Кольца - задачи

[steph]

Здравствуйте! Помогите ,пожалуйста, с задачей. Как бы начал решать , но столкнулся с некоторыми неясностями , проверьте пожалуйста.

Являются ли кольца $Z \left[\sqrt{2}\right] $, $Z \left[\sqrt{-6}\right]$факториальными , кольцами главных идеалов , евклидовыми.

Факториальное кольцо , это кольцо в котором , каждый элемент либо $1$ , либо можно представить в виде неприводимых элементов $a=p_{1}\cdot p_{2}...p_{n}$
Неприводимый элемент$ p$ , такой , что $p=b\cdot c $, либо с , либо $b$ единица.
Эвклидовы , это для которых для любого $a,b$ из кольца , можно представить $a=bq+r$ , при этом d( B )>d( R )
Если кольцо эвклидово , то оно кольцо главных идеалов, то оно факториальное .
Если оно не факториально , то и не эвклидово и не главных идеалов.

$Z \left[\sqrt{2}\right] =\left\{a+b\sqrt{2}\right\}$
Для любого $a,b$ найдутся такие $c_{n},d_{n}$ что $\left ( a+b\sqrt{2}\right ) = \left ( c_{1}+b_{1}\sqrt{2}\right ) ..... \left ( c_{n}+b_{n}\sqrt{2}\right ) $
где $ \left ( c_{n}+b_{n}\sqrt{2}\right )$- неприводимый элемент , например $1+\sqrt{2}$
Оно факториальное.
тк $\left ( a+b\sqrt{2}\right )=\left ( c_{1}+b_{1}\sqrt{2}\right ) \cdot n+r$ , то оно и эвклидово.

Правильно????

$Z \left[\sqrt{2}\right] =\left\{a+b\sqrt{-6}=a+ib\sqrt{-6}\right\}$, что с ним делать , немного не понятно , вроде оно и не эвклидово ( кажется , тк$ i*i=-1$)

Заранее благодарен!

[mkot]

steph в сообщении #217658 писал(а):

Факториальное кольцо , это кольцо в котором , каждый элемент либо $1$ , либо можно представить в виде неприводимых элементов $a=p_{1}\cdot p_{2}...p_{n}$

Это не верное определение, требуется ещё некоторая однозначность разложения. Именно:
Факториальное кольцо -- целостное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент представим в виде $a = up_1p_2\ldots p_r$, где $u$ -- обратимый элемент, а $p_i$ -- простые элементы, причём из существования другого разложения $a = vq_1q_2\ldots q_s$ следует, что $r=s$ и при надлежащей нумерации элементов $p_i$ и $q_j$ будет $q_i = u_ip_i$, где $u_i$ -- обратимые элементы.

-- Чт май 28, 2009 01:29:41 --

steph в сообщении #217658 писал(а):

Неприводимый элемент$ p$ , такой , что $p=b\cdot c $, либо с , либо $b$ единица.

Это снова неверное определение.
Неприводимым (простым) называется элемент $p$, который нельзя представить в виде $p = ab$, где $a, b$ -- необратимые элементы. (почувствуйте разницу с тем, что написали вы. Например, в кольце целых чисел $4 = 4\cdot 1$, но этот элемент не является простым).

-- Чт май 28, 2009 01:36:47 --

Вобщем берите любой учебник по алгебре и разбирайтесь с определениями. (Рассуждения ваши тоже не понятны).

[ellipse]

$Z[\sqrt{2}]$ кажется евклидово. Попробуйте взять в качестве меры $| a+b\sqrt{2} |:= \sqrt{ a^{2}+2b^{2} }$
и докажите что возможно деление с остатком, который по "модулю" меньше делителя.

$Z[\sqrt{-6}]$ вероятно не евклидово. Попробуйте найти контрпример.

