Найти объем тела (пересечение 3-х цилиндров)

[Yager]

Оси трех цилиндров (каждый радиуса r) взаимно перпендикулярны и пересекаются в одной точке. Найти объем тела ограниченного этими тремя цилиндрами.

Если я правильно представляю фигуру, то это будет куб со стороной 2r но без углов, точнее углы будут как бы вырезаны. Отсюда необходимо найти только объем этих отрезанных углов (вырезанных фигур). Собственно, в этом и проблема.

[ozhigin]

Тела,а не фигуры!

[ewert]

Это вовсе не будет куб, даже и с поправками. Пересечение двух цилиндров -- это некая подушка, симметричная относительно плоскости $XOY$. Разбивающаяся на четыре одинаковых куска плоскостями $x=y$ и $x=-y$. И потом из каждого куска надо вырезать часть вертикальным цилиндром, т.е. неравенством $x^2+y^2\leqslant r.$ Что требует явного счёта (естественно, в полярных координатах, и в любом из четырёх секторов).

[Yager]

если проецировать на ось XOY. то вроде получится квадрат. или нет?

[ewert]

Если до пересечения с третьим цилиндром -- да, квадрат. А после -- круг. С любым из четырёх секторов которого и надо работать.

[Dan B-Yallay]

Yager в сообщении #218386 писал(а):

если проецировать на ось XOY. то вроде получится квадрат. или нет?

Ось ХОY ?

см: http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fun/planelev/

[ewert]

да плоскость имелась в виду, разумеется

[Yager]

да да, конечно плоскость, прошу прощения. и спасибо за ссылку) думаю очень поможет

-- Сб май 30, 2009 20:36:59 --

если не затруднит, напиши как найти объем именно через интеграл, а то как не кручу толком ниче не получается

[ewert]

а Вы накрутите хоть какой интеграл, а мы и покритикуем

[Yager]

объем куба $8r^3$. Прежде рассматриваю площадь $\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2} dx = \frac{1}{2} r^2 \frac{\pi}{4}$. Теперь отталкиваясь от функции площади, надо найти интеграл объема того самого тела который срезается. Тут то и проблема, то ли я не правильно первый интеграл составил, то что, но остается так или иначе $\frac{\pi}{4}$

[ewert]

чушь какая-то, даже и вникать лень. Вы обязаныдля вычисления объёма по меньшей мере выписать двойной интеграл по соотв. области, в Вашем случае -- по сектору.

[Yager]

хорошо, а если так $\int_{0}^{r}z\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}rcos(x)dxdz}$ где внутренний интеграл есть площадь сектора, теперь эту площадь я умножаю собственно на высоту, z, и интегрируем, это получается 1/32 объема урезанного тела (всех срезов), получившееся умножаю на 32, и это вычитаю из объема куба.

[ewert]

Снова какое-то откровенное некомильфо. Какие там ещё "пи" применительно к иксам и игрекам?...

[Yager]

"пи" там появилось в связи с переходом к cos (к полярным координатам), колючество крючков 2 и дифференциалов тоже 2, тогда я вообще не представляю как этот объем найти, если знаете, будьте добры, напишите

[ewert]

Yager в сообщении #218418 писал(а):

"пи" там появилось в связи с переходом к cos (к полярным координатам),

Ес ли уж Вы решились переходить к полярным (что, безусловно, разумно) -- так уж будьте любезны и переходите. Какие после этого иксы и игреки-то?...