Неборелевское измеримое множество

[er]

Cat писал(а):

Так все таки как определяется это множество Бернштейна?

Определение его дал.

Такс, лень самому строить..

Тут не то что я имел в виду
http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=20&page=12
только в континуум гипотезе строится. Как то по другому называются такие множества, автор, похоже, название перепутал..

В книге Энгелькинга посмотрите, там по предметному указателю найти можно
http://lib.mexmat.ru/books/2573

[Cat]

Спасибо, буду разбираться. Надеюсь книга такая у нас в библиотеке есть

[Cat]

Все таки книги такой в библиотеке у нас в городе нету, поэтому попытаюсь построить таки это несчастное неборелевское множество:
Возьмем канторово множество - R, G: [0,1]-R
И определим функцию f(x) таким образом: f(x)=1, если х не является концом интервала в R, во всех остальных случаях f(x)=0. Будет ли эта фуннкция небэровской и как от нее перейти к неборелевскому множеству?

[er]

Cat писал(а):

Все таки книги такой в библиотеке у нас в городе нету,

в иненте она есть

Но там самого построения нет, только указание - строить по трансфинитной индукции.

Cat писал(а):

поэтому попытаюсь построить таки это несчастное неборелевское множество:
Возьмем канторово множество - R, G: [0,1]-R

И определим функцию f(x) таким образом: f(x)=1, если х не является концом интервала в R, во всех остальных случаях f(x)=0. Будет ли эта фуннкция небэровской

да, любопытно. не могу чего то сообразить..

определение функции немного не однозначное, я понял так - функция =1 в точках из R, к которым примыкает интервал открытый из дополнения к R. Правильно?

Cat писал(а):

и как от нее перейти к неборелевскому множеству?

не перейдешь, думаю

насчет построения Берштейновского множества

Теорема 1'. Пусть $\mathcal{F}$ семейство подмножеств отрезка $[0,1]$, $|\mathcal{F}|=2^{\aleph_0}$ и $|F|=2^{\aleph_0}$ для каждого $F\in\mathcal{F}$. Тогда существует иньективное отображение $p:\mathcal{F}\to [0,1]$, так что $p(F)\in F$ для каждого $F\in\mathcal{F}$.
Доказательство. Определим отображение $p$ с помощью трансфинитной индукции. Занумеруем семейство $\mathcal{F}$ ординалами до $2^{\aleph_0}$, $\mathcal{F}=\{F_\alpha:\alpha<2^{\aleph_0}\}$.
База индукции. Выбирем $p(F_0)\in F_0$ произвольным образом.
Шаг индукции. Пусть $\alpha<2^{\aleph_0}$. Предположим, что определили $p(F_\beta)\in F_\beta$ для каждого $\beta<\alpha$. Так как $|F_\alpha|=2^{\aleph_0}$, то множество $C_\alpha=F_\alpha\setminus\{p(F_\beta): \beta<\alpha\}$ не пусто. Выберем $p(F_\alpha)$ из $C_\alpha$.
Построение завершено.

Я размышлял, можно ли доказать эту теорему без трансфинитной индукции, вроде теоремы Кантора-Берштейна.. Непонятно.

Ради наглядности формулировки эту теорему привел, пользоватся ей не очень удобно, нам нужно несколько более сильное утверждение.

Для множества $X$ обозначим через $\mathcal{P}(X)$ множество всех подмножеств множества $X$.

Теорема 1. Пусть $A$ множество, $F:A\to \mathcal{P}([0,1])$, $|A|=2^{\aleph_0}$ и $|F(\alpha)|=2^{\aleph_0}$ для каждого $\alpha\in A$. Тогда существует иньективное отображение $p:A\to [0,1]$, так что $p(\alpha)\in F(\alpha)$ для каждого $\alpha\in A$.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что $A$ является множеством ординалов до $2^{\aleph_0}$, $A = \{\alpha: \alpha<2^{\aleph_0}\}$. Определим отображение $p$ с помощью трансфинитной индукции.
База индукции. Выбирем $p(0)\in F_0$ произвольным образом.
Шаг индукции. Пусть $\alpha<2^{\aleph_0}$. Предположим, что определили $p(\beta)\in F(\beta)$ для каждого $\beta<\alpha$. Так как $|F(\alpha)|=2^{\aleph_0}$, то множество $C_\alpha=F(\alpha)\setminus\{p(\beta): \beta<\alpha\}$ не пусто. Выберем $p(\alpha)$ из $C_\alpha$.
Построение завершено.