[VAL]

mkot в сообщении #217686 писал(а):

steph в сообщении #217658 писал(а):

Факториальное кольцо , это кольцо в котором , каждый элемент либо $1$ , либо можно представить в виде неприводимых элементов $a=p_{1}\cdot p_{2}...p_{n}$

Это не верное определение, требуется ещё некоторая однозначность разложения.

Угу.
Кроме того есть некоторая разница между утверждениями "Каждый элемент - 1" и "Каждый элемент - единица".
Единицами в теории колец принято обзывать все обратимые элементы (т.е. все ассоциированные с нейтральным элементом по умножению). А 1 - это и есть тот самый единственный нейтральный по умножению.
И наконец, а куда же 0 подевался?!

-- 28 май 2009, 02:41 --

ellipse в сообщении #217689 писал(а):

$Z[\sqrt{2}]$ кажется евклидово.

Угу.

Цитата:

$Z[\sqrt{-6}]$ вероятно не евклидово.

Вероятно. Особенно если учесть, что для отрицательных $d$ кольцо целых поля $Q(\sqrt d)$ обладает однозначным разложением на множители лишь при $d \in \{-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\}$.
А вообще-то это уже не просто теория колец. Это уже теория полей классов. Штука серьезная.
Так, насколько я в курсе, гипотеза о бесконечности множества положительных $d$, для котрых кольцо целых поля $Q(\sqrt d)$ обладает однозначным разложением на множители, высказанная еще Гауссом, до сих пор еще не доказана и не опровергнута. Или у меня устаревшие сведения?

Steph, я Вас не сильно застращал? С Вашими кольцами все решается довольно просто.

[steph]

ellipse в сообщении #217689 писал(а):

$Z[\sqrt{2}]$ кажется евклидово. Попробуйте взять в качестве меры $| a+b\sqrt{2} |:= \sqrt{ a^{2}+2b^{2} }$
и докажите что возможно деление с остатком, который по "модулю" меньше делителя.

$Z[\sqrt{-6}]$ вероятно не евклидово. Попробуйте найти контрпример.

Не подскажите , как это сделать ?
Я взял возвел норму в квадрат
$\sqrt{ a^{2}+2b^{2} }= a^{2}+2b^{2}=(a+b)^{2}-2ab+b^{2}$
$a=br+q$
и у меня получается с точностью до наоборот

VAL в сообщении #217718 писал(а):

Вероятно. Особенно если учесть, что для отрицательных $d$ кольцо целых поля $Q(\sqrt d)$ обладает однозначным разложением на множители лишь при $d \in \{-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\}$.

Это я так понимаю по теореме Гауса?

[VAL]

steph в сообщении #219294 писал(а):

ellipse в сообщении #217689 писал(а):

$Z[\sqrt{2}]$ кажется евклидово. Попробуйте взять в качестве меры $| a+b\sqrt{2} |:= \sqrt{ a^{2}+2b^{2} }$
и докажите что возможно деление с остатком, который по "модулю" меньше делителя.

$Z[\sqrt{-6}]$ вероятно не евклидово. Попробуйте найти контрпример.

Не подскажите , как это сделать ?

Цитата:

Я взял возвел норму в квадрат
$\sqrt{ a^{2}+2b^{2} }= a^{2}+2b^{2}=(a+b)^{2}-2ab+b^{2}$
$a=br+q$
и у меня получается с точностью до наоборот

У Вас тут, как минимум, какая-то путаница в обозначениях. В последней формуле a и b - делимое и делитель, а в предыдущих - коэффициенты одного элемента.

Цитата:

VAL в сообщении #217718 писал(а):

Вероятно. Особенно если учесть, что для отрицательных $d$ кольцо целых поля $Q(\sqrt d)$ обладает однозначным разложением на множители лишь при $d \in \{-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\}$.

Это я так понимаю по теореме Гауса?

