Выражение 0^0

[LetsGOX]

Schraube Спасибо за внимание к вопросу
Действительно, мои расчеты верны только при принятии $0^0$ как предела, в результате которого получаетя единица
Пойдем отпротивного, попробуем решить что ноль в степени ноль равен нулю или же $e^{\frac{1}{e}}$
1. $0^0=0*$ , по выражению P.P.S.1 (См. выше, кроме того мы обозначили $0^*$ потенциальное решение, чтобы не быо путаница), мы должны имет что число в любой степени должно быть равно самим себе. Получаем ${0^*}^0=0^{0^0}$, то есть бесконечную рекурсию, что не хорошо (Напомню, чт в случае с единицей, равенство $1^0=1$ следует само собой, а здесь оно берется само из себя)
2. $0^0=e^{\frac{1}{e}}$, здесь сразу видно что указанное выше равенство не выполняется
3. Можно приводить примеры и далее, но ключевым моментов остается то что $1^n=1$, где n-любое число, действуте само по себе, а для всех остальных чисел кроме единицы оно не выполняется

[Schraube]

LetsGOX
Вообще-то я и по образованию и по роду деятельности - "дискретчик".
Но Ваши аргументы с рекурсией я, честно говоря, не очень понял.
Но вот здесь

Цитата:

Напомню, что в случае с единицей, равенство $1^0=1$ следует само собой, а здесь оно берется само из себя)

не согласен.
Не "само собой". Это следствие определения того, чтО есть степень вообще в группах (по форме записи возведение элемента в степень не является операцией в группе, необходимо содержательное определение и несколько теоремок про правила действия со степенями). А именно, почему $g^0=e$, где $e$-нейтральный элемент группы.
Рассуждения несложные, но доказательные.
Подробности можно посмотреть, например, в Л.А.Скорняков, "Элементы общей алгебры".
http://lib.mexmat.ru/books/2615

[Someone]

Чем бессмысленней вопрос, тем жарче и длиннее обсуждение. Факт состоит в том, что в множестве действительных чисел выражение $0^0$ не определено. Если оно Вам зачем-то нужно, определите его так, как Вам удобно, и пользуйтесь. Только предупредите собеседников о своём определении.

Nxx в сообщении #216507 писал(а):

shust в сообщении #216044 писал(а):

Это не сосем так. Может изменится. Например

$$x^{x^x}\to0$$

при $x\to0$.

Эта функция непредставима в виде $f(x)^g(x)$ где f(x) и g(x) стремятся к нулю.

Ага. Но возьмём, например, $f(x)=x$, $g(x)=\frac 1{\ln x}$. Заметим, что $\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\frac 1{\ln x}}=\lim\limits_{x\to 0^+}e^{\frac{\ln x}{\ln x}}=e$.

[Nxx]

Someone в сообщении #216563 писал(а):

Чем бессмысленней вопрос, тем жарче и длиннее обсуждение. Факт состоит в том, что в множестве действительных чисел выражение $0^0$ не определено. Если оно Вам зачем-то нужно, определите его так, как Вам удобно, и пользуйтесь. Только предупредите собеседников о своём определении.

Nxx в сообщении #216507 писал(а):

shust в сообщении #216044 писал(а):

Это не сосем так. Может изменится. Например

$$x^{x^x}\to0$$

при $x\to0$.

Эта функция непредставима в виде $f(x)^g(x)$ где f(x) и g(x) стремятся к нулю.

Ага. Но возьмём, например, $f(x)=x$, $g(x)=\frac 1{\ln x}$. Заметим, что $\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\frac 1{\ln x}}=\lim\limits_{x\to 0^+}e^{\frac{\ln x}{\ln x}}=e$.

Ну так g(x) не определена в нуле, а мы поставили условие, что f(0)=g(0)=0.

[Someone]

Someone в сообщении #216563 писал(а):

Ну так g(x) не определена в нуле, а мы поставили условие, что f(0)=g(0)=0.

Ну так доопределите её условием $g(0)=0$. Она будет там непрерывной (справа).

[Nxx]

Someone в сообщении #216566 писал(а):

Someone в сообщении #216563 писал(а):

Ну так g(x) не определена в нуле, а мы поставили условие, что f(0)=g(0)=0.

Ну так доопределите её условием $g(0)=0$. Она будет там непрерывной (справа).

Это уже обсуждалось topic10670-180.html . Тогда g(x) не будет аналитической (что было одним из условий). К тому же, было условие непрерывности обоих функций в точке 0 (как справа, так и слева). Если эти условия соблюдаются, то предел неизбежно равен единице.

[LetsGOX]

Schraube Опять-таки я повторюсь, что я не математик, и рассуждаю здесь чисто ради интереса
Что касается моих доводов про рекурсию, попробую объянсить так
Для выражения верны следующие преобразования*: ${0^0}^n$=$0^{0*n}$=$0^0$ (Надеюсь, что это считается очевидным, согласно правил операций со степенями, и что n*0=0), то есть ИСКОМОЕ ЧИСЛО в любой, в совершенно любой степени долждно оставаться самим собой, а это и есть нейтральный элемент, в нашем случае это единичка, что и требовалось доказать. Ниже указано, почему ноль не подходит нам
1. Мы предположили, что $x^x$ в точке $x=0$ обращается в единицу, тогда в силу преобразований* ${0^0}^n$=$1^n$=1 , ПРИЧЕМ это выражение следует из свойств степеней, а НЕ изза того, что мы приняли $0^0$=1
2. Мы предположили, что $x^x$ в точке $x=0$ обращается в ноль, тогда в силу того же преобразования ${0^0}^n$=$0^{0*n}=0$, ПРИЧЕМ это выражение следует только из того, что мы положижи $0^0=0$, те выражения пытается доказать само себя, что как мне кажется, неверно

P.S. Докеазательства из "Элементов общей алгебры" еще не читал, но как я понял, они и не противочечат моим суждениям

[Schraube]

Цитата:

Для выражения верны следующие преобразования*: ...

