Выражение 0^0

[shust]

Лиля в сообщении #217425 писал(а):

не чего искать $0^0$ через пределы...

Об этом я писал на первой странице темы еще полтора года тому назад.

А все скатилось к пределам, функциям, непрерывности и прочим умным вещам. Ну хоть польза-то есть какая от обсуждения этой темы? Или каждый остался при своем мнении?

[AD]

shust в сообщении #217444 писал(а):

Об этом я писал на первой странице темы еще полтора года тому назад.

Да вообще Колумб прямо ...
Я Вам больше скажу - его вообще искать не надо. И это я тоже не раз тут говорил.

[Brukvalub]

Лиля в сообщении #217425 писал(а):

Непонимаю что же здесь обсурдного

Все, кто предлагал находить значение выражения $0^0$ с помощью предела, по меньшей мере, требовали непрерывности функций в нуле и их равенство в нуле нулю, что кажется мне минимально необходимым разумным условием, а Вы даже это естественное требование игнорировали, поэтому Ваше предложение и кажется мне абсурдным.

[Лиля]

Brukvalub в сообщении #217489 писал(а):

Все, кто предлагал находить значение выражения $0^0$ с помощью предела, по меньшей мере, требовали непрерывности функций в нуле и их равенство в нуле нулю, что кажется мне минимально необходимым разумным условием,

Если уж Вам очень хочеться не прерывности в ноле и равенства в ноле нолю -чем Вам простите не угождают $f(x)=0, g(x)=x$ ?

[Brukvalub]

Лиля в сообщении #217496 писал(а):

Если уж Вам очень хочеться не прерывности в ноле и равенства в ноле нолю -чем Вам простите не угождают $f(x)=0, g(x)=x$ ?

Вот как раз этот замечательный пример вместе с предыдущими обсуждениями, в которых для других функций предел получался равным 1, действительно показывает, что подход на основе вычисления пределов нельзя положить в основу определения выражения $0^0$.

[Nxx]

Лиля в сообщении #217496 писал(а):

Brukvalub в сообщении #217489 писал(а):

Все, кто предлагал находить значение выражения $0^0$ с помощью предела, по меньшей мере, требовали непрерывности функций в нуле и их равенство в нуле нулю, что кажется мне минимально необходимым разумным условием,

Если уж Вам очень хочеться не прерывности в ноле и равенства в ноле нолю -чем Вам простите не угождают $f(x)=0, g(x)=x$ ?

Тем, что предел

$$\lim_{x\to0} f(x)^{g(x)}$$

не существует даже вдоль вещественной оси.

Цитата:

Вот как раз этот замечательный пример вместе с предыдущими обсуждениями, в которых для других функций предел получался равным 1, действительно показывает, что подход на основе вычисления пределов нельзя положить в основу определения выражения $0^0$.

Достаточно потребовать, чтобы функции(точнее, f(x)) были не равны тождественно нулю. А то можно взять и f(x)=0, g(x)=0 в качестве примера и на этом основании утверждать, что подход с пределами не подходит. Тоже обе непрерывные.

[Лиля]

Nxx в сообщении #217547 писал(а):

Достаточно потребовать, чтобы функции(точнее, f(x)) были не равны тождественно нулю. А то можно взять и f(x)=0, g(x)=0 в качестве примера и на этом основании утверждать, что подход с пределами не подходит. Тоже обе непрерывные.

если вводить дополнительные ограничения -то это будет лишь частным случаем и не будет выполняться для всех функций...

[Nxx]

Лиля в сообщении #217586 писал(а):

Nxx в сообщении #217547 писал(а):

Достаточно потребовать, чтобы функции(точнее, f(x)) были не равны тождественно нулю. А то можно взять и f(x)=0, g(x)=0 в качестве примера и на этом основании утверждать, что подход с пределами не подходит. Тоже обе непрерывные.

если вводить дополнительные ограничения -то это будет лишь частным случаем и не будет выполняться для всех функций...

Где вы видите дополнительные ограничения? Из случая $f(x)\equiv0$ вы никаких выводов просто не сможете сделать, так как предел в нуле не существует. А там, где он существует, он равен единице.

[Brukvalub]

Nxx в сообщении #217589 писал(а):

Из случая $f(x)\equiv0$ вы никаких выводов просто не сможете сделать, так как предел в нуле не существует.

Зато существует предел справа.

[Nxx]

Brukvalub в сообщении #217600 писал(а):

Nxx в сообщении #217589 писал(а):

Из случая $f(x)\equiv0$ вы никаких выводов просто не сможете сделать, так как предел в нуле не существует.

Зато существует предел справа.

И отличается от предела слева.

[ddn]

Nxx писал(а):

Достаточно потребовать, чтобы функции(точнее, $f(x)$) были не равны тождественно нулю. А то можно взять и $f(x)=0$, $g(x)=0$ в качестве примера и на этом основании утверждать, что подход с пределами не подходит. Тоже обе непрерывные.

Нет! Этого недостаточно!
Нужна определенная граница для соотношения скоростей сходимости к нулю (что с избытком дается аналитичностью на $\mathbb{C}$-плоскости с прямым или с конечной вариацией угла разрезом).
Уже приводили пример, когда для просто непрерывных функций общего вида это не годится.