Следствие 2. Пусть $A$ множество, $F:A\to \mathcal{P}([0,1])$, $|A|=2^{\aleph_0}$ и $|F(\alpha)|=2^{\aleph_0}$ для каждого $\alpha\in A$. Тогда существует иньективные отображения $p_1:A\to [0,1]$ и $p_2:A\to [0,1]$, так что $p_1(\alpha)\in F(\alpha)$, $p_2(\alpha)\in F(\alpha)$ и $p_1(\alpha)\ne p_2(\alpha)$ для каждого $\alpha\in A$.
Доказательство. В силу теоремы 1, существует иньективное отображение $p_1:A\to [0,1]$, так что $p_1(\alpha)\in F(\alpha)$ для каждого $\alpha\in A$. К отображению $F':A\to \mathcal{P}([0,1]): \alpha\mapsto F(\alpha)\setminus\{p_1(\alpha)\}$ еще раз применим теорему 1 и выберем иньективное отображение $p_2:A\to [0,1]$, так что $p_2(\alpha)\in F'(\alpha)=F(\alpha)\setminus\{p_1(\alpha)\}$ для каждого $\alpha\in A$.

Следствие 3. Пусть $\mathcal{F}$ семейство подмножеств отрезка $[0,1]$, $|\mathcal{F}|=2^{\aleph_0}$ и $|F|=2^{\aleph_0}$ для каждого $F\in\mathcal{F}$.
Тогда существует иньективные отображения $p_1:\mathcal{F}\to [0,1]$ и $p_2:\mathcal{F}\to [0,1]$, так что $p_1(F)\in F$, $p_2(F)\in F$ и $p_1(F)\ne p_2(F)$ для каждого $F \in \mathcal{F}$.
Доказательство. К тождественному отображению $id_{\mathcal{F}}:\mathcal{F}\to \mathcal{F}: F\mapsto F$ применим следствие 2.

Для построение множеств Берштейна не нужно, но сформулирую следующий полезный факт

Следствие 4. Пусть $A$ множество, $F:A\to \mathcal{P}([0,1])$, $|A|=2^{\aleph_0}$ и $|F(\alpha)|=2^{\aleph_0}$ для каждого $\alpha\in A$. Тогда существует отображение $p:A\to \mathcal{P}([0,1])$, так что $p(\alpha)\subset F(\alpha)$, $|p(\alpha)|=2^{\aleph_0}$ для каждого $\alpha\in A$ и $p(\alpha)\cap p(\beta)=\varnothing$ для любых различных $\alpha,\beta\in A$.


Напомню, множество $B\subset [0,1]$ называется множеством Берштейна, если $F\cap B\ne \varnothing$ и $F\setminus B\ne \varnothing$ для каждого несчетного замкнутого $F\subset [0,1]$.

Обозначим через $\mathcal{C}$ семейство несчетных замкнутых подмножеств $[0,1]$.

Для построения множества Берштейна надо еще пару простых фактов.

Факт 4. $|\mathcal{C}|=2^{\aleph_0}$

Факт 5. $|F|=2^{\aleph_0}$ для каждого $F\in \mathcal{C}$

Построение множества Берштейна. Из следствия 3 и фактов 3,4 вытекает, что существует иньективные отображения $p_1:\mathcal{C}\to [0,1]$ и $p_2:\mathcal{C}\to [0,1]$, так что $p_1(F)\in F$, $p_2(F)\in F$ и $p_1(F)\ne p_2(F)$ для каждого $F \in \mathcal{C}$. Определим множество Берштейна: $B=\{p_1(F): F\in \mathcal{C}\}$. Проверим, что построенное $B$ удовлетворяет определению множества Берштейна. Пусть $F\in \mathcal{C}$. Тогда $p_1(F)\in F\cap B\ne \varnothing$ и $p_2(F)\in F\setminus B\ne \varnothing$.

[er]

ну, так старался, текст набирал красиво и ошибок понаделал, там надо достаточно много исправлять, начиная со следствия 2 попозже исправлю

[er]

Теорема 1'. Пусть $\mathcal{F}$ семейство подмножеств отрезка $[0,1]$, $|\mathcal{F}|=2^{\aleph_0}$ и $|F|=2^{\aleph_0}$ для каждого $F\in\mathcal{F}$. Тогда существует иньективное отображение $p:\mathcal{F}\to [0,1]$, так что $p(F)\in F$ для каждого $F\in\mathcal{F}$.
Доказательство. Определим отображение $p$ с помощью трансфинитной индукции. Занумеруем семейство $\mathcal{F}$ ординалами до $2^{\aleph_0}$, $\mathcal{F}=\{F_\alpha:\alpha<2^{\aleph_0}\}$.
База индукции. Выбирем $p(F_0)\in F_0$ произвольным образом.
Шаг индукции. Пусть $\alpha<2^{\aleph_0}$. Предположим, что определили $p(F_\beta)\in F_\beta$ для каждого $\beta<\alpha$. Так как $|F_\alpha|=2^{\aleph_0}$, то множество $C_\alpha=F_\alpha\setminus\{p(F_\beta): \beta<\alpha\}$ не пусто. Выберем $p(F_\alpha)$ из $C_\alpha$.
Построение завершено.

