Мера Лебега на плоскости

[CowboyHugges]

ewert Вы конечно правы. Приведу точную формулировку из Колмогорова,дабы не путаться:

Цитата:

Множество $A$ называется измеримым, если для любого $\epsilon>0$ найдется такой элементарное множество $B$, что $\mu^* (A \Delta B)< \epsilon$

Колмогоров, Фомин "Элементы функционального анализа и теории функции",1981

-- Пн июн 01, 2009 22:04:37 --

Вообще-то по-моему существует два общепринятых подхода (очевидно эквивалентных) для введения теории Лебеговой меры, это подход собственно Лебега и подход Ф.Рисса-Даниэля, и в каком-то из них понятие "внутренней меры" не вводится, хотя используют очень близкую аналогию. Могу ошибаться

[Dan B-Yallay]

Так и в этом определении понятие "внутреняя мера" не используется.

[inf76]

«Определение 2. Множество А называется измеримым (в смысле Лебега), если для любого ε>0 найдётся такое элементарное множество B, что μ*(AΔB)<ε.
Функция μ*, рассматриваемая только на измеримых множествах, называется лебеговой мерой. Будем обозначать её через μ.»
Стр. 257. Колмогоров и Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. 1976 год.
μ* -- внешняя мера.

-- Пн июн 01, 2009 22:14:03 --

inf76 в сообщении #219011 писал(а):

inf76 в сообщении #218932 писал(а):

множество А называется измеримым по Лебегу, если для каждого положительного ε найдётся такое элементарное множество, что симметрическая разность множества А и этого элементарного множества меньше чем ε.

Вот формулировка у Колмогорова и Фомина. Она дана для плоских ограниченных множеств.

Опепятка! Конечно, нужно "внешняя мера симметрической разности". Каюсь!

[Dan B-Yallay]

inf76 в сообщении #219026 писал(а):

Опепятка!

С неизмеримыми множеством ($E$) возникает проблема в том, что невозможно подобрать елементарное множество $A$ , которое дает $\mu (A \Delta E) < \varepsilon$

[inf76]

CowboyHugges в сообщении #219023 писал(а):

подход Ф.Рисса-Даниэля

А где это у Рисса? В его лекциях по функциональному анализу мера считается уже введённой.

[AD]

vlad239 писал(а):

Внутренняя же у стандартного примера неизмеримого множества вроде как всегда нуль. Оно же ни одного отрезка содержать не может.

У Вас серьезное непонимание. У множества иррациональных чисел отрезка $[0,1]$ внутренняя мера Лебега равна единице, хотя оно тоже ни одного отрезка не содержит.

[CowboyHugges]

inf76 в сообщении #219029 писал(а):

А где это у Рисса? В его лекциях по функциональному анализу мера считается уже введённой.

Ну откуда же я знаю где это у Рисса Я его не читал (с этим как его, непроизносимая фамилия?), просто так называется схема, по ней построен например известный курс Шилова

[AD]

CowboyHugges писал(а):

Вообще-то по-моему существует два общепринятых подхода (очевидно эквивалентных) для введения теории Лебеговой меры, это подход собственно Лебега и подход Ф.Рисса-Даниэля, и в каком-то из них понятие "внутренней меры" не вводится, хотя используют очень близкую аналогию. Могу ошибаться

Есть еще подход Каратеодори, тоже им всем эквивалентный: множество $E$ называется измеримым, если для любого множества $X$ имеет место равенство

$$\mu^*(X)=\mu^*(X\cap E)+\mu^*(X\setminus E)$$

То есть таким образом как бы сразу аксиоматизируется аддитивность.