Cat писал(а):
Все таки книги такой в библиотеке у нас в городе нету,
в иненте она есть
Но там самого построения нет, только указание - строить по трансфинитной индукции.
Cat писал(а):
поэтому попытаюсь построить таки это несчастное неборелевское множество:
Возьмем канторово множество - R, G: [0,1]-R
И определим функцию f(x) таким образом: f(x)=1, если х не является концом интервала в R, во всех остальных случаях f(x)=0. Будет ли эта фуннкция небэровской
да, любопытно. не могу чего то сообразить..
определение функции немного не однозначное, я понял так - функция =1 в точках из R, к которым примыкает интервал открытый из дополнения к R. Правильно?
Cat писал(а):
и как от нее перейти к неборелевскому множеству?
не перейдешь, думаю
насчет построения Берштейновского множества
Теорема 1'. Пусть
семейство подмножеств отрезка
,
и
для каждого
. Тогда существует иньективное отображение
, так что
для каждого
.
Доказательство. Определим отображение

с помощью трансфинитной индукции. Занумеруем семейство

ординалами до

,

.
База индукции. Выбирем

произвольным образом.
Шаг индукции. Пусть

. Предположим, что определили

для каждого

. Так как

, то множество

не пусто. Выберем

из

.
Построение завершено.
Я размышлял, можно ли доказать эту теорему без трансфинитной индукции, вроде теоремы Кантора-Берштейна.. Непонятно.
Ради наглядности формулировки эту теорему привел, пользоватся ей не очень удобно, нам нужно несколько более сильное утверждение.
Для множества

обозначим через

множество всех подмножеств множества

.
Теорема 1. Пусть
множество,
,
и
для каждого
. Тогда существует иньективное отображение
, так что
для каждого
.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что

является множеством ординалов до

,

. Определим отображение

с помощью трансфинитной индукции.
База индукции. Выбирем

произвольным образом.
Шаг индукции. Пусть

. Предположим, что определили

для каждого

. Так как

, то множество

не пусто. Выберем

из

.
Построение завершено.
Следствие 2. Пусть
множество,
,
и
для каждого
. Тогда существует иньективные отображения
и
, так что
,
и
для каждого
.
Доказательство. В силу теоремы 1, существует иньективное отображение
![$p_1:A\to [0,1]$ $p_1:A\to [0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/d/c8de9b69a4264b322a4f4f7196f04f7a82.png)
, так что

для каждого

. К отображению
![$F':A\to \mathcal{P}([0,1]): \alpha\mapsto F(\alpha)\setminus\{p_1(\alpha)\}$ $F':A\to \mathcal{P}([0,1]): \alpha\mapsto F(\alpha)\setminus\{p_1(\alpha)\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/0/6f061bd4f27db06f82b74942965e4fdf82.png)
еще раз применим теорему 1 и выберем иньективное отображение
![$p_2:A\to [0,1]$ $p_2:A\to [0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/7/2f7a4092008be418e45143d48368479f82.png)
, так что

для каждого

.
Следствие 3. Пусть
семейство подмножеств отрезка
,
и
для каждого
.
Тогда существует иньективные отображения
и
, так что
,
и
для каждого
.
Доказательство. К тождественному отображению

применим следствие 2.
Для построение множеств Берштейна не нужно, но сформулирую следующий полезный факт
Следствие 4. Пусть
множество,
,
и
для каждого
. Тогда существует отображение
, так что
,
для каждого
и
для любых различных
.
Напомню, множество
![$B\subset [0,1]$ $B\subset [0,1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/7/157514826ffa8806bfd621fb7b4af45482.png)
называется
множеством Берштейна, если

и

для каждого несчетного замкнутого
![$F\subset [0,1]$ $F\subset [0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/9/499b3902f8d46237485ae24dc63ab89882.png)
.
Обозначим через

семейство несчетных замкнутых подмножеств
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
.
Для построения множества Берштейна надо еще пару простых фактов.
Факт 4.
Факт 5. 
для каждого
Построение множества Берштейна. Из следствия 3 и фактов 3,4 вытекает, что существует иньективные отображения
![$p_1:\mathcal{C}\to [0,1]$ $p_1:\mathcal{C}\to [0,1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/6/93641e66e1e3c37bab820070c07c515b82.png)
и
![$p_2:\mathcal{C}\to [0,1]$ $p_2:\mathcal{C}\to [0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/1/ad17498bb6d1746dc693a23415e07d5a82.png)
, так что

,

и

для каждого

. Определим множество Берштейна:

. Проверим, что построенное

удовлетворяет определению множества Берштейна. Пусть

. Тогда

и

.