Ради наглядности формулировки эту теорему привел, пользоватся ей не очень удобно, нам нужно несколько более сильное утверждение.

Для множества $X$ обозначим через $\mathcal{P}(X)$ множество всех подмножеств множества $X$.

Теорема 1. Пусть $A$ множество, $F:A\to \mathcal{P}([0,1])$, $|A|=2^{\aleph_0}$ и $|F(\alpha)|=2^{\aleph_0}$ для каждого $\alpha\in A$. Тогда существует иньективное отображение $p:A\to [0,1]$, так что $p(\alpha)\in F(\alpha)$ для каждого $\alpha\in A$.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что $A$ является множеством ординалов до $2^{\aleph_0}$, $A = \{\alpha: \alpha<2^{\aleph_0}\}$. Определим отображение $p$ с помощью трансфинитной индукции.
База индукции. Выбирем $p(0)\in F_0$ произвольным образом.
Шаг индукции. Пусть $\alpha<2^{\aleph_0}$. Предположим, что определили $p(\beta)\in F(\beta)$ для каждого $\beta<\alpha$. Так как $|F(\alpha)|=2^{\aleph_0}$, то множество $C_\alpha=F(\alpha)\setminus\{p(\beta): \beta<\alpha\}$ не пусто. Выберем $p(\alpha)$ из $C_\alpha$.
Построение завершено.

Следствие 2. Пусть $A$ множество, $F:A\to \mathcal{P}([0,1])$, $|A|=2^{\aleph_0}$ и $|F(\alpha)|=2^{\aleph_0}$ для каждого $\alpha\in A$. Тогда существует иньективные отображения $p_1:A\to [0,1]$ и $p_2:A\to [0,1]$, так что $p_1(\alpha)\in F(\alpha)$, $p_2(\beta)\in F(\beta)$ и $p_1(\alpha)\ne p_2(\beta)$ для любых $\alpha,\beta\in A$.
Доказательство. Пусть $A'=A\times\{1,2\}$, $\pi:A'\to A$ естественная проекция, $F'=F\circ \pi$. Применя к $A'$ и $F'$ теорему 1, получаем, что существует иньективное отображение $p':A'\to [0,1]$, так что $p'(\alpha')\in F'(\alpha')$ для каждого $\alpha'\in A'$. Определим искомые отображения $p_1$ и $p_2$. Для $\alpha\in A$ положим $p_1(\alpha)=p'(\alpha,1)$ и $p_2(\alpha)=p'(\alpha,2)$.

Следствие 3. Пусть $\mathcal{F}$ семейство подмножеств отрезка $[0,1]$, $|\mathcal{F}|=2^{\aleph_0}$ и $|F|=2^{\aleph_0}$ для каждого $F\in\mathcal{F}$.
Тогда существует иньективные отображения $p_1:\mathcal{F}\to [0,1]$ и $p_2:\mathcal{F}\to [0,1]$, так что $p_1(F)\in F$, $p_2(G)\in G$ и $p_1(F)\ne p_2(G)$ для каждых $F,G \in \mathcal{F}$.
Доказательство. К тождественному отображению $id_{\mathcal{F}}:\mathcal{F}\to \mathcal{F}: F\mapsto F$ применим следствие 2.

Для построение множеств Берштейна не нужно, но сформулирую следующий полезный факт

Следствие 4. Пусть $A$ множество, $F:A\to \mathcal{P}([0,1])$, $|A|=2^{\aleph_0}$ и $|F(\alpha)|=2^{\aleph_0}$ для каждого $\alpha\in A$. Тогда существует отображение $p:A\to \mathcal{P}([0,1])$, так что $p(\alpha)\subset F(\alpha)$, $|p(\alpha)|=2^{\aleph_0}$ для каждого $\alpha\in A$ и $p(\alpha)\cap p(\beta)=\varnothing$ для любых различных $\alpha,\beta\in A$.
Доказательство. Пусть $A'=A\times[0,1]$, $\pi:A'\to A$ естественная проекция, $F'=F\circ \pi$. Применя к $A'$ и $F'$ теорему 1, получаем, что существует иньективное отображение $p':A'\to [0,1]$, так что $p'(\alpha')\in F'(\alpha')$ для каждого $\alpha'\in A'$. Определим искомое отображение $p$. Для $\alpha\in A$ положим $p(\alpha)=\{p'(\alpha,t): t\in[0,1]\}$.