Для заданных на некоторой $\mathcal{O}$ - связной (при добавлении нуля), выколотой окрестности нуля на вещественной прямой ($0\not\in\mathcal{O}=(a;0)\cup(0;b)$, где $a\leqslant 0\leqslant b$, $a<b$ и $a,b\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$), комплекснозначных функций $g(x)$ и $h(x)$
- $g(x)=|g(x)|e^{i\arg(g(x))}$ всюду ненулевой ($g(x)\not=0$) и со свойством $\lim\limits_{x\to 0}g(x)=0$ (с учетом которого, ее можно непрерывно доопределить в нуле: $g(0)=0$)
- и $h(x)=|h(x)|e^{i\arg(h(x))}$ со свойством $\lim\limits_{x\to 0}\Re\left(\frac{h(x)}{g(x)}\right)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{|h(x)|}{|g(x)|}cos(\arg(h(x))-\arg(g(x)))}=+\infty$ (достаточно потребовать $\varliminf\limits_{x\to 0}|h(x)|>0$ и $set\lim\limits_{x\to 0}\left(\arg(g(x))-\arg(h(x))\right)\subset(-\frac{\pi}{2}+\varepsilon;\frac{\pi}{2}-\varepsilon)+2\pi\mathbb{Z}$, где $0<\varepsilon<\frac{\pi}{2}$),
- определенная через них комплекснозначная функция $f(x)=|f(x)|e^{i\arg(f(x))}=e^{-\frac{h(x)}{g(x)}}$ будет определена в той же выколотой окрестности $\mathcal{O}$, будет всюду ненулевой ($f(x)\not=0$) и со свойством $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$ (что влечет непрерывную доопределимость в нуле: $f(0)=0$),
- любая ветвь степени $f(x)^{g(x)}=e^{-h(x)+2\pi i\cdot n(x)g(x)}$ будет определена всюду в этой окрестности.

Устранив произвол в задании аргумента $\arg(f(x))}$, мы зададим однозначно и функцию $h(x)=-(\ln|f(x)|+i\arg(f(x)))g(x)$.
Если функции $g(x)$ и $f(x)$ непрерывны, то и функцию $h(x)$ можно задать непрерывной всюду на выколотой окрестности $\mathcal{O}$ через непрерывный аргумент $\arg_{c}(f (x))$,
тогда каждая непрерывная ветвь степени $f(x)^{g(x)}$ примет вид $e^{-h(x)+2\pi i\cdot ng(x)}$, а предел $\lim\limits_{x\to 0}f(x)^{g(x)}$ вид $\lim\limits_{x\to 0}e^{-h(x)}$.

При $\varliminf\limits_{x\to 0}|h(x)|>0$ предел $\lim\limits_{x\to 0}f(x)^{g(x)}=\lim\limits_{x\to 0}e^{-h(x)}$ не существует или же не равен $1$.

Если допустить возможность нулевых значений $g(x)$ в выколотой окрестности $\mathcal{O}$, то значение $\frac{h(x)}{g(x)}$ становиться бесконечным неопределенного знака (при $h(x)\not=0$) либо неопределенным (при $h(x)=0$), а значение $f(x)$ как и $f(x)^{g(x)}$ полностью неопределенным.
Если в каждой малой окрестности нуля есть точки с $g(x)=0$, это можно интерпретировать как несуществование/неопределенность предела $\lim\limits_{x\to 0}f(x)^{g(x)}$ либо, если брать предел по множеству, где $f(x)^{g(x)}$ определена, как точки $x$, несущественные для существования и величины искомого предела.
Для функции аналитической в точке своего нуля, этот нуль является изолированным и этой проблемы не возникает.

[Nxx]

g(x) в нуле не будет аналитической, нарушается наше условие. Примеры с доопределением в нуле уже были: topic10670-180.html, topic10670-270.html.

[ddn]

Про аналитичность и не шла речь.
Достаточно выдержать соотношение скоростей сходимости значений функций к нулю в определенных границах. Аналитичность дает излишне жесткие условия на поведение функции в нуле и сама по себе (разложение в ряд, единственность) аналитичность не используется.
К чему тогда это ограничение? Потому что выглядит красиво?
Можно тогда сузить класс функций еще сильнее и сказать, что $g(x)$ и $h(x)$ - просто многочлены.

[Nxx]

Цитата:

Можно тогда сузить класс функций еще сильнее и сказать, что $g(x)$ и $h(x)$ - просто многочлены.

Зачем? Разве есть аналитические функции, не равные тождественно нулю и удовлетворяющие вышеназванным условиям, такие что предел f^g в нуле не равен единице (если брать функции в виде главного значения)?

[ddn]

Нет. Есть множество неаналитических (даже разрывных) функций со степенным поведением в нуле (в этом весь секрет), обладающих тем же свойством: равенством данного предела единице. И непонятно, почему нужно ограничиваться лишь аналитическими функциями с их специфическими свойствами.

Может потому, что сразу вываливается наружу условность выбора функций с именно таким поведением в нуле - специально подогнанным под указанное свойство? Обобщение сразу делает результат условным. А так, все сваливается на некие мистические свойства именно аналитических функций, для которых выбор значения 0^0 безусловен.