Задачи на комбинаторику

[leaderK]

Здравствуйте. Подскажите пожалуйста. Есть следующая задача, которая очень просто решается через формулу полной вероятности, однако необходимо решить её через комбинаторные формулы. В ящике есть $\[a\]$ белых и $\[b\]$ чёрных шаров. Достают сначала один шар, потом другой. Найти вероятность того, что второй шар будет белым. Я решил так: $\[P = \frac{{C_a^1 \cdot C_{a - 1}^1 + C_b^1 \cdot C_a^1 }}{{A_{a + b}^2 }} = \frac{a}{{a + b}}\]$. Не понимаю, почему в знаменателе должны стоять размещения, а не сочетания.
Интересует также следующий вопрос: в ящике тоже количество шаров. Вытаскивают сначала первый, не глядя откладывают в сторону. Затем второй. Второй шар оказывается белым. Найти вероятность того, что первый шар тоже белый. В книге ответ есть, но он ничего мне не даёт. Здесь не совсем ясно, как то событие, что второй шар белый, влияет на вероятность того, что первый шар окажется белым. Опять же нужно решить через комбинаторные формулы.
И последний вопрос, более общего характера. Есть задача в Гмурмане: брошены три игральные кости. Найти вероятность того, что на всех выпавших гранях появится разное число очков. Решение очевидно: $\[P = \frac{6}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{5}{9}\]$. Однако в общем случае не совсем ясно, где надо умножать на число перестановок, а где не надо. Например в данной задаче почему не надо умножать на $\[3!\]$. (Я конечно понимаю, что вероятность окажется больше 1).
Заранее спасибо.

[ewert]

leaderK в сообщении #218617 писал(а):

В ящике есть $\[a\]$ белых и $\[b\]$ чёрных шаров. Достают сначала один шар, потом другой. Найти вероятность того, что второй шар будет белым. Я решил так: $\[P = \frac{{C_a^1 \cdot C_{a - 1}^1 + C_b^1 \cdot C_a^1 }}{{A_{a + b}^2 }} = \frac{a}{{a + b}}\]$. Не понимаю, почему в знаменателе должны стоять размещения, а не сочетания.

Хороший вопрос, и правильный. Потому, что запрашивается белый шар именно на второй позиции. Следовательно, для числителя порядок следования шаров небезразличен. Ну а значит, и для знаменателя -- тоже.

[leaderK]

А решение я так понимаю правильное, да? И ещё ,ewert, подскажите ответы на остальные вопросы пожалуйста. Особенно на последний. А то стыдно сдать теорию вероятностей, так и не узнав ответа на этот вопрос. Он меня весь семестр мучал.

[ewert]

Решение, как мне кажется, правильное (если я тоже чего не зевнул).

На последний -- верно, но только я бы оформил это иначе: $${A_6^3\over6^3}.$ Вверху именно $A$, а не $C$, поскольку формула типа $n^m$ в знаменателе подразумевает именно учёт порядка следования.

[leaderK]

Простите, не совсем понял с перестановками. Когда умножать, а когда не умножать. Я спрашивал у преподавателя, он сказал, что умножать на число перестановок не надо, когда события полностью взаимозаменяемы. А что это значит, мне так от него добиться и не удалось. Не в одном учебнике (авторы Вентцель Е.С. и другой учебник Гмурман В.Е.) ничего про это толком не написано.

[ewert]

Тут вряд ли какой-нибудь (в смысле какая-нибудь) Вентцель поможет. Тут надобно ориентироваться только на соображения здравого смысла.

В смысле. Надо отдавать себе (именно себе, а не дяде!) отчёт в том, учитываете ли Вы порядок или нет. В большинстве случаев это проходит на автомате, но иногда и призадуматься приходится. Ну так вот и думайте: что конкретно Вы учитываете в числителе, а что -- в знаменателе.

----------------------
да, а Гмурман, кстати -- нехорош. Ну разве что нет другого выбора...

[leaderK]

А про взаимозаменяемые события - это ерунду мне сказали, или это просто какой-то частный случай? Вроде бы преподаватель очень хороший, как мне кажется (кажется, потому что я у него пока не учился).

[--mS--]

leaderK в сообщении #218679 писал(а):

А про взаимозаменяемые события - это ерунду мне сказали, или это просто какой-то частный случай? Вроде бы преподаватель очень хороший, как мне кажется (кажется, потому что я у него пока не учился).

Трудно по пересказу судить, что же имелось в виду на самом деле.

Факториалы тут могли бы возникнуть только если бы числитель считали как $C_6^3\cdot 3!$: сначала выбираем тройку разных чисел, потом расставляем её на костях $3!$ способами. А в числе $A_6^3 = 6\cdot 5\cdot 4$ все перестановки уже учтены: на первой кости любое число очков, на второй кости любое, отличное от того, что на первой, и на третьей кости любое, отличное от первых двух.

[leaderK]

Сегодня подошёл к преподавателю. Он сказал, что решение задачи с костями через число размещений, предложенное ewert, не верно, а правильный ответ получен случайно. Может кто подскажет.

[TOTAL]

leaderK в сообщении #218894 писал(а):

Сегодня подошёл к преподавателю. Он сказал, что решение задачи с костями через число размещений, предложенное ewert, не верно, а правильный ответ получен случайно. Может кто подскажет.

Я бы подсказал пореподавателю. Если он считает решение неверным, то пусть объясняет почему. В данном случае пусть приведет пример аналогичной задачи, в котором рассуждение ewert не работает. Я бы подсказал также студенту не считать какое-то утверждение верным (неверным) только потому, что так сказал преподаватель ("написала" книга). Надо понять почему, а не слепо верить.

[leaderK]

Он сказал что-то вроде того, что записывая число размещений в знаменателе мы этим ничего не учитываем. Может быть он подумал, что цифра 3 не означает обязательно то, что числа на гранях различны. Я сам понимаю, что слово ничего-это ерунда.

[Архипов]

(Оффтоп)

Вместо пересказов о том, кто что утверждал и по какому поводу, лучше давайте решим задачу:

На гранях кубика написаны цифры 1 2 3 4 5 6. Бросают сразу 5 кубиков. Найти вероятности следующих событий:
1) выпали 5 одинаковых цифр (примеры. 33333, 66666,..)
2) выпали 4 одинаковых цифры (прим. 44442, 66661,..)
3) выпали 3 одинаковых цифры (прим. 55542, 66613,..)
4) выпали 2 одинаковых цифры (прим. 55142, 33615,..)
5) выпали 2+2 одинаковых цифры (прим. 55144, 33655,.)
6) выпали 3+2 одинаковых цифры (прим. 55444, 33311,.)
7) выпали все разные цифры (прим 12346,12456,...)
Сумма вероятностей этих 7 событий равна 1. Порядок расположения цифр не важен, то есть важно только количество одинаковых.

[Архипов]

(Оффтоп)

Вышел такой ответ:
1) выпали 5 одинаковых цифр (примеры. 33333, 66666,..) 6
2) выпали 4 одинаковых цифры (прим. 44442, 66661,..)150
3) выпали 3 одинаковых цифры (прим. 55542, 66613,..)1200
4) выпали 2 одинаковых цифры (прим. 55142, 33615,..)3600
5) выпали 2+2 одинаковых цифры (прим. 55144, 33655,.)1800
6) выпали 3+2 одинаковых цифры (прим. 55444, 33311,.)300
7) выпали все разные цифры (прим 12346,12456,...)720
Возможных вариантов 7776.