Нет, это по теореме Гаусса

[steph]

VAL в сообщении #219296 писал(а):

steph в сообщении #219294 писал(а):

ellipse в сообщении #217689 писал(а):

$Z[\sqrt{2}]$ кажется евклидово. Попробуйте взять в качестве меры $| a+b\sqrt{2} |:= \sqrt{ a^{2}+2b^{2} }$
и докажите что возможно деление с остатком, который по "модулю" меньше делителя.

$Z[\sqrt{-6}]$ вероятно не евклидово. Попробуйте найти контрпример.

Не подскажите , как это сделать ?

Цитата:

Я взял возвел норму в квадрат
$\sqrt{ a^{2}+2b^{2} }= a^{2}+2b^{2}=(a+b)^{2}-2ab+b^{2}$
$a=br+q$
и у меня получается с точностью до наоборот

У Вас тут, как минимум, какая-то путаница в обозначениях. В последней формуле a и b - делимое и делитель, а в предыдущих - коэффициенты одного элемента.

Цитата:

VAL в сообщении #217718 писал(а):

Вероятно. Особенно если учесть, что для отрицательных $d$ кольцо целых поля $Q(\sqrt d)$ обладает однозначным разложением на множители лишь при $d \in \{-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\}$.

Это я так понимаю по теореме Гауса?

Нет, это по теореме Гаусса

Сначала , я просто разложил.
$\sqrt{ a^{2}+2b^{2} }= a^{2}+2b^{2}=(a+b)^{2}-2ab+b^{2}$
$(a+b)$- делитель
$2ab-b^{2}$- остаток.
Как бы не для любого $a,b$ это справедливо.

[Бодигрим]

steph в сообщении #219299 писал(а):

Сначала , я просто разложил.
$\sqrt{ a^{2}+2b^{2} }= a^{2}+2b^{2}=(a+b)^{2}-2ab+b^{2}$
$(a+b)$- делитель
$2ab-b^{2}$- остаток.
Как бы не для любого $a,b$ это справедливо.

Ой, а что это вы такое интересное делали в этих строчках? Напишите с объяснениями: что вы разлагали, зачем делили на $a+b$, почему именно $2ab-b^2$ - остаток и что именно справедливо.

[VAL]

Бодигрим в сообщении #219340 писал(а):

steph в сообщении #219299 писал(а):

Сначала , я просто разложил.
$\sqrt{ a^{2}+2b^{2} }= a^{2}+2b^{2}=(a+b)^{2}-2ab+b^{2}$
$(a+b)$- делитель
$2ab-b^{2}$- остаток.
Как бы не для любого $a,b$ это справедливо.

Ой, а что это вы такое интересное делали в этих строчках? Напишите с объяснениями: что вы разлагали, зачем делили на $a+b$, почему именно $2ab-b^2$ - остаток и что именно справедливо.

Угу. И еще, как так получилось квадратный корень из некого выражения оказался равен этому выражению?

[Cave]

Во-первых, норма должна действовать из кольца в $\mathbb{Z}_+$, поэтому корень недопустим. Во-вторых, на кольцах вида $a + b\sqrt{d}$ есть оператор сопряжения: $\overline{a + b\sqrt{d}} = a - b\sqrt{d}$, и тогда на нём можно можно задать норму $\|z\| = z\bar{z} = a^2 - db^2$. Её евклидовость для случая $d = 2$ проверяется непосредственно

[steph]

Бодигрим в сообщении #219340 писал(а):

steph в сообщении #219299 писал(а):

Сначала , я просто разложил.
$\sqrt{ a^{2}+2b^{2} }= a^{2}+2b^{2}=(a+b)^{2}-2ab+b^{2}$
$(a+b)$- делитель
$2ab-b^{2}$- остаток.
Как бы не для любого $a,b$ это справедливо.

Ой, а что это вы такое интересное делали в этих строчках? Напишите с объяснениями: что вы разлагали, зачем делили на $a+b$, почему именно $2ab-b^2$ - остаток и что именно справедливо.

