Топология. 4-я теорема отделимости.

[rezidual]

Здравствуйте!
Ребята, кто разбирается в топологии, помогите доказать поэтапно 4-ю теорему отделимости для "стрелки" !!!
Заранее благодарен.

[CowboyHugges]

Вы уверены что именно так формулируется задача. По-моему никаких общепринятых "теорем отделимости" нет. Есть аксиомы отделимости, и что такое "стрелка"? О какой теореме идёт речь? Можно попросить её сформулировать

[AD]

Ну, надо полагать, что "теорема отделимости для стрелки" гласит, что "для стрелки выполнена аксиома отделимости", а "стрелка" - это что-то типа этого:

Кто-то в википедии писал(а):

Вообще же на множестве вещественных чисел можно ввести очень разнообразные топологии, например, $\R_\to$, прямая с «топологией стрелки», где открытые множества имеют вид $(a,\infty)$, или топология Зарисского, в которой любое замкнутое множество — это конечное множество точек.

[CowboyHugges]

AD, ну тогда очень странно звучит "доказать".
Если речь идёт об этом: $T_4$ Любые двы замкнутых непересекающихся множества имеют непересекающиеся окрестности. То очевидно в такой топологии, два замкнутых множества непересекаются тогда и только тогда, когда одно из них пустое.

[AD]

Почему? А слова "проверить, что такое-то множество с такой-то структурой является топологическим пространством" Вас не смущают? А ведь при этом тоже "аксиомы" доказываем.

-- Ср май 27, 2009 13:10:46 --

А, или хотите сказать, что это неверно? Ну да, что-то в этом примере с отделимостью туго, согласен. Ждем каментов автора.

[CowboyHugges]

AD, да, Вы правы. Но всё равно, давайте подождём автора, может тут о чём-то другом

[rezidual]

извиняюсь за неточность.
да, речь идет об аксиоме отделимости №4
которая гласит что для любых 2-х непересекающихся замкнутых множеств существуют непересекающиеся окрестности содержащие эти мн-ва.
нужно доказать, выполняется ли эта аксиома для "стрелки", т.е. есть ли на стрелке у 2-х любых непересекающихся замкн. множеств неперес. окрестности сод-е эти мн-ва

[Лиля]

rezidual в сообщении #217583 писал(а):

извиняюсь за неточность.
да, речь идет об аксиоме отделимости №4
которая гласит что для любых 2-х непересекающихся замкнутых множеств существуют непересекающиеся окрестности содержащие эти мн-ва.
нужно доказать, выполняется ли эта аксиома для "стрелки", т.е. есть ли на стрелке у 2-х любых непересекающихся замкн. множеств неперес. окрестности сод-е эти мн-ва

остаеться неясным как определенна Топология этой стрелки

[Brukvalub]

Лиля в сообщении #217584 писал(а):

остаеться неясным как определенна Топология этой стрелки

Даже после цитаты ADа?

[Лиля]

Brukvalub в сообщении #217585 писал(а):

Даже после цитаты ADа?

не заметила...

[AD]

AD в сообщении #217574 писал(а):

AD, да, Вы правы.

CowboyHugges после исправления сообщения #217572 писал(а):

в такой топологии, два замкнутых множества непересекаются тогда и только тогда, когда одно из них пустое.

Нет, Вы правы

[Лиля]

AD в сообщении #217566 писал(а):

открытые множества имеют вид $(a,\infty)$

в такой топологии окрестности любых не пустых 2х замкнутых множеств пересекуться
пример: $\{1\}\subset (0, \infty)$ $\{5\}\subset (3, \infty)$ где $(0, \infty)$ $(3, \infty)$ их открытые окрестности, -ясно, что их открытые окрестности пересекутся

[Виктор Викторов]

Лиля в сообщении #217594 писал(а):

AD в сообщении #217566 писал(а):

открытые множества имеют вид $(a,\infty)$

в такой топологии окрестности любых не пустых 2х замкнутых множеств пересекуться
пример: $\{1\}\subset (0, \infty)$ $\{5\}\subset (3, \infty)$ где $(0, \infty)$ $(3, \infty)$ их открытые окрестности, -ясно, что их открытые окрестности пересекутся

Вообще, каждые два непустых открытых множества в этой топологии пересекаются. Поэтому, выполняется только первая аксиома отделимости.

-- Ср май 27, 2009 16:23:23 --

[CowboyHugges]

Лиля, да, но в аксиоме не говорится, что множества должны быть непустыми. Поэтому она и выполняется Пустое множество ничем не хуже других замкнутых

-- Ср май 27, 2009 16:29:35 --

Виктор Викторов, Вы не правы, во-первых четвертая аксиома выполняется А во-вторых первая так раз не выполняется, Вы видимо путаете её с аксиомой Колмогорова, но она везде обозначается $T_0$ А первая заучит так: каждая точка всякой пары различных точек имеет окрестность, не содержащую другую. Она не выполняется

[Лиля]

CowboyHugges в сообщении #217572 писал(а):

Любые двы замкнутых непересекающихся множества имеют непересекающиеся окрестности.

в написанной вами же аксиоме есть слово Любые -я вам только что привела контрпример -где аксиома невыполняеться