2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 задача по функану (теорема о проекции)
Сообщение04.06.2009, 09:57 
Пусть $H_1\subset H-$линейное замкнутое подпростраство гильбертова пространства $H.$ Показать, что
$$\forall x_0\in H\quad\exists!x_1\in H_1\,:\|x_1-x_0\|=\inf\limits_{y\in H_1}\|y-x_0\|$$
Вообще это теорема, но я что-то нигде не могу ее найти.

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение04.06.2009, 10:07 
Это -- "теорема о проекции". Утверждающая фактически одновременно две вещи: 1) что любой элемент $x_0$ единственным образом раскладывается в сумму $x_1+x_2$, где $x_1\in H_1$ и $x_2\perp H_1$ и 2) что этот, и только этот элемент $x_1$ минимизирует расстояние от $x_0$ до $H_1$. А уж на какие утверждения и в каком порядке подразбивается эта теорема -- вопрос построения курса. Фактически наиболее естественным образом первое следует из второго.

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение04.06.2009, 13:08 
g-a-m-m-a в сообщении #219579 писал(а):
Пусть $H_1\subset H-$линейное замкнутое подпростраство гильбертова пространства $H.$ Показать, что
$$\forall x_0\in H\quad\exists!x_1\in H_1\,:\|x_1-x_0\|=\inf\limits_{y\in H_1}\|y-x_0\|$$
Вообще это теорема, но я что-то нигде не могу ее найти.

пусть $\{y_k\}\subset H_1$ -- минимизирующая последовательность для $\|y-x_0\|$. тогда
$2\|x_0-y_n\|^2+2\|x_0-y_m\|^2=4\|x_0-(y_n+y_m)/2\|^2+\|y_n-y_m\|^2$
получается, что $y_k$ -- последовательность Коши

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение04.06.2009, 14:56 
Спасибо, это стало понятным))
Еще такой вопрос: как доказать рефлексивность гильбертовых пространств?

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение04.06.2009, 15:28 
Аватара пользователя
g-a-m-m-a. Попробуйте прикинуть, какой общий вид у линейнрго функционала в гильбертовом пространстве.

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение04.06.2009, 18:25 
а называется всё это теоремой Рисса

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение05.06.2009, 09:38 
ну да я с помощью нее и пробовал, но что-то ничего так и не получается :roll:

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение05.06.2009, 14:14 
докажите что гильбертово пространство изометрично своему сопряженному (в действительном случае)

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение05.06.2009, 14:27 
Почему только в вещественном-то?...

А изометричность -- это ровно и есть теорема Рисса, причём безо всяких переводов. Раз уж любой функционал представляется скалярным произведением, то и.

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение05.06.2009, 16:03 
Ну может имеется ввиду что тот самый каноничный изоморфизм будет сопряженно-линейным...

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение05.06.2009, 16:38 
ну имеется, конечно, так ведь это ж бантики...

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение05.06.2009, 16:40 
id в сообщении #219854 писал(а):
Ну может имеется ввиду что тот самый каноничный изоморфизм будет сопряженно-линейным...

во-во :mrgreen:

-- Fri Jun 05, 2009 17:41:34 --

ewert в сообщении #219859 писал(а):
так ведь это ж бантики...

"любил рядиться в женское платье. по разбирательстве оказалсяч девицей(с)"

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение06.06.2009, 15:39 
Чесслово все равно не понятно((

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение07.06.2009, 10:02 
Предлагаю набросок решения для вещественного случая.
(В комплексном случае возни чуть больше.)

Пусть $X$ -- гильбертово пространство над $\mathbb R$.
Для $x\in X$ определяем $x'\in X'$ формулой $x'(y)=\langle x,y\rangle$.
По теореме Рисса функция $x\mapsto x'$ является биекцией $X$ на $X'$.
Для $f\in X'$ определяем $x_f\in X$ так, что $(x_f)'=f$.
Для $x\in X$ определяем $x''\in X''$ формулой $x''(f)=f(x)$.
Для $\varphi\in X''$ определяем $f_\varphi\in X'$ формулой $f_\varphi(x)=\varphi(x')$.
Тогда $\varphi=(x_{f_\varphi})''$.

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение07.06.2009, 10:29 
AGu в сообщении #220257 писал(а):
(В комплексном случае возни чуть больше.)

Какая возня-то?... Если $(\cdot,l)$ -- некий линейный функционал, то $(x,\cdot)$ -- функционал на функционалах. Рефлексивность означает лишь, что других функционалов нет, а это и есть дважды применённая теорема Рисса. Антилинейность изоморфизмов роли не играет, существенна лишь их изометричность. И, кстати, на выходе (для второго сопряжённого) изоморфизм будет буквально линейным.

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group