_1\,:\|x_1-x_0\|=\inf\limits_{y\in H_1}\|y-x_0\|$$

Вообще это теорема, но я что-то нигде не могу ее найти.

пусть $\{y_k\}\subset H_1$ -- минимизирующая последовательность для $\|y-x_0\|$. тогда
$2\|x_0-y_n\|^2+2\|x_0-y_m\|^2=4\|x_0-(y_n+y_m)/2\|^2+\|y_n-y_m\|^2$
получается, что $y_k$ -- последовательность Коши

[g-a-m-m-a]

Спасибо, это стало понятным))
Еще такой вопрос: как доказать рефлексивность гильбертовых пространств?

[мат-ламер]

g-a-m-m-a. Попробуйте прикинуть, какой общий вид у линейнрго функционала в гильбертовом пространстве.

[ewert]

а называется всё это теоремой Рисса

[g-a-m-m-a]

ну да я с помощью нее и пробовал, но что-то ничего так и не получается

[terminator-II]

докажите что гильбертово пространство изометрично своему сопряженному (в действительном случае)

[ewert]

Почему только в вещественном-то?...

А изометричность -- это ровно и есть теорема Рисса, причём безо всяких переводов. Раз уж любой функционал представляется скалярным произведением, то и.

[id]

Ну может имеется ввиду что тот самый каноничный изоморфизм будет сопряженно-линейным...

[ewert]

ну имеется, конечно, так ведь это ж бантики...

[terminator-II]

id в сообщении #219854 писал(а):

Ну может имеется ввиду что тот самый каноничный изоморфизм будет сопряженно-линейным...

во-во

-- Fri Jun 05, 2009 17:41:34 --

ewert в сообщении #219859 писал(а):

так ведь это ж бантики...

"любил рядиться в женское платье. по разбирательстве оказалсяч девицей(с)"

[g-a-m-m-a]

Чесслово все равно не понятно((

[AGu]

Предлагаю набросок решения для вещественного случая.
(В комплексном случае возни чуть больше.)

Пусть $X$ -- гильбертово пространство над $\mathbb R$.
Для $x\in X$ определяем $x'\in X'$ формулой $x'(y)=\langle x,y\rangle$.
По теореме Рисса функция $x\mapsto x'$ является биекцией $X$ на $X'$.
Для $f\in X'$ определяем $x_f\in X$ так, что $(x_f)'=f$.
Для $x\in X$ определяем $x''\in X''$ формулой $x''(f)=f(x)$.
Для $\varphi\in X''$ определяем $f_\varphi\in X'$ формулой $f_\varphi(x)=\varphi(x')$.
Тогда $\varphi=(x_{f_\varphi})''$.

[ewert]

AGu в сообщении #220257 писал(а):

(В комплексном случае возни чуть больше.)

Какая возня-то?... Если $(\cdot,l)$ -- некий линейный функционал, то $(x,\cdot)$ -- функционал на функционалах. Рефлексивность означает лишь, что других функционалов нет, а это и есть дважды применённая теорема Рисса. Антилинейность изоморфизмов роли не играет, существенна лишь их изометричность. И, кстати, на выходе (для второго сопряжённого) изоморфизм будет буквально линейным.