я представил $\sqrt{ a^{2}+2b^{2} }= a^{2}+2b^{2}=(a+b)^{2}-2ab+b^{2}$ в таком виде.

По формуле $a=br+d$, предположил , что br=(a+b)^{2} , а d=-2ab+b^{2}.

Прошу прощения за глупый вопрос, но что именно есть евклидова норма для кольца ( перерыл море литературы , не нашел( ))

[Бодигрим]

Я ничего не понимаю. Ладно,

$$\sqrt{ a^{2}+2b^{2} }= a^{2}+2b^{2}$$

- это, видимо, просто описка. Вот вы нашли некую норму вашего числа $a+b\sqrt2$. Зачем и на что вы пытаетесь ее разделить с остатком? Попутно забывая, что остаток обязан быть строго меньше делителя и вводя коллизии обозначений...

[steph]

Затем я стараюсь ее разделить с остатком так , чтобы он был меньше делителя по модулю. Если удасться это сделать , что тогда существует норма----> кольцо эвклидово.
На что именно делить , тоже не понятно.Могу предпололжить ,что необходимо разбить полином на слагаемые .

[Бодигрим]

steph в сообщении #219556 писал(а):

Затем я стараюсь ее разделить с остатком так , чтобы он был меньше делителя по модулю. Если удасться это сделать , что тогда существует норма----> кольцо эвклидово.

Дело в том, что высчитанная вами норма - это некоторое совершенно обыкновенное целое число, которое вы делите на другое целое число. Вообще любая норма в кольце (по определению) - это целое число. Ну так без всяких многочленов известно, что целые числа отлично делятся друг на друга с остатком. Любые целые числа. Как отсюда может следовать евклидовость исходного кольца?

steph в сообщении #219543 писал(а):

Прошу прощения за глупый вопрос, но что именно есть евклидова норма для кольца ( перерыл море литературы , не нашел( ))

Хм, а что такое евклидово кольцо - нашли? Приведите, пожалуйста, определение.

Евклидова норма - это та самая норма, существование которой фигурирует в определении евклидова кольца, если я не ошибаюсь.

[steph]

Евклидово кольцо — это область целостности $R$, для которой определена евклидова функция (евклидова норма) $d: R \to \mathbb{N} \cup \{-\infty\}$ , причём $d(a)=-\infty \Leftrightarrow a=0$, и возможно деление с остатком, по норме меньшим делителя, то есть для любых$ a,b\in R,\, b\ne 0$ имеется представление $a = bq + r$, для которого $d(r) < d(b)$.
Я тут подумал , эти два кольца не факториальны , тк
$Z[\sqrt{-6}]$
$(4-\sqrt{-6})(4+\sqrt{-6})=16-6=10=5*2$
$Z[\sqrt{2}]$
$(6-\sqrt{2})(6+\sqrt{2})=36-2=34=17*2$
то есть $34$,$10$- не являются неприводимыми ---> кольца не факториальны , и следовательно, они не евклидовы.
правильно?

-- Чт июн 04, 2009 21:54:38 --

Евклидово кольцо — это область целостности $R$, для которой определена евклидова функция (евклидова норма) $d: R \to \mathbb{N} \cup \{-\infty\}$ , причём $d(a)=-\infty \Leftrightarrow a=0$, и возможно деление с остатком, по норме меньшим делителя, то есть для любых$ a,b\in R,\, b\ne 0$ имеется представление $a = bq + r$, для которого $d(r) < d(b)$.
Я тут подумал , эти два кольца не факториальны , тк
$Z[\sqrt{-6}]$
$(4-\sqrt{-6})(4+\sqrt{-6})=16-6=10=5*2$
$Z[\sqrt{2}]$
$(6-\sqrt{2})(6+\sqrt{2})=36-2=34=17*2$
то есть $34$,$10$- не являются неприводимыми ---> кольца не факториальны , и следовательно, они не евклидовы.
правильно?