Неборелевское измеримое множество

[Cat]

Здравствуйте, никак не могу придумать пример неборелевского, но измеримого множества. Помогите плиз:)

[er]

Из любого примера неборелевского множества нульмерного (в данном контексте, не содержащим в себе отрезков) можно сделать пример неборелевского, меры ноль (тогда и измеримого) множества.

Любое нульмерное пподпросстранство на прямой вкладывается в канторов дисконтинуум.

Пример неборелевского вложим в канторов дисконтинуум, получится пример неборелевского измеримого (даже меры нуль).

[Cat]

То есть получается, что берем интервал какой нибудь и вкладываем в канторово множество?

[Cat]

Вернее полуинтервал

[Cat]

А полуинтервал - неборелевское множество на вещественной прямой?

[er]

насчет (полу)интервалов - абсолютно не в тему

знаете какой нибуть пример не борелевского множества?

[Cat]

Нет

[er]

Cat писал(а):

А полуинтервал - неборелевское множество на вещественной прямой?

Нет. полуинтервал - борелевское.

А что такое не борелевское множество знаеете?

[Cat]

Я знаю, что такое борелевское, неборелевское - это такое,которое нельзя представить в виде не более чем счетного числа объединений или пересечении открытых или замкнутых множеств?

[er]

стандартный пример не боелевского множества - берштейновское множества $B$ на прямой - любое замкнутое несчетное подмножество прямой пересекается как с $B$, так и с дополнением к $B$.

Этот пример есть, думаю, в Энгелькинге.

Это множество не содержит в себе интервалов и поэтому его можно вложить в канторово множество. В канторовом множестве оно будет измеримо и попрежнему не борелевским.

[Cat]

А можно поподробней, пожалуйста про это множество, спасибо за информацию
Бернештейновское в смысле

[er]

Cat писал(а):

Я знаю, что такое борелевское, неборелевское - это такое,которое нельзя представить в виде не более чем счетного числа объединений или пересечении открытых или замкнутых множеств?

Да нет..

тут борелевская сигма алгебра, определение..

ее элементы - боелевские множества

Берштейновское множество не борелевское, так как любое несчетное борелевское множество содержит в себе несчетное замкнутое множество.

Это в соответветствующих учебниках есть.

[Cat]

У меня вроде есть определение борелевского множества на числовой прямой, борелевское множество B0 - открытое или замкнутое,
B1 -не открытое и не замкнутое, представимое в виде счетного числа объединений замкнутых множеств или счетного числа открытых множеств и т.д

[er]

что пишите, похоже на станадартную класификацию борелевских множеств.

Там есть еще B2, B3 и т.д. до первого несчетного ординала.

[Cat]

Так все таки как определяется это множество Бернштейна?