2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25  След.

Выражение 0^0
равно 0 3%  3%  [ 2 ]
равно 1 32%  32%  [ 19 ]
не определено 39%  39%  [ 23 ]
не имеет смысла 17%  17%  [ 10 ]
ничего не могу сказать по этому поводу 8%  8%  [ 5 ]
Всего голосов : 59
 
 Re: Выражение 0^0
Сообщение26.05.2009, 22:47 


22/11/06
186
Москва
Лиля в сообщении #217425 писал(а):
не чего искать $0^0$ через пределы...

Об этом я писал на первой странице темы еще полтора года тому назад. :) :(

А все скатилось к пределам, функциям, непрерывности и прочим умным вещам. Ну хоть польза-то есть какая от обсуждения этой темы? Или каждый остался при своем мнении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 0^0
Сообщение27.05.2009, 07:17 
Экс-модератор


17/06/06
5004
shust в сообщении #217444 писал(а):
Об этом я писал на первой странице темы еще полтора года тому назад. :) :(
Да вообще Колумб прямо ... :roll:
Я Вам больше скажу - его вообще искать не надо. И это я тоже не раз тут говорил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 0^0
Сообщение27.05.2009, 07:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Лиля в сообщении #217425 писал(а):
Непонимаю что же здесь обсурдного
Все, кто предлагал находить значение выражения $0^0$ с помощью предела, по меньшей мере, требовали непрерывности функций в нуле и их равенство в нуле нулю, что кажется мне минимально необходимым разумным условием, а Вы даже это естественное требование игнорировали, поэтому Ваше предложение и кажется мне абсурдным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 0^0
Сообщение27.05.2009, 07:33 
Аватара пользователя


23/02/09
259
Brukvalub в сообщении #217489 писал(а):
Все, кто предлагал находить значение выражения $0^0$ с помощью предела, по меньшей мере, требовали непрерывности функций в нуле и их равенство в нуле нулю, что кажется мне минимально необходимым разумным условием,

Если уж Вам очень хочеться не прерывности в ноле и равенства в ноле нолю -чем Вам простите не угождают $f(x)=0, g(x)=x$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 0^0
Сообщение27.05.2009, 07:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Лиля в сообщении #217496 писал(а):
Если уж Вам очень хочеться не прерывности в ноле и равенства в ноле нолю -чем Вам простите не угождают $f(x)=0, g(x)=x$ ?
Вот как раз этот замечательный пример вместе с предыдущими обсуждениями, в которых для других функций предел получался равным 1, действительно показывает, что подход на основе вычисления пределов нельзя положить в основу определения выражения $0^0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 0^0
Сообщение27.05.2009, 10:38 


20/07/07
834
Лиля в сообщении #217496 писал(а):
Brukvalub в сообщении #217489 писал(а):
Все, кто предлагал находить значение выражения $0^0$ с помощью предела, по меньшей мере, требовали непрерывности функций в нуле и их равенство в нуле нулю, что кажется мне минимально необходимым разумным условием,

Если уж Вам очень хочеться не прерывности в ноле и равенства в ноле нолю -чем Вам простите не угождают $f(x)=0, g(x)=x$ ?


Тем, что предел $$\lim_{x\to0} f(x)^{g(x)}$$ не существует даже вдоль вещественной оси.
Цитата:
Вот как раз этот замечательный пример вместе с предыдущими обсуждениями, в которых для других функций предел получался равным 1, действительно показывает, что подход на основе вычисления пределов нельзя положить в основу определения выражения $0^0$.

Достаточно потребовать, чтобы функции(точнее, f(x)) были не равны тождественно нулю. А то можно взять и f(x)=0, g(x)=0 в качестве примера и на этом основании утверждать, что подход с пределами не подходит. Тоже обе непрерывные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 0^0
Сообщение27.05.2009, 14:24 
Аватара пользователя


23/02/09
259
Nxx в сообщении #217547 писал(а):
Достаточно потребовать, чтобы функции(точнее, f(x)) были не равны тождественно нулю. А то можно взять и f(x)=0, g(x)=0 в качестве примера и на этом основании утверждать, что подход с пределами не подходит. Тоже обе непрерывные.