Напомню, множество $B\subset [0,1]$ называется множеством Берштейна, если $F\cap B\ne \varnothing$ и $F\setminus B\ne \varnothing$ для каждого несчетного замкнутого $F\subset [0,1]$.

Обозначим через $\mathcal{C}$ семейство несчетных замкнутых подмножеств $[0,1]$.

Для построения множества Берштейна надо еще пару простых фактов.

Факт 4. $|\mathcal{C}|=2^{\aleph_0}$

Факт 5. $|F|=2^{\aleph_0}$ для каждого $F\in \mathcal{C}$

Построение множества Берштейна. Из следствия 3 и фактов 4,5 вытекает, что существует иньективные отображения $p_1:\mathcal{C}\to [0,1]$ и $p_2:\mathcal{C}\to [0,1]$, так что $p_1(F)\in F$, $p_2(G)\in G$ и $p_1(F)\ne p_2(G)$ для всех $F,G \in \mathcal{C}$. Определим множество Берштейна: $B=\{p_1(F): F\in \mathcal{C}\}$. Проверим, что построенное $B$ удовлетворяет определению множества Берштейна. Пусть $F\in \mathcal{C}$. Тогда $p_1(F)\in F\cap B\ne \varnothing$ и $p_2(F)\in F\setminus B\ne \varnothing$.

[Cat]

Я думаю препод будет в шоке

[Cat]

er писал(а):

И определим функцию f(x) таким образом: f(x)=1, если х не является концом интервала в R, во всех остальных случаях f(x)=0. Будет ли эта фуннкция небэровской

да, любопытно. не могу чего то сообразить..

определение функции немного не однозначное, я понял так - функция =1 в точках из R, к которым примыкает интервал открытый из дополнения к R. Правильно?

Немного не так, функция равна 1 в тех точках из R, которые не являются концами дополнительных интервалов, а в остальных точках отрезка она равна 0.Вроде бы она небэровская, не 1 класса точно.

[Cat]

Большое спасибо за теоремы, буду разбираться

[er]

Cat писал(а):

Я думаю препод будет в шоке

Да, похоже палку перегнул с формализмом. Можно значительно нагляднее "на пальцах" про множества Берштейна рассказать.

И, кроме того, для доказательства того что множество Берштейна не борелевское, надо использовать вполне нетривиальную теорему, что в любом несчетном борелевском множестве есть замкнутое несчетное (ну, строится множество, гомеоморфное канторову дисконтинууму) подмножество.

Проще всего показать существование не борелевских множеств, использую мощностные соображения. Всего подмножеств отрезка - $2^{2^{\aleph_0}}$, борелевских - всего $2^{\aleph_0}$.

Но это как то не конструктивно.

Можно придумать "конструктивное" доказательство, замаскировав в нем теорему Кантора.

Обозначим через $\mathcal{B}$ семейство всех борелевских множеств, через $\mathbb{C}$ - Канторов дисконтинуум.

Факт.$|\mathcal{B}|=2^{\aleph_0}$

Построение измеримого не борелевского множества. Так как $|\mathcal{B}|=2^{\aleph_0}$, то существует взаимноодназначное отображение $\phi:\mathbb{C} \to \mathcal{B}$. Положим $M=\{c\in \mathbb{C}: c\notin \phi(c)\}$. Покажем, что множество $M$ искомое. Так как $M\subset \mathbb{C}$, то множество $M$ имеет меру нуль, и, поэтому, измеримо. Докажем, что множество $M$ не борелевское, то есть $M\notin \mathcal{B}$. Пусть $L\in \mathcal{B}$. Покажем, что $M\ne L$. Для некоторого $l\in \mathbb{C}$, $\phi(l)=L$. Расмотрим случаи:
1) $l\in \phi(l)$. Тогда $l\notin M$;
2) $l\notin \phi(l)$. Тогда $l\in M$.
В любом случае, получаем, что $M\ne \phi(l)=L$.

[er]

Cat писал(а):

Немного не так, функция равна 1 в тех точках из R, которые не являются концами дополнительных интервалов, а в остальных точках отрезка она равна 0.Вроде бы она небэровская, не 1 класса точно.

Похоже, не первого.. Но уже второго

[Cat]

$c\notin\phi(c)$ - значит с не лежит в образе с?
То есть точка с не лежит в подмножестве множества В, являюшегося образом с?

[er]

Cat писал(а):

$c\notin\phi(c)$ - значит с не лежит в образе с?
То есть точка с не лежит в подмножестве множества В, являюшегося образом с?

$c$ не лежит в элементе $\phi(c)\subset\mathbb{R}$ семейства $\mathcal{B}$