Не верны. Вы к "значению" $0^0$, которое до поры до времени лишено содержательного смысла в поле действительных чисел, и которое Вы только собираетесь корректно определить применяете некие преобразования, как к действительному числу(?) и делаете некие заключения о значении, которое только хотите определить

Цитата:

(Надеюсь, что это считается очевидным, согласно правил операций со степенями, и что n*0=0),

Если это очевидно, то можно и доказать
В данном случае равенство n*0=0 - теорема. Доказывается.

[LetsGOX]

Schraube Я конечно же, не собираюсь биться лбом об стену, что мое доказательсво правильное, это лишь моя гипотеза
Если преобразование* само собой не очевидно, то я согласен, что мое доказателсьво бессмысленно

[shust]

Nxx в сообщении #216507 писал(а):

Эта функция непредставима в виде $f(x)^g(x)$, где f(x) и g(x) стремятся к нулю.

А я это и не рассматривал. Мое замечание касалось лишь последнего предложения цитаты:

ewert в сообщении #215700 писал(а):

Это следует просто из того, что $x^x\to1,$ и какие дополнительные целые степени ни навешивай, ничего не изменится.

Nxx в сообщении #216507 писал(а):

Так установили же, вроде, что если f(x) и g(x) аналитические и равны нулю в нуле, то

$$\lim_{x\to\pm 0} f(x)^{g(x)}=1$$

Покажите, где и, главное, как это установили (- доказали?)?

А что скажете по поводу уж совсем простенького контрпримера:
$f(x)=0, и g(x)=x$? Уж эти функции в нуле явно определены и, вроде бы, даже аналитичны.

[ellipse]

По определению $a^x := sup(a^r)$ по всем $(r < x; r\in Q)$
где $a^r = a^{m/n} := \sqrt[n]{a^m}$

${0^m} = 0$ для любого $m\in N$

я за 0

[man]

ellipse в сообщении #216820 писал(а):

${0^m} = 0$ для любого $m\in N$
я за 0

Поддерживаю. Не пойму зачем нарушать порядок (транзитивность) ради ${0^m}\geqslant{0^{m+1}}$, если проще его сохранить и считать, что ${0^m}<{0^{m+1}}$ ?
И зачем считать, что множество функций из $\{\varnothing\}$ в $\varnothing$ равно $\varnothing$, а из $\varnothing$ в $\varnothing$ равно $\{\varnothing\}$ ? Естественней считать, что в любом случае $\varnothing$, т.к. не вижу смысла утверждать существование не имея никакой реальной возможности предъявить хоть одну такую функцию.

[Someone]

Nxx в сообщении #216605 писал(а):

Это уже обсуждалось topic10670-180.html . Тогда g(x) не будет аналитической (что было одним из условий). К тому же, было условие непрерывности обоих функций в точке 0 (как справа, так и слева). Если эти условия соблюдаются, то предел неизбежно равен единице.

Там же объяснялось, что для аналитических это тоже неверно.

Вообще, трудно понять, чего Вы от этого $0^0$ хотите. Что Вы с этим делать будете?

[Nxx]

Someone в сообщении #216856 писал(а):

Nxx в сообщении #216605 писал(а):

Это уже обсуждалось topic10670-180.html . Тогда g(x) не будет аналитической (что было одним из условий). К тому же, было условие непрерывности обоих функций в точке 0 (как справа, так и слева). Если эти условия соблюдаются, то предел неизбежно равен единице.

Там же объяснялось, что для аналитических это тоже неверно.

Для случая приближения к началу координат по спирали.

-- Пн май 25, 2009 01:26:20 --

Цитата:

А что скажете по поводу уж совсем простенького контрпримера:
$f(x)=0, и g(x)=x$? Уж эти функции в нуле явно определены и, вроде бы, даже аналитичны

А если поставить условие неравенства тождественно нулю?

[LetsGOX]

ellipse Ага, значит вы тоже считаете преобразования* верными
Тогда я могу сказать вам несколько вещей:
1. Вы говорите, что не надо нарушать порядок $0^n=0$, но в данном случае речь может идти и о $n^0=1$, и тогда именно ноль нарушает непрервыный порядок
2. Если рассматривать функцию $x^x$ в точке ноль, то с помощью пределов уже доказали и подтвердили выше, что получится единичка
3. Сила преобразований* очевидна для $1^n=1$, так как это естественно, и действительно так В ЛЮБОМ ЗНАЧЕНИИ n, а вот $0^n=0$ неочевидно при n=0, и это никак не доказать, если не использовать равентсво $0^0=0$, которое доказуемо только само через себя, и как следствие, неправильно

P.S. Речь исключительно о действительным числах и значениязх