если вводить дополнительные ограничения -то это будет лишь частным случаем и не будет выполняться для всех функций... :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 0^0
Сообщение27.05.2009, 14:45 


20/07/07
834
Лиля в сообщении #217586 писал(а):
Nxx в сообщении #217547 писал(а):
Достаточно потребовать, чтобы функции(точнее, f(x)) были не равны тождественно нулю. А то можно взять и f(x)=0, g(x)=0 в качестве примера и на этом основании утверждать, что подход с пределами не подходит. Тоже обе непрерывные.

если вводить дополнительные ограничения -то это будет лишь частным случаем и не будет выполняться для всех функций... :roll:


Где вы видите дополнительные ограничения? Из случая $f(x)\equiv0$ вы никаких выводов просто не сможете сделать, так как предел в нуле не существует. А там, где он существует, он равен единице.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 0^0
Сообщение27.05.2009, 15:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Nxx в сообщении #217589 писал(а):
Из случая $f(x)\equiv0$ вы никаких выводов просто не сможете сделать, так как предел в нуле не существует.
Зато существует предел справа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 0^0
Сообщение27.05.2009, 17:40 


20/07/07
834
Brukvalub в сообщении #217600 писал(а):
Nxx в сообщении #217589 писал(а):
Из случая $f(x)\equiv0$ вы никаких выводов просто не сможете сделать, так как предел в нуле не существует.
Зато существует предел справа.

И отличается от предела слева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 0^0
Сообщение28.05.2009, 05:07 


06/07/07
215
Nxx писал(а):
Достаточно потребовать, чтобы функции(точнее, $f(x)$) были не равны тождественно нулю. А то можно взять и $f(x)=0$, $g(x)=0$ в качестве примера и на этом основании утверждать, что подход с пределами не подходит. Тоже обе непрерывные.
Нет! Этого недостаточно!
Нужна определенная граница для соотношения скоростей сходимости к нулю (что с избытком дается аналитичностью на $\mathbb{C}$-плоскости с прямым или с конечной вариацией угла разрезом).
Уже приводили пример, когда для просто непрерывных функций общего вида это не годится.


Для заданных на некоторой $\mathcal{O}$ - связной (при добавлении нуля), выколотой окрестности нуля на вещественной прямой ($0\not\in\mathcal{O}=(a;0)\cup(0;b)$, где $a\leqslant 0\leqslant b$, $a<b$ и $a,b\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$), комплекснозначных функций $g(x)$ и $h(x)$
- $g(x)=|g(x)|e^{i\arg(g(x))}$ всюду ненулевой ($g(x)\not=0$) и со свойством $\lim\limits_{x\to 0}g(x)=0$ (с учетом которого, ее можно непрерывно доопределить в нуле: $g(0)=0$)
- и $h(x)=|h(x)|e^{i\arg(h(x))}$ со свойством $\lim\limits_{x\to 0}\Re\left(\frac{h(x)}{g(x)}\right)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{|h(x)|}{|g(x)|}cos(\arg(h(x))-\arg(g(x)))}=+\infty$ (достаточно потребовать $\varliminf\limits_{x\to 0}|h(x)|>0$ и $set\lim\limits_{x\to 0}\left(\arg(g(x))-\arg(h(x))\right)\subset(-\frac{\pi}{2}+\varepsilon;\frac{\pi}{2}-\varepsilon)+2\pi\mathbb{Z}$, где $0<\varepsilon<\frac{\pi}{2}$),
- определенная через них комплекснозначная функция $f(x)=|f(x)|e^{i\arg(f(x))}=e^{-\frac{h(x)}{g(x)}}$ будет определена в той же выколотой окрестности $\mathcal{O}$, будет всюду ненулевой ($f(x)\not=0$) и со свойством $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$ (что влечет непрерывную доопределимость в нуле: $f(0)=0$),
- любая ветвь степени $f(x)^{g(x)}=e^{-h(x)+2\pi i\cdot n(x)g(x)}$ будет определена всюду в этой окрестности.

Устранив произвол в задании аргумента $\arg(f(x))}$, мы зададим однозначно и функцию $h(x)=-(\ln|f(x)|+i\arg(f(x)))g(x)$.
Если функции $g(x)$ и $f(x)$ непрерывны, то и функцию $h(x)$ можно задать непрерывной всюду на выколотой окрестности $\mathcal{O}$ через непрерывный аргумент $\arg_{c}(f (x))$,
тогда каждая непрерывная ветвь степени $f(x)^{g(x)}$ примет вид $e^{-h(x)+2\pi i\cdot ng(x)}$, а предел $\lim\limits_{x\to 0}f(x)^{g(x)}$ вид $\lim\limits_{x\to 0}e^{-h(x)}$.

При $\varliminf\limits_{x\to 0}|h(x)|>0$ предел $\lim\limits_{x\to 0}f(x)^{g(x)}=\lim\limits_{x\to 0}e^{-h(x)}$ не существует или же не равен $1$.

Если допустить возможность нулевых значений $g(x)$ в выколотой окрестности $\mathcal{O}$, то значение $\frac{h(x)}{g(x)}$ становиться бесконечным неопределенного знака (при $h(x)\not=0$) либо неопределенным (при $h(x)=0$), а значение $f(x)$ как и $f(x)^{g(x)}$ полностью неопределенным.
Если в каждой малой окрестности нуля есть точки с $g(x)=0$, это можно интерпретировать как несуществование/неопределенность предела $\lim\limits_{x\to 0}f(x)^{g(x)}$ либо, если брать предел по множеству, где $f(x)^{g(x)}$ определена, как точки $x$, несущественные для существования и величины искомого предела.
Для функции аналитической в точке своего нуля, этот нуль является изолированным и этой проблемы не возникает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 0^0
Сообщение28.05.2009, 10:42 


20/07/07
834
g(x) в нуле не будет аналитической, нарушается наше условие. Примеры с доопределением в нуле уже были: topic10670-180.html, topic10670-270.html.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 0^0
Сообщение28.05.2009, 20:42 


06/07/07
215
Про аналитичность и не шла речь.
Достаточно выдержать соотношение скоростей сходимости значений функций к нулю в определенных границах. Аналитичность дает излишне жесткие условия на поведение функции в нуле и сама по себе (разложение в ряд, единственность) аналитичность не используется.
К чему тогда это ограничение? Потому что выглядит красиво?
Можно тогда сузить класс функций еще сильнее и сказать, что $g(x)$ и $h(x)$ - просто многочлены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 0^0
Сообщение28.05.2009, 21:30 


20/07/07
834
Цитата:
Можно тогда сузить класс функций еще сильнее и сказать, что $g(x)$ и $h(x)$ - просто многочлены.

Зачем? Разве есть аналитические функции, не равные тождественно нулю и удовлетворяющие вышеназванным условиям, такие что предел f^g в нуле не равен единице (если брать функции в виде главного значения)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 0^0
Сообщение29.05.2009, 02:15 


06/07/07
215
Нет. Есть множество неаналитических (даже разрывных) функций со степенным поведением в нуле (в этом весь секрет), обладающих тем же свойством: равенством данного предела единице. И непонятно, почему нужно ограничиваться лишь аналитическими функциями с их специфическими свойствами.

Может потому, что сразу вываливается наружу условность выбора функций с именно таким поведением в нуле - специально подогнанным под указанное свойство? Обобщение сразу делает результат условным. А так, все сваливается на некие мистические свойства именно аналитических функций, для которых выбор значения 0^0 безусловен.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 362 ]  На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild, Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group